Riassunti completi matematica finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA:

FLUSSI DI CASSA

Un investimento è definito nei termini delle sequenze di flussi di cassa che produce: le somme di denaro che

l’investitore riceve e versa nel corso del tempo. Normalmente, questi flussi avvengono in date prestabilite, ad

esempio al termine di ogni trimestre o di ogni anno.

Se si stabilisce un periodo di base pari ad un anno, una possibile successione di flussi annuale, potrebbe

1,20), corrispondente ad un flusso negativo iniziale (investimento) di 1€ all’inizio dell’anno e alla

essere ( -1, somma di 1,20€ (flusso positivo)

ricezione della un anno dopo.

Le successioni di flussi di cassa possono anche essere rappresentate in forma di diagramma: viene tracciato

un asse temporale e ogni flusso è indicato da una linea verticale in corrispondenza del momento in cui si

verifica. + + + X = (-3, 4, 5, 8)

X = (Xo, X1, X2, X3)

Il segno di Xo è (-) perché si tratta di un

t=1 t=2 t=3 t investimento che comporta un’uscita da parte del

- soggetto che lo sottoscrive (ex: deposito in c/c)

t = 0

Investimento di 1 anno: Xo = P (principal) = A (amount) = 100€ (capital

Tasso del 10% +110 iniziale)

0 V = valore finale del deposito in c/c = 110€

110 = 100 + 10 = P + I (interessi) = 100 + (100 x 0,1)

t

1

- 100

Vn = X = Xo (1+r) = Xo + Xo r

1 Se si applica la regola dell’interesse semplice, il denaro investito per un periodo

INTERESSE SEMPLICE:

diverso da 1 anno produce interessi che sono proporzionali alla durata totale dell’investimento. Dopo 2 anni

l’interesse totale è pari a 2r volte l’investimento iniziale e così via.

t=0 t=1 t=2 t

Xo Xo + Xo r Xo + Xo r + Xo r = Xo (1+2r)

La regola generale dell’interesse semplice è che, se una somma Xo rimane depositata su un conto a cui viene

applicato l’interesse semplice r , il valore totale dopo n anni è: Vn = Xo (1 + r n)

anche prendere in considerazione periodi di tempo inferiori all’anno, che indichiamo con la lettera

Possiamo

t: Vt = V (t) = Xo (1+ r t) dove (1 + r t) = fattore di crescita o di montante.

1

 = ( ) = (1 + )

Esempio : con t = 0,5 0,5 2 2

3 3

 = ( ) = (1 + )

con t = 3/2 1,5 2 2

€ Interpolazione regime di interesse

V3 semplice

V2

V1 0,5 1 1,5 2 3 t

INTERESSE COMPOSTO: alla maggior parte dei conti bancari e depositi viene applicata una forma di

capitalizzazione che determina la produzione di interessi composti. Se gli interessi vengono capitalizzati

annualmente, dopo 1 anno, l’interesse del primo anno viene aggiunto al capitale iniziale, definendo così una

base di capitale più ampia per il secondo anno. Il conto quindi, frutta interessi sugli interessi.

Se la capitalizzazione è annuale, dopo 1 anno il denaro depositato su un conto risulta moltiplicato per (1 + r).

2

(1 + )

Il secondo anno cresce di un ulteriore (1+ r), arrivando a . Dopo n anni il conto sarà salito di

volte il valore originario: questa è l’espressione analitica della crescita di un conto a cui viene

(1 + )

applicata la regola dell’interesse composto (data la sua forma di potenza n-esima, si dice che essa esprime

una crescita geometrica).

t=0 t=1 t=2 t 2

(1 + ) =

Xo Xo (1 + r) Xo (1+ r) (1+r) = Xo = 2 2



= ( + ) interesse composto

Se t =1 non si fa distinzione tra interesse semplice e interesse composto.

l’interesse veniva calcolato

CAPITALIZZAZIONE A VARI INTERVALLI: fino ad ora e versato sul conto

al termine di ogni anno. La maggior parte delle banche calcola e paga l’interesse con frequenza maggiore:

trimestralmente, mensilmente ecc. In questa situazione è tradizione indicare comunque il tasso di interesse

annuo, applicando però la frazione appropriata di tale tasso a ciascun periodo di capitalizzazione.

Consideriamo ad esempio la capitalizzazione trimestrale al tasso di interesse annuo r , questo significa che ad

ogni trimestre viene applicato un tasso pari a r /4. Il denaro depositato in banca per 1 trimestre cresce quindi

di un fattore (1 + r/4). Se il denaro rimane sul conto per un altro trimestre, il nuovo importo cresce di un

4

(1 + )

ulteriore fattore (1+ r/4). Dopo 1 anno il conto sarà cresciuto del fattore .

4

4

= (1 + )

1 4

il sotto periodo dell’anno che considero per mettere in pratica la composizione degli interessi, più

Più è corto

è grande la quantità di denaro che ho sul c/c alla scadenza.

(365) 365

= (1 + )

Su base giornaliera: 1 365

TASSO DI INTERESSE EFFETTIVO: tasso di interesse che, senza capitalizzazione, produrrebbe in 1 anno

lo stesso risultato. Tasso annuo che in regime di interesse semplice, produce la stessa quantità di denaro.

= (1 + /) − 1

r effettivo > r nominale

regola del 7-10: una somma di denaro investita al 7% annuo raddoppia in circa 10 anni. Inoltre, una somma

investita al 10% annuo raddoppia in circa 7 anni.

