Riassunti Matematica Discreta

Riassunti Matematica Discreta

Def. divisore:

Siano m, \e\ \ di m nei \ \ \; m = \ \

Def. numeros primi:

Un numero naturale m > 1, è detto primo se i suoi divisori sono solo 1 e m.

Ogni numero che non è detto composto, i numeri non primi sono composti.

Teorema:

Ogni numero naturale m > 1 è rappresentabile come prodotto di primi.

DIM:

Se m primo non c'è nulla da dimostrare

Se m composto: m = \ x \ con 1 < \ p. (c.v.d)

Proposizioni e:

Se p|m nella factorisazione prima di x p possono comparire solo primi p di composizione

nella factorisazione prima di y con esponente ha i > c epugue a.c"ce " lett > ^a-c u.er m

(ac).L. Xi*a = di_= (M * m)/z (a-c, con piensimento) ≡ c(stmodulono)

Proposizione 4:

Se (r≡) ≡ ∀ questo x osservare un sistema conlco nori re moduque un ordxe &aaca; &x)"> e ossx.< optie

Stima di Hamming

Supponiamo di avere un codice C < V^m di lunghezza m che corregge fino a e_c errori: bi ho allora: 2^m ≥ |V|^m ≥ |C|(1 + m + ^mC₁ + ^mC₂ + ... + ^mC_ec).

Dim:

• Sia c ∈ C (codice) del codice. Considero la sfera di V^m di centro c e raggio r = e_c, cioè S(c, e_c).
• ∀c′ ∈ C, c′ ≠ c, c′ ∈ S(c, e_c) ≤ e_c sono + |S(c, e_c)| ≤ ∑_{(c, e)c}
• Perché (c) rappresenta il men di trasmissione e quindi se + lui di errori in S l'insieme di r elementi + 1 (m) rappresenta il men trasmessi in rilardo e K = (c, e_c) = K

Considero il numero di errori e correzioni fino a e_c errori.

-> S ≥ 2e_c + 1 =>

• ∃c, c′ ∈ C, c′ ∈ C e S(c, e_c) ∀ c ∈ C, c ≠ c′ ⇫ ∃ c′ ∈ V^m
• alcuni c′ ∈ C sussiste che c′=e_c + e ≥ 2e ≥ 2e_c + 1 Contradd ProSupposto.
• Deve essere: | ⋃{S(c, e_c)} |_c∈C ≥ | ⋃{S(c, e_c)} | ≥ ∑ { | (S(c, e_c) | ≤ | V^m | } = 2^m, men { | S(c, e_c) | } = 1₁, (2^m)

Un Volume con Posta | S(c, e_c) | = (1 + ^mC₁ + ^mC₂) ⧵ { | V^m | } + (m² | (m= | (

- - (m))

) | ≤ 2² (conv)

Codice Perfetto:

Un codice in blocco Perfetct se nelle riorganizzazione di Hamming ci son le lagune

di rioginazioni (a), se i pronotai mol le non firmati,

la struttura di un gruppo commutativo V^m

Definisce un operazione di somma Z mod n fondoe nel modo seguente: x̅ = (x₁+x₂) = (y₁-y_n) mod n + x + y (somma

) la somma le cui componenti = somma di R o tu la tu tu | z (elem), b ∈ (a x v) mod v

Un cod. cod altr>prodito di somma V^m e in un gruppo comm. V^m = m = V mod V; modℚ, entità = 6 e (vette di V^m) ∈V - V file` (seg

(a)* (mod a+b); z=b+c mod a); b∈= (b+a mod b); b ≡ (b- a, m); b applicazione binaria, V = {v ₁ .. v ₃°_*}, G in corrispondenza; sia A matrice in coloni ma dell'incidenza ordine n (x n). Scrivi B la

matrice di adiacenza in coloni di A(cfg.com) allora g_io{{isom}}

dom {g(x V v a, g(a, a) = (b₂ b .. d)} a _{{{x V o(o)b oltre su V 2 b list : {0 se V ^ij adacarte a g(v)}}