Revisione appunti Idrodinamica

Formulazione dei problemi di moto e superficie libera

I problemi sono legati alle equazioni del moto non lineari. Un altro problema è la complessità della geometria, quindi disegno semplificato.

Modello tridimensionale (istantaneo) (Navier-Stokes)

Il volume del fluido è dipendente dal tempo. Il calcolo necessita attuare due bilanci: di bilancio e di moto quantità.

M = massa = ∫_V ρ dv

Q = Q_d’inerzia = ∫_S(x) ρ v dv

1. dmi/dt = 0 ⇒ d/dt ∫ ρ dv = 0
   Bilancio di massa
2. dQ/dt = ∫ ρ f d v + ∫_Sf_e d s = 0
   Bilancio di quantità di moto

Le forze di massa non sono interne dal fluido (inerti) → si considerano esterne. Le forze di superficie agiscono a centro manica e deducono nel tempo cambiando da questo punto. Si utilizza il Teorema dei Trasporti per portare tutto il volume su un riferimento fisso.

d/dt ∫_V A dv = ∫_V ∂A/∂t dv + ∫_S ∇ · (A · v) dv

Si opera quindi da un volume mobile a volume fisso istantaneo ancorato nel fluido.

∇ · divergenza → ∇ · v = ∂v₁/∂x + ∂v₁/∂y + ∂v₂/∂z

Si risolve il teorema del trasporto utilizzando il Teorema della Divergenza. Si considera ^I lo spigolo ottenuto.

1. Integrale ∫ ∇ · φ(x) dv = 0
   Lusso

Si ottiene primo termine del teorema del trasporto.

d/dt ∫_V(t) f dv = ∫_V(t) ∂f/∂t dv + ∇ · (∇ (φ(x))) dv = 0 → ∂f/∂t + ∇ · (∇ (φ(x))) = 0

Formulazione del problema di urto a superficie libera

I problemi sono legati alle equazioni del moto non lineare. Un altro problema è le complicazioni della geometria e quindi descrizione semplificata.

Modello monodimensionale (istantaneo) (Navier-Stokes)

Il volume del fluido si dipende dal tempo. Il calcolo netto attraverso due leggi di bilancio di due quantità:

• Bilancio di massa
• Bilancio di quantità di moto

Le forze di massa nascono dentro dal fluido (inerni) → si considerano. Le forze di superficie agiscono al centro massa e deduciamo nel tempo cambi il quanto a punto. Si utilizza il teorema del trasporto per generare tutto si esprime su un riferimento fisso. Si pensa quindi da un volume mobile a volume fisso istantaneo colpendo dal fluido.

Si minimizza il termine del teorema utilizzando il teorema del divergenza.

1. Integrale
2. Locale

Di rappresentazione del corpo del teorema visto di massa istantanea del corpo. In generale si può scrivere così il carattere incriminato dell'acqua >> p∫ f (x, t). Si porta a f esterno lo stesso procedimento.

1. Integrale (Si prende per converso)

   d/dt ∫V ρV dv = ∫V d/dt ρV dv + ∂/∂t ∫S ρV x (V ·n) dS = ∫V gl dr + ∂/∂t ∫S E dS

   Per tutta V, d/dt ∫V ρV dv = ∫V d/dt V dv + ∂/∂t ∫V ρ+V (V n) dS = ∫V f gl dr + ∂/∂t ∫S E dS

2. Locale

   d/dt ∫V ρV dv = ∫V d/dt V dv + ∂/∂t ∫S E dS

Si cerca un nuovo... esterno il volume dell'interno d/dt ∫V d dV dc + ∫S E dS

a) Assioma di Cauchy Si sostituisce E con t = ∫S T q ds' → ∫S t q ds' → ∫V(∇·T) dv Quindi ∫V (d/dt V/dt - f) · V T dv = 0 la funzione integrando deve essere nulla in tutti i punti:

∂/∂t V = ρ f + ∇·T^-1 Equazione di Cauchy

Si ottiene dunque { ∂/∂t (V · V) = 0 d/dt (V) = ρ f + ∇·T^-1 }

Se si esprime il tensore T simmetrico T = 6 componente → 2 eq 6 inc Si deve introdurre il legame costitutivo tra Tensore e campo di moto per i fluidi di maggior interesse = −pℑ+ 2μ [ D ] con [ [ 1xx, 1xy, Ixx, Ixy ] con [ [ 1xx, 1xy, 1zx, 1zx, 1xy, 1 Ixy Izy ] Dk,l = 1/2 (d Vi/dxk + d Vk/dxi)

Lo stato tensionale messo in rapporto alla variazione passo per punto dell'aceto al fluido.

{·V=0 dV_x = -P+²V_x dt 4 incognite V=(V_S, V₃, V₂) P 12 cambio di moto cambia nel tempo ma è calcolato anche spazialmente in un solo scia relativa attorno Si vuole esprimere

dV_x = V_x + V·V_x dt tV_x + V_x + V