CAPITALIZZAZIONE CONTINUA: possiamo determinare l’effetto della capitalizzazione continua

dell’usuale capitalizzazione al tendere all’infinito del numero n di periodi in 1 anno:

considerando il limite

= (1 + ) = (1 + ) =

→ ∞ 1 →∞

=

Entriamo quindi nel terzo regime, quello composto annualmente (ICC):

consideriamo 2 situazioni: (1) riceverete 110€ tra 1 anno, (2) riceverete 100€ oggi e li

VALORE ATTUALE:

depositate su un conto bancario per 1 anno al tasso di interesse del 10%. Le 2 situazioni risulteranno

identiche trascorso 1 anno: riceverete 110€ in ogni caso. Ricevere 110€ tra 1 anno equivale a ricevere 100€

oggi se il tasso di interesse è del 10%. Possiamo anche dire che il valore attuale (present value) di 110€

ricevuto tra 1 anno è 1/1+r , con r = tasso di interesse.

1/1+r prende il nome di fattore di sconto (d).

Calcolare il VA di un debito significa determinare quanto denaro sarebbe necessario oggi per poterlo saldare

(ad una certa data futura). 1 1

() = + = + 1 ( )

1+ 1+

Il VA (X) risponde quindi alla domanda: quale somma di denaro dovrei avere disponibile oggi per generare

determinati flussi di cassa?

VALORE FUTURO: data la successione di flussi di cassa (Xo, X1, X2,………, Xn) e il tasso di interesse r

per ciascun periodo, il valore futuro della successione è:

−1 −2

()

= (1 + ) + 1 (1 + ) + 2 (1 + ) +. . +

Esempio: consideriamo la successione di flussi di cassa: X = (-2,1,1,1) per la quale i periodi sono anni e il

tasso di interesse è del 10%. 3 2 1 0

() (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)

= −2 + 1 + 1 + 1 = 0,648

VALORE ATTUALE (periodo più lungo di 1 anno): data la successione di flussi di cassa

(Xo,X1,X2,….,Xn) e il tasso di interesse r, per ciascun periodo, il valore attuale della successione è:

1 2

()

= + + + ⋯ + =

=0

2

(1

1 + (1 + ) + ) (1 + )

Possiamo anche scrivere: ()

()

=

(1 + )

()

= (1 + ) ()

Se VA (X) : 1) > 0 allora la successione di flussi di cassa è vantaggiosa

2) = 0 allora la successione di flussi è equa

3) < 0 allora la successione di flussi di cassa è svantaggiosa

Se i valori attuali di 2 o più investimenti sono uguali, allora si definiscono equivalenti.

CARATTERISTICHE BANCA IDEALE:

1) i servizi per i clienti sono a costo zero.

2) il tasso che pratica per dare il prestito è lo stesso di quello che pratica per remunerare i depositi.

3) pratica la stessa remunerazione indipendentemente da quanto si lascia in deposito.

4) Il suo tasso di remunerazione non cambia nel tempo

TASSO DI RENDIMENTO INTERNO (TIR):

le successioni di flussi a cui si applica questo concetto hanno tipicamente elementi sia positivi che negativi:

quelli negativi corrispondono a pagamenti da effettuare, quelli positivi a pagamenti che vengono ricevuti.

Data una certa successione di flussi di cassa è quel tasso che la rende equa (tasso per il quale VA (X) = 0).

( + 1)

= = −

Non sempre il tir esiste positivo, esiste se gli importi rispettano certe condizioni:

1) Xo < 0

2) Xo + X1 > 0 2

–

3) Xo + X1 d + X2 + . . . + Xn = 0 si tratta di un polinomio nella variabile d:

- non è detto però che le radici siano numeri reali

- non è detto che siano positive



- se di grado 2 con delta > 0 si hanno 2 radici, a noi però interessa 1 solo tasso, che corrisponde

alla radice positiva.

Proposizione: devono inoltre valere 2 ulteriori condizioni:

X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0, … … , Xn ≥ 0 (potrebbero anche essere tutti = 0 , perché ≥ 0, allora almeno 1 deve

1) essere strettamente positivo, cioè > 0)

X1 + X2 + … … + Xn > Xo

2)

Se queste 2 condizioni sono verificate: esiste un unico tir positivo.

CRITERI DI VALUTAZIONE:

VALORE ATTUALE: consente di valutare le alternative semplicemente classificandole in base ai rispettivi

valori attuali: più il valore attuale è alto, più l’alternativa è vantaggiosa. Quando si utilizza il valore attuale il

occorre prendere in considerazione tutti i flussi di cassa associati all’investimento, positivi e

questo modo

negativi. Al fine di sottolineare ciò si usa frequentemente l’espressione VAN (valore attuale netto), inteso

come la differenza tra il VA dei flussi di cassa positivi e il VA dei flussi di cassa negativi. Per essere degna

di considerazione, la successione di flussi di cassa associata a un investimento deve avere un valore netto

positivo.

Esempio: 2 alternative: 2

(−1,2) ( )

= → = + 1 = −1 + − = 0,81 (810.000€) (alternativa a)

1,10 0 3

2

(−1, ( )

= 0, 3) = = + 1 + 2 = −1 + + = 1,47 (alternativa b)

3

(1,10)

1,10

E’ più conveniente aspettare 1 anno, tra i 2 progetti B è il migliore (VAN >

VAN )

TASSO DI RENDIMENTO INTERNO: anche il tir può essere utilizzato per classificare successioni di flussi