Riasssunto teorico analisi 2

Limiti

CAPITOLO 1

TOPOLOGIA E FUNZIONI IN DIMENSIONE n

Intorni sferici

Intorno sferico aperto di centro x e raggio r0

Intorno sferico chiuso di centro x e raggio r

Se il limite esiste dev'essere indipendente dalla traiettoria della retta con

Coefficiente angolare

Sfera di centro x e raggio r0 cui ci stiamo avvicinando

Punti interni, esterni e di frontiera

Continuità

Punti di accumulazione e punti isolati

Funzioni limitate

Insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati, connessi

Derivate

Formula rapporto incrementale

t=spazio

Funzioni differenziabili proprietà, gradiente

Gradiente: se tutta la funzione ammette derivate parziali e queste sono continue

allora la funzione è di classe C in sostanza possiamo ricondurci dal calcolo del

differenziale al calcolo delle derivate parziali della funzione. Se ciò accade in

un punto X allora la funzione è differenziabile

Convesso (connesso per segmento) Concavo (connesso per poligonali)

Utilizzare la seguente formula

quando si ha un vincolo su una funzione e si vuole calcolare il gradiente:

Sostituire il vincolo all'interno della funzione e procedere con la derivata prima

Dominio e insiemi di livello Piano tangente

Gradiente "estendibile" per punto di applicazione

Se il gradiente è 0 il piano tangente sarà parallelo a Z=0

Ricordiamo che il gradiente ci fornisce informazioni sulla velocità con cui la funzione arriva in un punto.

Teorema Schwarz: Le derivate miste di ordine superiore al 2 sono sempre uguali!!!

CAPITOLO 2 - MASSIMI E MINIMI

Forme quadratiche

Matrice associata: xt y z t

Esempio calcolo punti max e min non vincolato

xyz Cambiamento di coordinate in 2-3 dimensioni (circonferenza, cerchio, corona circolare)

Punti critici Minimo globale

Massimo locale

Minimo locale

Se la funzione non è derivabile nel punto non si tratta di un punto critico

Sufficienti

Necessarie

Sufficienti

Estremi vincolati ESERCIZIO 2i vincoli non saranno insiemi aperti e potranno essere

limitati

Esempio metodo di parametrizzazione del vincolo circonferenze concentriche

L'unico punto stazionario vincolato della funzione f(x,y) è il punto P=(-1/2,1/4)

Esempio metodo moltiplicatori di Lagrange

Procedura per ricavare massimo e minimo relativi

ESERCIZIO 1

CAPITOLO 3 - CURVE E CAMPI VETTORIALI

Esempio: Chiusa semplice (1 giro)

Chiusa non semplice (2 giri)

Sostegno: grafico della curva negli assi cartesiani

Integrali curvilinei

Parametrizzazioni

Proprietà degli integrali curvilinei di prima specie:

• linearità rispetto all'integranda
• additività rispetto al cammino di integrazione
• CAMBIAMENTO DI PARAMETRO AMMISSIBILE

Integrali di campi vettoriali - integrali curvilinei di seconda specie

Esercizio retta tangente alla curva

Proprietà degli integrali curvilinei di seconda specie:

• linearità rispetto all'integranda
• additività rispetto al cammino di integrazione
• indipendenza dalla parametrizzazione della curva

ma non dalla sua orientazione.

Campi conservativi

Lunghezza di una curva ed ascissa curvilinea 2 3(controllare i domini bucati in R mentre in R si sfila o no)

Campo conservativo: IRROTAZIONALE E SEMPLICEMNTE CONNESSO!!!!

Rotore: ESEMPIO COMPLETO:

Se le equazioni vengono tutte verificareil rotore è irrotazionale

Determinazione del potenziale:

Esempio calcolo del potenziale:

CAPITOLO 4 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Il numero delle X dipende dal grado dellamolteplicità di Z