Riassunti e dimostrazioni Scienza delle costruzioni

ELEMENTO DI TRAVE

PROBLEMA MONODIMENSIONALE

2 IPOTESI:

• PICCOLI SPOSTAMENTI
• DEFORMAZIONI RIGIDE = corpo rigido

GRANDEZZE SIGNIFICATIVE:

• x: ASSE DELLA TRAVE
• A: AREA DELLA SEZIONE
• I_z, I_y: MOMENTI PRINCIPALI D'INERZIA

+ I+z0 -> SEZ. PRINCIPALE

EQUILIBRIO

PROBLEMA 3D:

• FORZE DI VOLUME f_v [N/mm³]
• FORZE DI SUPERFICIE f_sdS [N/mm²]

PROBLEMA MONODIMENSIONALE:

• forze di superficie 3D -> 1D
• sezione delle forze di superficie diminuisce [N/mm²]
• forze di volume 3D -> 1D

f_p forza distribuita per unità di lunghezza [N/m]

H = ∫_A f_p dA

V = ∫_A q_pdA

W = ∫_A t_p dA

VERIFICA DELL' EQUILIBRIO STATICO

soddisfatte le eq. cardinali della statica.

• ΣMp=0
• ΣFy=0

oppure

• ΣFx=0
• ΣMp=0
• ΣFy=0

condizioni di equilibrio soddisfatte solo x alcune configurazioni carico

1. VINCOLI

2. DUALITÀ STATICA-CINEMATICA

oppure possiamo verificare c/o equilbrio con

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

permette di scrivere l.e.a. equazioni note x tracciare equilibrio

se L=0 spostamento ammissibile → Equilibrio

L = FORZA x SPOSTAMENTO

riferimento fig.

Sx = a - Θ(y - yc)

Sy = b + Θ(x - xc)

oppure

Sx = Θ(y - y2)

Sy = Θ(x - x2)

1. PUNTO FISSO, CIR

dipende dai vincol.

ANALISI CINEMATICA

• STRUTTURA FISSA
• STRUTTURA LABILE

• v. cong. di carico
• 3 equilibrio

STRUTTURA IPERSTATICA O ISOSTATICA

AZIONI INTERNE

POSTULATO FONDAMENTALE

Se la struttura è in equilibrio, lo è in ogni sua parte.

generating

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

• ΣFx: dN/dx = -q(x)
• ΣFy: dT/dx = -p(x)
• ΣMr: dM/dx = -T(x)

espresse che ci permettono di ottenere minore determinazione le distribuzioni delle azioni interne

Passiamo ora alla sicurezza dell'elemento

PROBLEMA INVERSO: la distribuzione che determiniamo fino ad ora non è sufficiente

N(x), T(x), M(x)

DISTRIBUZIONE PUNTUALE

SFORZI e TENSIONI di CAUCHY

dR_v: risultante forze di volume (se dV→0 ➔ dR_v→0)dM_v: momento risultante (se dV→0 ➔ dM_v→0)

H.P. DI CAUCHY

• ^lim_dV→0 ^dF/_dV = E =
  • F_x
  • F_y
  • F_z
  ≠ 0 [N/m³]
• ^lim_dV→0 ^dM_v/_dV = 0 ➔ momento risultante nullo

Coppie interne al volume che generano momento

NELLE H.P. DI CAUCHY NON FORZE CONCENTRATE

Il solido deve essere in equilibrio ⇔ SE ∭F dV + ∬β dS = 0

e deve esserlo in ogni sua parte

R_∞ e M_∞: risultanti delle forze di volume tra i due piani

Peso riferito ancora ad un punto dL_∞ per le H.P. di CAUCHY

Sappiamo che σ_y' individua direzione y σ_x' individua direzione x

Possiamo individuare graficamente le DIREZIONI FISICHE tracciando o

- Indiviuamo il polo e dalla circonferenza tracciamoaree a e asse e traccioxe partire axescrito parto dal rifessor da parte

