Riassunti della teoria Scienza delle Costruzioni, Ingegneria civile

Scienza delle Costruzioni - Teoria

A) Finalità, Ipotesi, Modelli

• Travı e caratteristiche della sollecitazione
• Trave sollecitata in direzione dell'asse
  • Statica
  • Cinematica
  • Legame costitutivo
• Trave inflessa (modello generalizzato)
  • Statica
  • Cinematica
  • Legame costitutivo
  • Considerazioni

B) Modello di Solido Deformabile: Analisi della Tensione

• Forze esterne ed interne
• Tetraedro di Cauchy
• Tensore degli sforzi
• Equazioni indefinite di equilibrio
• Direzioni e tensioni principali
• Classificazione degli stati tensionali

C) Modello di Solido Deformabile: Analisi della Deformazione

• Problema locale della deformazione - campo di spostamenti
• Tensore di deformazione ed equazioni indefinite
• Direzioni e dilatazioni principali
• Classificazione degli stati deformativi

D) Principio dei Lavori Virtuali

• Teorema dei lavori virtuali + Lv. - Lve.
• PLV - Altre formulazioni

Modello di Solido Deformabile - Legame Costitutivo

• Comportamento dei materiali
  • Materiali duttili (Prova monassiale)
  • Materiali fragili (Prova monassiale)
• Lavoro di deformazione e potenziale elastico - relazione costitutiva
• Potenziale elastico complementare
• Ipotesi di isotropia, costanti elastiche
• Teorema di Clapeyron
• Teorema di Betti

Problema di De Saint-Venant

• Ipotesi e postulato
• Sforzo normale
• Flessione
  • Flessione retta
  • Flessione deviata
• Momento torcente
  • Sezione circolare
  • Sezione rettangolare sottile
  • Sezione sottile aperta generica
  • Sezione sottile chiusa generica
• Taglio, formula di Jourawski

Criteri di Resistenza

• Soluzione dei PdSV e trave
• Materiali duttili - Criterio di Tresca
• Materiali duttili - Criterio di Mises
• Definizione dei domini
• Criteri per materiali fragili
  • Rankine
  • Coulomb

3) TRAVE INFLESSA (MODELLO GENERALIZZATO)

STATICA (forze)

Il tronco elementare e' ora soggetto anche a forze trasversali all'asse e quindi anche al momento flettente. Analizzando l'equilibrio nelle varie direzioni:

DIREZIONE ASSIALE

• N + dN + pdz - N = 0
• dN/dz + P = 0

DIREZIONE TRASVERSALE

• T + dT + qdz - T = 0
• dT/dz + q = 0

MOMENTO

• M + dM + qdz * dz/2 = Tdz - M = 0 (trascurabile perché di ordine piccolo)
• dM/dz = T

dN/dz + p = 0

dT/dz + q = 0

dM/dz = T

EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

τ̄_a =

• τ_aa
• τ_ab
• τ_ac

=

• σ̄_aa
• σ̄_ab
• σ̄_ac

ā = versore normale

b̄, c̄ = versori tangenti ortogonali tra loro

2) TETRAEDRO DI CAUCHY

Si dimostra che se conosco la tensione su 3 giaciture ortogonali allora conosco la tensione per qualsiasi giacitura in quel punto.

τ̄_adΩ_a - t₁dS₁ - t₂dS₂ - t₃dS₃ + ƒdV = 0

trascurabile perché d'ordine superiore

essendo dΩ_i = dSΩ_a·a_i

τ̄_adΩ_a - t₁a₁dSΩ_a - t₂a₂dSΩ_a - t₃a₃dSΩ_a = 0

τ̄_a = t₁a₁ + t₂a₂ + t₃a₃

3) TENSORE DEGLI SFORZI

È usuale scrivere la precedente relazione come prodotto matriciale:

τ̄_a =

• t₁
• t₂
• t₃

ā

⇒ τ̄_a = σ̄ā

dove σ̄ e' il TENSORE DEGLI SFORZI, rapp.representato (nel sistema di riferimento scelto) come:

1. σ̄₁₁ τ₁₂ τ₁₃
2. τ₂₁ σ̄₂₂ τ₂₃
3. τ₃₁ τ₃₂ σ̄₃₃

MODELLO DI SOLIDO DEFORMABILE

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

1) PROBLEMA LOCALE DELLA DEFORMAZIONE: CAMPO DI SPOSTAMENTI

• Date le ipotesi di:
  • a) Corpo continuo
  • b) Esclusione di lacerazioni o compenetrazione di materia

VETTORE SPOSTAMENTO

CONFIGURAZIONE INDEFORMATA

p₀

p

V

CONFIGURAZIONE DEFORMATA

p₀

p'

• Sviluppando in serie:

V(p) = V_o + ∇V |_P0 · (r - r₀) + H_d

V = V_o + H_d

dove H è il GRADIENTE DI SPOSTAMENTO.

H = grad V = [ ∂V_i / ∂x_j ]

= [∂V₁ / ∂x₁ , ∂V₁ / ∂x₂ , ∂V₁ / ∂x₃ ∂V₂ / ∂x₁ , ∂V₂ / ∂x₂ , ∂V₂ / ∂x₃ ∂V₃ / ∂x₁ , ∂V₃ / ∂x₂ , ∂V₃ / ∂x₃ ]

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Valido per qualsiasi materiale e a prescindere dall'ipotesi di piccoli spostamenti. Qui presupposto per travi e solidi deformabili, uso tale ipotesi.

Nel complesso si tratta di 3 enunciati:

1. TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI

   L_vi = L_ve

   Data una struttura (o un solido deformabile), questa è soggetta a:

   • forze e spostamenti [esterni]

   I lavori compiuti dalle forze (a) non dipendono dagli spostamenti (b). Sono pertanto lavori fittizi o virtuali.

   L_ve (solido) = ∫_V f ⋅ v dv + ∫_∂Bt p ⋅ ṽ dS + ∫_∂Bv p ⋅ ṽ dS

   L_ve (trave) = -F_a v_a - m_c ẏ_c - F_B v_B + m_B ģ_B + ∫₀^l q ⋅ v dz

   Essendo il sistema in equilibrio, per esigenze statiche devono esistere anche:

   • tensioni e deformazioni [interne]

4) IPOTESI DI ISOTROPIA - COSTANTI ELASTICHE

In caso di materiali isotropi (= che non hanno direzioni principali di deformazione) come legno, acciaio, cls sono in prima approssimazione, allora i 21 coefficienti di elasticità si riducono a 2 indipendenti.

• Cambia la formula di ψ

ψ = -^ν/_2E (I_σ² + 2 I_σ) + ^ν/_E I_2σ

• E = modulo di Young
• I_σ, I_2σ = invarianti di tensore
• ν = coefficiente di Poisson

G = ^E/_2(1+ν) modulo di elasticità trasversale

• Un materiale è isotropo omogeneo se E e ν non variano da punto a punto
• Le variazioni di volume dipendono dalla componente sferica di ε

tr(ε) - ^1-2ν/_E tr(σ)se ^-1-2ν/_E tr(σ) = 0 ν = ¹/₂ materiale incomprimibile

• La soluzione del modello di solido deformabile è:
  1. unica a meno di moti rigidi
  2. ottenibile per sovrapposizione degli effetti (sistema lineare di n equazioni in n_3s incognite)
• Nel caso di materiali elastici lineari isotropi, le direzioni principali di tensione e di deformazione coincidono.