Riassunti di psicometria

Concetti chiave psicometria

Prima Parte: Elementi di base per la psicometria

- Teoria degli insiemi

- Relazioni e funzioni

- Elementi di calcolo combinatorio

- Teoria della misurazione e scale di misura

INSIEMISTICA

INSIEME X

raggruppare in un unico ente oggetti distinti



INSIEME VUOTO

insieme con 0 elementi 

A   = insieme

: A

   {} = elemento

INSIEME POTENZA P(X)

insieme di tutti i sottoinsiemi di

un dato insieme

X  

: P(x) P() = {, {}}

X 

: X P(x)

{ }

INSIEME ORDINATO INSIEME ORDINARIO

ordine rilevante ordine NON rilevante

ripetizioni ammesse ripetizioni NON ammesse

( ) { }

→

Insieme ordinato insieme ordinario

→

(a, b) {a, {a, b}}

→

(a, b, c) {a, {a, b}, {a, b, c}}

CARDINALITÀ DI UN INSIEME

numero che indica la quantità di elementi di un insieme

Card(X) q

q

Card(P(X)) 2

Card(AxB) card(A) x card(B)

cardinalità del prodotto cartesiano

Card(AxBxC…x…Z) card(A) x card(B) x card(C) … x … card(Z)

Cardinalità del prodotto cartesiano a +

dimensioni 

Card () = 1 ,

1

Card P({}) = 2 = 2 {} },

Card P({}) X P({}) = 2 x 2 = 4 {,}, {, {}}, {{}, {{}, {}}

ATTENZIONE

Card di una successione che numeri cardinali



- inizia con

- successore = include nel successivo

tutti i precedenti

METODI D’IDENTIFICAZIONE DI UN INSIEME

1. METODO DELL’ELENCAZIONE

X = [soggetto1, soggetto2, soggetto3]

1. l’ordine non è rilevante

2. la ripetizione del non è ammessa

2. METODO DELLA SPECIFICAZIONE 

X = [n : p(n)] n Q

ovvero in X vi sono tutti gli elementi di Q che hanno la proprietà p

N.B.

A = [1,2,3,5,7] DEFINZIONE ESTENSIONALE

 DEFINIZIONE INTENSIONALE

A = [x : x è un numero primo minore di 10] x N

3. METODO DELLA TRASFORMAZIONE

trasformare uno o più insiemi in un altro insieme attraverso una serie di operazioni



X = A B (generica operazione)



Ex. X = [a,b,c] [d,e] = [a,b,c,d,e]

OPERAZIONI INSIEMISTICHE OPERAZIONE INSIEMISTICA

operazione che combina due (o più) insiemi a generarne un terzo

WHICH? 

UNIONE 

INTERSEZIONE 

DIFFERENZA -

o



DIFFERENZA SIMMETRICA

(SOMMA BOOLEANA) c

COMPLEMENTARIETÀ

PRODOTTO CARTESIANO X

PRODOTTO CARTESIANO

operazione tra insiemi che dà origine a un insieme di insiemi ordinati ( ) con il primo elemento

appartenente al primo fattore e il secondo al secondo fattore e così via.

(coppie o n-ple a seconda che il p.c. sia a 2 o più dimensioni) N. B.

 

A X =

INSIEME POTENZA P(X) PRODOTTO CARTESIANO AxB RELAZIONE BINARIA AB

1 insieme Tra 2 insiemi Tra 2 insiemi

Sottoinsiemi indicati con { } Insiemi indicati con ( ) Insiemi indicati con ( )

→ → →

Risultato singoletti, coppie, Risultato coppie Risultato coppie

triple, … 

RELAZIONE BINARIA PRODOTTO CARTESIANO

PRODOTTO CARTESIANO A PIÙ DIMENSIONI

CHIUSURA DI UN’OPERAZIONE IN UN INSIEME

per arbitrarie coppie di elementi di un insieme,

il risultato dell'operazione appartiene all'insieme stesso

Operazione interna all’insieme Insieme chiuso alla data operazione

 N Z Q R

(x N) ✓ ✓ ✓ ✓

+  ✓ ✓ ✓

- q < n in (n – q)

