Riassunti di psicometria

Standard uni-dimensionale

Retta: Punto della retta B

Bi-dimensionale

Piano: Punto del piano B

Tri-dimensionale

Spazio: Punto dello spazio B

N-dimensionale

Spazio: Punto dello spazio B

FOR?Se i differenti spazi di probabilità sono riportati ad uno stesso spazio euclideo (piano cartesiano numerico),sarà più immediato confrontare le distribuzioni di probabilità ed eventualmente misurare le loro differenze→nR R [0,1]nB Pr():→nB [0,1]

Distribuzioni di probabilità Pr() associate

Uni-variata: R

Bi-variata: R2

Tri-variata: R3

N-variata: Rn

Distribuzioni di probabilità N-variata

Bi-variata: "lancio di una moneta + estrazione di una biglia da un'urna con 5 rosse e 5 blu"

Variabile casuale bi-dimensionale

Variabili casuali V

Variabile casuale (V) distribuzione di probabilità indotta (Pr)

Funzione che associa ad ogni sottoinsieme di Borel una distribuzione di probabilità corrispondente a quella

attribuita alla sua contro-immagine nondello spazio campionario non euclideo εeuclidea inDOMINIOΩ BnCODOMINIOR RDICOTOMIA DISCRETO-CONTINUO vPr PrDISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀContiene 2 sottoinsiemi disgiunti e non esaustivi del dominio i quali contengonoPr() PrPr CdDISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI TIPO DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI TIPOPr PrDISCRETO CONTINUOd cPositive su una quantità finita di punti Positive all’interno di determinati intervalliWHAT Tra un evento (valore) e l’altro non esistono È sempre possibile ipotizzare l’esistenza divalori intermedi un valore intermedio tra i due consideratiΩ ΩFROM finiti (numerabili) infiniti (non numerabili)V Solo certi valori Qualsiasi valoreDISCRETACONTINUADISCRETACONTINUATESTA NEL LANCIO DI 5 MONETE DISCRETOTEMPO DI REAZIONE AD UNO STIMOLO CONTINUODISTANZA FRA IL COLPO E IL CENTRO CONTINUODURATA DELLA VITA DI UNA PERSONA CONTINUOCHIAMATE TELEFONICHE IN UN MINUTO DISCRETOMACCHINE

IN ATTESA AD UN SEMAFORO DISCRETO

TIPOLOGIA D/C FEATURES

monotona NON decrescente→ o rimane statica o cresce

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE

Continua convergenza a 0 verso - 

CUMULATIVA convergenza a 1 verso +

continua da destra

accumula tutte le probabilità dei boreliani definiti

Funzione a valori reali definita su R 

fino a quel punto (da - a x)

x Variabile casuale

y Probabilità del singolo evento (distanza tra un gradino e l’altro)

Urna con 8 palline: 0.25

0.125

FUNZIONE DI MASSA

funzione a valori reali definita su R per la quale

 Indica la probabilità di singoli punti

esista un insieme M R di cardinalità inferiore o

fuguale a N (|M | N )

f o Pr()

x Variabile casuale

y Probabilità del singolo evento (altezza della linea)

NON negativa

f è continua ovunque

FUNZIONE DI DENSITÀ

Continua f è integrabile su qualsiasi intervallo limitato o illimitato

integrale della funzione è unitario

La probabilità che

La V assuma un determinato Funzione a valori reali definita su R valore è proporzionale all'area sottesa alla curvaPr()➔ = aree sottese alla curva del grafico e NON singoli valori➔ SEMPRE AREA TOT CURVA = 1

TIPOLOGIE: DISTRIBUZIONE NORMALE

FORMULE DI RACCORDO

WHAT BETWEEN FORMULA→CUMULATIVA F PrF →f PrMASSAf f → →Pr f F→DENSITÀ f Ff

CLASSE PARAMETRICA DI DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE

CLASSE PARAMETRICA DI DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE

Collezione di distribuzioni probabilistiche

1. esprimibili tramite funzioni analitiche di massa e di densità

2. esprimibili tramite funzioni analitiche simili (omogenee analiticamente) a quelle di m. e d.

