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26/02/2019
IE3: spazio euclideo a 3 componenti numeranti, con un origine,
terna lineare
IR3: spazio dei numeri reali, dove
prodotto scalare:
dove
e1 × e2 = e3e2 × e3 = e1e3 × e1 = e2
tensore:
3 vettori che agiscono contemporaneamente
Tn = tn = tnn = t1n + t2n + t3n
ℝ3 → ℝ3 dove = 1e1 + 2e2 + 3e3
cambi direzioni
↔ n’T n = n’T n
questi passaggi possono poi essere sviluppati
altrimenti lungo un'altra direzione
el et en
T = tll tlt tlnttl ttt ttntnl tnt tnn
dove bi = tie1 + tie2 + tise3 => i = Σ i = 1 j
L'operazione vista ora di mi permette di trovare tnn se generalizzata in modo che
le 3 direzioni prese siano ortonormali, mi permetto di trovare T nella nuova base.
tnn = tn ⋅ n’ nth
tnn = tn ⋅ Mth
tnn = tn ⋅ T n M
equivalentemente trattando questo processo di un cambiamento di base, posso tratta
mette la matrice di cambiamento di base
C = ll ml nl e1lt mt nt e2ln mn nn e3
attivo che T = (tll tlm tln ttm tmt ttm ttm tmm tnn)
simmetrico anche esso
= CtT C
nucleo ora fare in modalità no diagonali
trovo n1 tale che tnn = T ⋅ n1 ⋅ 1 ⋅ n
ortho tale che ' =
si mette a dimostrabile che detF; ∂V0 ∂V > 0 il che significa che essendo ∂V
volume di IP e V: volume di IP, allora preso un intorno IP dimensionale
questo non potrà mai annullarsi in seguito ad una deformazione.
Sia P un punto appartenente alla
direzione di Q1 e segmento PQ
una fibra materiale, allora ho che:
PQ = ∫[P(x); dx] = ∫p(x)
= [P(x); dx] = ∫p(x) dx = R(∂x) - p(∂x) = ∫p∂x dx = FPQ
tens. trascurabile
PQ F PQ -> 1a legge cinematica della deformazione
matrice locazione
al tenero della deformazione
inoltre detto ∂x dx -> |P[∂x;] = |F(∂x);T(∂x) -> |P[∂x] = dxT
perché (AB)T=BTA)
detto allungazione la narrazione di lunghezza della fibra materiale definito
come EA
(nTdx - dx
dove n; dx | dxTF dx
materiale
e) tuttora essendo FIPAH, allora
come E1
posso scrivere con un semplice artitmico maxormatico H; EH
tale autovalore λi al quale sono associati gli autovettori ni) possono essere determinati semplicemente risolvendo il polinomio
|E - Iλ|3 = |E11 - λ E12 E13E21 E22 - λ E23E31 E32 E33 - λ| = 0
- TE = t(E) = E11, E12, E13
- E21, E22, E23
- E31, E32, E33
- a questi sono detti rispettivamente invarianti
- invarianti di deformazione a seconda del corrispondente ordine (2,3) e hanno il particolare significato fisico di non dipendere dalla base in cui è espresso E
è una retta trovando λi o nj sostituendo nell'equazione (E- λI) nj = 0 si possono determinare ni, che saranno tra loro tutti ortogonali. Molte espressioni sono dette allungamenti principali in quanto servono da 'mollo' vero formato dalle nj direzioni principali e elongazione, ottengo la più semplice forma:
⎡ E1 0 0 ⎤⎜ 0 E2 0 ⎥⎣ 0 0 E3 ⎦
dove Ej = λj = njT E nj
In particolare i casi possibili sono 3:
- Solo di deformazione tridimensionale
In questo caso ho da distinte dimensioni, pertanto saranno univocamente determinati anche le n1, n2, n3, direzioni principali, e avrò 3 elongazioni distinte.
(accelerazione)E z|z = 0
Sia dato E ̣̄ ̣= 1 0 0/0 ε 0/0 0 1 con ε 10-5, vogliamo trovare le direzioni principali di elongazione
-> λiE = tr(ε) = 2 + ε + 1 = 3 + ε
̣̄E = 2 0 0/0 1 0/0 0 1
̣̄I = 2 1 0/2 ε 0/0 0 1 (2 - λI) ̣̄+ z2 ε = 7
-> det(I) = 2 0 0/0 1 -1/1 -1 3
-> λ3 - 5 λ2 + 7 λ - 3 = 0
-> (z - λ) -1 0/0/0 1-λ
-> det(1-λI) = 0 => -1 z-λ/0 z-λ 0 = 0 (z-λ)(z-λ)(1-λ)(1-λ) == 0
=> (z-λ)(λ-λ) z-λ + 1 = 0 (λ-λ)(λ-1)(3-1) == 0
=> λ1 + 1
-> λ2 = λ2 = 1
-> λ3 = 3
= 0
=>
-1 -1/1 -1 -1/-1 (0)
boʻl = -λ1 0/0 -> -1/√2/-1/√2
inoltre
∫ x th dA + ∫ x b dV = 0
B0 B0
⇒ ∫ x (nj tj) dA = ∫ nj (x tj) dA = ∫ (∂/∂tj (x tj)) c dV = ∫ (∂x/∂xj tj + x ∂tj/∂xj) dV
B0 B0
ma x = xj ej ➔ ∂x/∂xj = ej↪
⇒ ∫ [ ej tj + x (∂tj/∂xj b)] dV = 0 ⇒ ej x tj = 0 ⇒ e1 x t1 + e2 x t2 + e3 x t3
B0
2a legge di equilibrio indefinito
→ γoct = √Ioct''' - Icm''' = √½(σ12 + σ22 + σm2) - ⅓(σ1 + σ2 + σm)2 = √⅓((σ1 - σ2)2 + (σ2 - σm)2 + (σm - σ1)2) = √(σ1 - σ2)2 + (σ2 - σm)2 + (σm - σ1)2 !1/3
→ essendo I1 + t/r ∼ = σ1 + σ2 + σm , allora γoct = ½/⅔ √¹/3I2 e pertanto essendo
I2 = - (σ1(σ2 + σm) + σ2σm )
γoct combinazione degli invarianti, è esso stesso invariante.
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