✓ ✓ ✓ ✓

x ✓ ✓

/ ✓ ✓ ✓ ✓

2

X

x ✓

SUCCESSIONE

elenco ordinato e infinito di elementi (termini della successione)

ottenuti con una specifica operazione (successore)

SUCCESSIONE SUCCESSORE

0,1,2,3,4,5,6,7,… N = N + 1

k+1 k

0,1,1,2,3,7,22, … N = (N x N ) + 1

K+1 K k-1

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, … N = N + N << SERIE DI FIBONACCI >>

k+1 k k-1

SERIE

somma degli elementi di una successione

RELAZIONI INSIEMISTICHE

criteri di confronto tra 2 o più elementi

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Relazione insiemistica Proprietà

Appartenenza Irriflessiva, asimmetrica, non transitiva

Inclusione Riflessiva, antisimmetrica, transitiva

Equivalenza Riflessiva, simmetrica, transitiva

Ordine Riflessiva/irriflessiva, simmetrica/asimmetrica,

connessa/non connessa, transitiva

APPARTENENZA

IRRIFLESSIVA

A 

: A A

ASIMMETRICA

A,B  

: se (A B) allora (B A)

A,B   

: (A B) (B A)

NON TRANSITIVA

A,B,C   →

: (A B) e (B C) non segue nulla

Può essere sia che A sia elemento di C sia che non lo sia

INCLUSIONE

RIFLESSIVA

A 

: A A

Esistono insiemi A che hanno come sottoinsiemi se stessi

ANTISIMMETRICA

A,B  

: se (A B e B A) allora (A = B)

TRANSITIVA

A,B,C   

: se (A B e B C) allora (A C)

N.B.

“Cosa posso dedurre dalla tabella di una relazione?”

RIFLESSIVA SI

SIMMETRICA SI

ANTIRIFLESSIVA SI

ASIMMETRICA SI

ANTISIMMETRICA NO

TRANSITIVA NO

CONNESSA SI

WHICH? 

APPARTENENZA

relazione tra gli elementi e l’insieme che li raggruppa

  

a X X a X a

a non è un elemento di X X contiene a X non contiene a



INCLUSIONE

relazioni tra sottoinsiemi e l’insieme da cui essi provengono

 

Inclusione Inclusione stretta

(gli insiemi non possono essere uguali)

  

a X X a X a

a non è un sottoinsieme di X X è un sovrainsieme di a X non è un sovrainsieme di a

N. B. 

Così come è scritto nell’insieme elemento 

Aggiunta di una { } sottoinsieme

DISGIUNZIONE

non esistono elementi di un insieme che siano anche elementi dell’altro

INDIPENDENZA INSIEMISTICA

dati due insiemi e almeno 4 elementi, questi sono disposti in modo tale che ve ne siano almeno uno

comune a entrambi gli insiemi, almeno uno appartenente all’uno ma non all’altro e almeno uno esterno

a entrambi

➔ Insiemi non vuoti, parzialmente sovrapposti ma non esaustivi del dominio



EQUIVALENZA

relazioni che suddividono il dominio in classi di equivalenza (partizione di un insieme)

➔ Insiemi non vuoti, disgiunti ed esaustivi del dominio

CLASSE DI EQUIVALENZA

Ogni elemento dell’insieme partizione che contiene elementi che rispettano i

criteri della relazione di equivalenza data (R, S, T)

ORDINE

relazioni che suddividono il dominio gerarchicamente

WHICH?