N.B. Pass individuato partendo de quella retta di sparto di creconnio le

- conosciamo che direzioni fisiche

direzioni e e y (o del ritmicaie) nel piano di Moh dolr una rotazione doppia (2α)

EQAZIONI INDEFINITE di EQUILIBRIO

Prendiamo un elemento di volurne

Facciamo l’equilibrio di tutte le forze curca (G²+G_x)dcydz + G_x dxdz + ... + Fdcycydz

Arriviamo all’espressione

∂G_x/ ∂x + ∂G_y/ ∂y + ∂G_z/ ∂z + F = 0

Formule ethia

∂G_x/ ∂x + ∂G_y/ ∂y + ∂G_z/ ∂z

BEQ SCALARI - 6 INCROGNITE 6*

LEGAME COSTITUTIVO

Abbiamo trattato un PROBLEMA INDETERMINATO:

6+6 incognite

3 eq. di equilibrio

pariamo cervello

• σ_xx
• σ_yy
• σ_zz
• σ_xy
• σ_yz
• σ_zx

vettore magnitute

• ε_xx
• ε_yy
• ε_zz
• ε_xy
• ε_yz
• ε_zx

vettore magnitute

Dalle cond. di congruenza dirette → 6EQ. DIFFERENZIALI

(importantissime)

CONDIZIONI CONGRUENZA INTERNA

• piano x-y: ∂²ε_xx/∂y² + ∂²ε_yy/∂x² = ∂²ε_xy/∂x∂y
• piano x-z: ∂²ε_xx/∂z² + ∂²ε_zz/∂x² = ∂²ε_zx/∂z∂x
• piano y-z: ∂²ε_yy/∂z² + ∂²ε_zz/∂y² = ∂²ε_yz/∂y∂z

CONDIZIONI di CONGRUENZA relative allo spazio

• x: ∂²ε_xx/∂y∂z + ∂²ε_yy/∂z∂x + ∂²ε_zz/∂x∂y = ∂²ε_xy/∂z²
• y: ∂²ε_yy/∂z∂x + ∂²ε_zz/∂x∂y + ∂²ε_xx/∂y∂z = ∂²ε_zx/∂x²
• z: ∂²ε_zz/∂x∂y + ∂²ε_xx/∂y∂z + ∂²ε_yy/∂z∂x = ∂²ε_yz/∂y²

→le condizioni sopra mi dicono che per risolvere delle DEFORMAZIONI → ogni spostamento, le eq. di congruenza vanno lungo queste condizioni.

Una relazione formale che lega termini a deformazioni nel punto precedentemente di LEGAME COSTITUTIVO

STUDIAMO CON PROVE DI LABORATORIO

La matrice costitutiva ha però una CARATTERISTICA INVARIATA:

se il materiale è ELASTICO e le relazioni sono di INDIPENDENZA

la matrice è SIMMETRICA

σ_xx / E_x σ_xy / E_y σ_xz / E_x σ_zx / E_z σ_yx / E_y σ_yz / E_z

COMPORTAMENTO ELASTICO

Il lavoro svolto e la DEFORMAZIONE devono essere completamente restituiti

ENERGIA DI DEFORMAZIONE immagazzinata dal materiale quando si DEFORMA

W(Ɛ) = ∫₀^Ɛσ_ijdƐ_j = DENSITÀ DI ENERGIA DI DEFORMAZIONE

forme estese

W(Ɛ) = ∫₀^Ɛ (σ_xxdƐ_xx + σ_yydƐ_yy + σ_zzdƐ_zz + σ_xydƐ_xy + σ_xzdƐ_xz + σ_yxdƐ_yx + ... )

Ogni componente è un LAVORO :

sforzo normale

dL_x = σ_xxdγ_dydt = (σ_xxdƐ_xx)dxdy dt

sforzo tangente

dL_b = G_xydγ_dxdM_z = (G_xydƐ_xy)dxdy dt