Riassunti matematica discreta
Definizione di divisore
Siano m, d ∈ ℕ, si dice che d divide m e si scrive d|m se ∃ c ∈ ℤ : m = d⋅c.
Numero primo
Un numero naturale m > 1 si dice primo se i suoi divisori sono solo 1 e m. (Ogni numero non primo è detto composito; il numero 1 non è né primo né composito).
Teorema 1
Ogni numero naturale m > 1 è rappresentabile come prodotto di primi.
Dimostrazione: Se m è primo non c'è nulla da dimostrare. Se m è composito: m = q⋅r con 1, sia q che r sono rappresentabili come prodotto di primi: si ottiene pertanto una rappresentazione anche come prodotto di primi. (CVQ)
Teorema fondamentale dell'aritmetica
Ogni numero naturale m > 1 è rappresentabile come prodotto di primi in modo unico.
Teorema 2
I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione: Sia 2, 3, 5, 7...p elenco dei primi fino al primo p. Diciamo N = 2⋅3⋅5⋅7⋅... p + 1; se nessun primo p|N, allora N è infinito, e se p|N si dovrebbe dire che non è divisibile √pi∫ni (CVQ).
Proposizione 1
Se q|m, nella scomposizione in primi di q possono comparire solo primi p di composizione nella scomposizione in primi di m con esponente 0.
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