ORDINE STRETTO Transitiva, asimmetrica,

PARZIALE non connessa non ammette

parimerito

ORDINE STRETTO Transitiva, asimmetrica,

TOTALE connessa

ORDINE LARGO Transitiva, riflessiva, ammette il

PARZIALE non connessa parimerito e

relazioni di

equivalenza

ORDINE LARGO Transitiva, riflessiva,

TOTALE connessa

EQUIVALENZA ORDINE

1 tipo 4 tipi

Classi di equivalenza Organizzazione gerarchica

PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI

RIFLESSIVA ANTIRIFLESSIVA

⇔∀a ∈ A, ¬ aRa

R è antiriflessiva

“una relazione R si dice antiriflessiva se e soltanto

“una relazione R si dice riflessiva se e soltanto se se ogni elemento di A non è in relazione con se

ogni elemento di A è in relazione con se stesso” stesso”

SIMMETRICA ASIMMETRICA

“una relazione R si dice simmetrica se e soltanto “una relazione R si dice asimmetrica se e soltanto

se, per qualsiasi elemento a che è in relazione con se, per qualsiasi elemento a che è in relazione con

b, allora è vero anche che b è in relazione con a” b, allora è vero che anche b non è

in relazione con a”

RELAZIONE VALE IN TUTTI I DUE SENSI RELAZIONE VALE SONO IN UNA DIREZIONE

ANTISIMMETRICA

“una relazione R si dice antisimmetrica se e soltanto se, per qualsiasi elementi a e b tali per cui a è in

relazione con b e b è in relazione con a, allora è vero anche che a è uguale a b”

RELAZIONE VALE IN TUTTI E DUE I SENSI

TRANSITIVA

“una relazione R si dice transitiva se e soltanto se, per qualsiasi elementi a, b e c, se a è in relazione con b

e b è in relazione con c, allora è vero anche che a è in relazione con c”

CONNESSA

“una relazione R si dice connessa se e soltanto se, per qualsiasi elementi a,b diversi tra loro, o è vero che

a è in relazione con b oppure è vero che b è in relazione con a”

POSSONO ESSERCI ENTRAMBE LE RELAZIONI MA NE BASTA UNA PER ESSERE CONNESSA

LOGICA PROPOSIZIONALE

PROPOSIZIONE LOGICA

qualsiasi frase di senso compiuto che sia indubbiamente V o F

QUANTIFICATORI

simboli che specificano per quanti elementi del dominio è valida una certa proprietà

WHICH?



Esistenziale Almeno 1 elemento possiede la proprietà



Universale Ogni elemento possiede la proprietà

CONNETTIVO LOGICO

operatore che unisce due (o più) proposizioni a crearne una terza

WHICH? 

Congiunzione 

Disgiunzione 

Implicazione logica 

Doppia implicazione logica 

Negazione →

CALCOLO INSIEMISTICO CALCOLO LOGICO

→

Proprietà operazioni insiemistiche proprietà logica proposizionale

∪ ∨

∧

∩

c ¬

⇔

=

CONGIUNZIONE LOGICA DISGIUNZIONE LOGICA

- vera solo nel caso in cui le proposizioni - vera nel caso in cui almeno una delle due

fattori sono entrambe vere proposizioni fattori è vera

- falsa nel caso in cui almeno una delle due - falsa nel caso in cui le proposizioni fattori

proposizioni è falsa sono entrambe false



p q p q 

p q p q

FALSO FALSO FALSO FALSO FALSO FALSO

FALSO VERO FALSO FALSO VERO VERO

VERO FALSO FALSO VERO FALSO VERO

VERO VERO VERO VERO VERO VERO

IMPLICAZIONE LOGICA BI-IMPLICAZIONE – EQUIVALENZA LOGICA

- falsa nel caso in cui antecedente è vera e la - vera nel caso in cui le due proposizioni

conseguente è falsa fattori sono entrambe vere o entrambe

false

- vera in tutti gli altri casi - falsa negli altri casi

 

p q p q p q p q

FALSO FALSO VERO FALSO FALSO VERO

FALSO VERO VERO FALSO VERO FALSO

VERO FALSO FALSO VERO FALSO FALSO

VERO VERO VERO VERO VERO VERO

→

NEGAZIONE unica unaria

- vera se proposizione da cui è formata è falsa

- falsa se proposizione da cui è formata è vera p

p

VERO FALSO

FALSO VERO

TAUTOLOGIA (VERITÀ LOGICA)

proposizione sempre vera indipendentemente dalle premesse

 

(A B) A

 A

A A  A)