3. ogni funzione ha il proprio SPAZIO PARAMETRICO(si distingue dalle altre della famiglia per il valore di uno o più parametri della formula)

SPAZIO PARAMETRICO

insieme dei parametri (valori numerici) di una f(x)

CLASSI DISCRETE

CLASSI CONTINUE

1. Distribuzione binomiale

2. Distribuzione normale

DISTRIBUZIONE BINOMIALE → DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE T-STUDENT

Sommatoria di un certo numero n di punti Z (variabili casuali indipendenti distribuite normalmente) elevati al quadrato

Rapporto tra una V.C. distribuita normalmente e la radice del rapporto tra una distribuzione di probabilità X e i suoi gradi di libertà d

Rapporto tra 2 V.C. con distribuzione di probabilità X e X con il rispettivo valore di gradi di libertà d1 e d2

DISTRIBUZIONE F-SNEDECOR

X e X con il rispettivo valore di gradi di libertà d1 e d2

DISTRIBUZIONE F-SNEDECOR CON d1 = 1

DISTRIBUZIONE NORMALE → F(1, +∞) d2

PROPRIETÀ - DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE CONTINUE

1. la distribuzione normale è definita su tutto l'asse reale ed è simmetrica rispetto alla media (= mediana = moda) ➔ media = valore più alto della funzione f(x) μ

2. nell'intervallo [-∞, +∞] la funzione

è crescente nell'intervallo [, +] la funzione è decrescente

area sottesa alla curva = 1DISTRIBUZIONE NORMALE →4. la normale assume valori che tendono a 0 quando x➔ più ci si allontana dalla media, minore è la probabilità diosservare tali valori

la normale ha 2 punti di flesso, ovvero due punti in cui lafunzione passava da concava a convessa o viceversa

la distribuzione chi-quadrato è definita sull'asse realepositivo (perché somma di quadrati)

area sottesa al grafico = 1DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

la distribuzione assume valori che tendono a 0 quando x→ +

al crescere dei valori di d, la distribuzione si conformaalla distribuzione normale

la distribuzione è definita su tutto l'asse reale esimmetrica rispetto alla media(che vale 0 e che = moda = mediana)

area sottesa alla curva = 1DISTRIBUZIONE T-STUDENT

CRESCENTE nell'intervallo [-, 0]DECRESCENTE

Nell'intervallo [0, +∞] la distribuzione assume valori che tendono a 0 quando x tende a +∞. Al crescere dei valori di d, la distribuzione tende a conformarsi alla distribuzione normale. La distribuzione è definita sull'asse reale positivo. L'area sottesa alla curva è 1. La distribuzione assume valori che tendono a 0 quando x tende a +∞.

DISTRIBUZIONE F-SNEDECOR: x + ∞, d1 = 1 e d2 + la curva tende a conformarsi alla distribuzione normale. Il rapporto tra due varianze campionarie assume la forma di una distribuzione F.

FORMULE DEFINIZIONE FORMULA

BINOMIALE

IPERGEOMETRICA

DI POISSON {Po(λ): 0}

NORMALE STANDARD: CONTINUA

CHI-QUADRATO

T-STUDENT

F-SNEDECOR

RICORDA

PROBABILITÀ DI OGNI SINGOLO EVENTO INDIPENDENTE:

GRAFICI DISTRIBUZIONE BINOMIALE

DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA

Prove bernoulliane ripetute indipendenti

NON indipendenti

DISTRIBUZIONE DI

POISSONEventi indipendenti

Media nota entro un certo intervallo di tempo

X successi DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO→più V.C. indipendenti V.C. indipendenti con distr. normale punti Z

Distribuzione normale standard:  →+/- = +/- 1 V.C. trasformata in punti Z→N (0,1) media 0 e varianza 1

DISTRIBUZIONE T-STUDENT DISTRIBUZIONE F-SNEDECOR

USO DELLE TAVOLE STATISTICHE (DISTRIBUZIONI NORMALI)

TAVOLE STATISTICHEtavole in cui sono presenti i valori della probabilità di qualsiasi intervallo di unavariabile casuale distribuita normalmente

ELEMENTI NECESSARI

1. punto Z (distribuzione normale)

2. n = numero di V.C. (gradi di libertà d)

3. = probabilità

DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

Punto z n = gradi di libertà

(intervallo [0, 0.47] ) = probabilità

→ →Trovo probabilità Trovo punto oltre il quale cade il 5% dei dati

DISTRIBUZIONE T-STUDENT DISTRIBUZIONE F-SNEDECOR

n = gradi di libertà n1 =