A (A

VERO FALSO VERO

FALSO VERO VERO

CONTRADDIZIONE (FALSITÀ LOGICA)

proposizione sempre falsa indipendentemente dalle premesse

 A

A A  A)

A (A

VERO FALSO FALSO

FALSO VERO FALSO

I NUMERI

WHICH? N Cardinalità di specifici N = [0,1,2,3,4, …, n, …] 1 5 18

Naturali insiemi (+)

+

Z Z = […, -n, …, -3,-2,-1,0,1,2,3 ,…,n,…] -206 15

Interi –

+

Q –  

Razionali 2/3 0,15

+

∧(n

Q = [ : (z Z) N )]

Frazioni (con la virgola) 7 -23

- finiti o infiniti

- periodici

Non frazionari 2

Irrazionali - infiniti

- non periodici  2 

R Razionali + irrazionali R = Q U [x : x [numeri irrazionali] ] 36

Reali 5/6 e -8,2

⊆ ⊆ ⊆

N Z Q R

NUMERABILITÀ DEGLI INSIEMI

cardinalità finita numero finito di elementi

INSIEMI CONTABILI cardinalità numerabile numero infinito di elementi e N, Z, Q

card(X) = N

INSIEMI NON cardinalità infinita Numero infinito di elementi e R

NUMERABILI card(X) = R

Card(R) > Card (N)

LE FUNZIONI

PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI

ESAUSTIVA DELLA PRIMA DIMENSIONE ESAUSTIVA DELLA SECONDA DIMENSIONE

coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di A coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di B

DETERMINATIVA SULLA PRIMA DIMENSIONE DETERMINATIVA SULLA SECONDA DIMENSIONE

ad ogni elemento di B abbina al massimo un ad ogni elemento di A abbina al massimo un

elemento di A elemento di B

PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI

ESAUSTIVA DELLA PRIMA DIMENSIONE DETERMINATIVA SULLA SECONDA DIMENSIONE

coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di A ad ogni elemento di A abbina al massimo un

elemento di B

DA OGNI ELEMENTO DI A PARTE UNA E UNA SOLA FRECCIA VERSO B

RELAZIONE

Criterio di confronto tra più elementi

➔ binaria = regola che collega alcuni elementi di un insieme ad alcuni elementi di un altro insieme

Prima dimensione

Seconda dimensione

FUNZIONE

Regola che collega ciascun elemento del 1° insieme ad un solo elemento del 2° insieme

 →)

(da ogni a A parte una sola

Dominio

Codominio

ARGOMENTI elementi della prima dimensione (A) DOMINIO

VALORI elementi della seconda dimensione (B) CODOMINIO

IMMAGINI sottoinsieme di B costituito da tutti gli elementi 

f(X) = Y che sono posti in collegamento con qualche CODOMINIO

elemento di X

CONTROIMMAGINI sottoinsieme di A costituito da tutti gli elementi 

-1

f (Y) = X che sono posti in collegamento con qualche DOMINIO

elemento di Y

PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI

ESAUSTIVA DELLA PRIMA DIMENSIONE DETERMINATIVA SULLA SECONDA DIMENSIONE

Ne consegue che

ESAUSTIVA 1° ESAUSTIVA 2° DETERMINATIVA DETERMINATIVA

1° 2°

RELAZIONE ✓ ✓

FUNZIONE ✓ ✓ ✓

F. INIETTIVA ✓ ✓ ✓

F. SURIETTIVA ✓ ✓ ✓ ✓

F. BIUNIVOCA INIETTIVA BIUNIVOCA (INIETTIVA + SURIETTIVA)

1 sola freccia da e verso

SURIETTIVA

Dominio e codominio completi

NÉ INIETTIVA NÉ SURIETTIVA

TIPOLOGIE DI FUNZIONI

FUNZIONE D’INSIEME

gli elementi che compongono il dominio e il codominio sono insiemi

FUNZIONE EMPIRICA

la combinazione degli elementi della prima dimensione con quelli della seconda dimensione ha

un’origine empirica

COPPIE ORDINATE

LA FUNZIONE NUMERICA

gli elementi che compongono il dominio e il codominio sono numeri

COPPIE ORDINATE

ASSI CARTESIANI

→

INSIEMI DI

N.B.

→ →

WHAT dominio = N discreti dominio = R continui

LAYOUT serie di punti su un piano curve

PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE NUMERICA

MONOTONA

crescente decrescente

LINEARE

a valore in cui retta interseca a = 0

intercetta asse delle y retta passante per l’origine

(costante additiva)

traslazione

b valore dell’angolo della retta b = 0

coefficiente angolare rispetto a x - inclinazione retta parallela all’asse x

(costante moltiplicativa)

dilazione TRASLAZIONE

FUNZIONE LINEARE CON B (COEFFICIENTE ANGOLARE) = 1

➔ Sempre inclinazione a 45°

DILAZIONE

FUNZIONE LINEARE CON A (INTERCETTA) = 0

➔ Sempre passante per l’origine

SISTEMI RELAZIONALI SISTEMA RELAZIONALE

Insieme in cui sono presenti 1 o più relazioni

Dato un insieme A ed un certo numero di relazioni R ,R , …, R definite in A, si chiama

1 2 n

sistema relazionale la struttura costituita da A ed R ,R , …, R e indicata con la seguente scrittura:

1 2 n

A = dominio della struttura

R , …, R = componenti della struttura

2 n

TIPO DEL SISTEMA RELAZIONALE

Insieme ordinato (k ,k , …, k ) che indica il grado delle relazioni del sistema

1 2 n

SISTEMI RELAZIONALI SIMILI = STESSO TIPO

- Stesso numero di relazioni

- Coppie di relazioni dello stesso grado (binarie, ternarie, quaternarie …)

Le relazioni possono avere dominio diverso

La tipologia di relazione può essere diversa

 © , ©>

→

A = [abitanti di Padova]; = “essere figlio di”; = “essere sposo di” <A,

Tipo (2, 2):

- n°2 relazioni

- stesso grado (binarie)

SISTEMI RELAZIONALI EMPIRICI SISTEMI RELAZIONALI NUMERICI

Dominio Insieme empirico Insieme numerico

Componenti Relazioni empiriche Relazioni/operazioni numeriche

Abitanti di Padova Numeri naturali

Figlio di, sposo di… <, =…

INSIEME EMPIRICO INSIEME NUMERICO

collezione di oggetti o individui dotati di proprietà collezione di numeri

empiricamente controllabili

RELAZIONE EMPIRICA RELAZIONE NUMERICA

qualsiasi relazione definita all’interno di un insieme qualsiasi relazione definita all’interno di un insieme

empirico o che abbia un’origine empirica numerico o che abbia origine da una formula

sposo di… <, >, =…

figlio di…

OPERAZIONE EMPIRICA OPERAZIONE NUMERICA

qualsiasi operazione i cui operandi sono membri di Qualsiasi operazione i cui operandi ed il risultato

un insieme empirico sono membri di un insieme numerico

successore di… +, -, X, : …

RELAZIONE-OPERAZIONE

Grado n + 1 Grado n

R: (Addendo 1, addendo 2, risultato)

SÌ (1,1,2), (1,2,3), (2,1,3), (3,4,7) 1+1, 1+2, 2+1, 3+4

NO (2,4,7), (1,4,2), (3,8,8)

TERNARIA BINARIA

NON È POSSIBILE DISTINGUERE I SISTEMI RELAZIONALI A SECONDA CHE

COMPONENTI = RELAZIONI O OPERAZIONI

LE STRUTTURE ALGEBRICHE

Sistemi relazionali le cui componenti (relazioni) presentano proprietà algebriche specifiche

PROPRIETÀ ALGEBRICHE

1. Associatività

2. Commutatività

3. Distributività

4. Chiusura

gruppi, anelli, CAMPI, reticoli, corpi

CAMPO

“Una struttura algebrica con un dominio X non vuoto e chiuso alle operazioni di unione e di

complementazione viene definita campo”

- Dominio X non vuoto



- Chiuso a 

IL CAMPO È CHIUSO A TUTTE LE X (insieme dato) CAMPO

c