Revisione appunti Idrodinamica

FORMULAZIONE DEL PROBLEMA DI MOTO A SUPERFICIE LIBERA

I problemi sono legati alle equazioni del moto non lineari. Un altro problema è la complessità della geometria, quindi bisogna semplificare.

Modello tridimensionale (istantaneo / Navier-Stokes)

Le volume del fluido è definito dal tempo. Il campo di moto attorno alla physics di bilancio di due quantità:

• m = massa = ∫ _V ρdv
• E = q.di.momento = ∫ _V ρV dv

• dm/dt = 0 => d/dt ∫ _V ρdv = 0

• dE/dt = ∫ _V ρf dv + ∫ _S F ds

Le forze di massa nascono dentro del fluido (massa) - se consideriamo forze esterne.

Le forze di superficie agiscono al confine nascosto e descritto nel tempo contino da punto a punto.

• d/dt ∫ _W(t) dv = d/dt ∫ _N dv + ∫ _N ∇ (A. V) dv

Si pensi quindi da un volume mobile e volume fisso, istantanio acquisto del fluido.

• ∇ . V = divergenza => ∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z

Si provi il teorema del trasporto utilizzando il teorema della divergenza.

Si considera E e si applicano teoremi.

• INTEGRALE: d/dt ∫ _(vol) ρdv = ∫ _S ∇ . (ρ X) = 0
• V . X = 0 massa uscente
• Se X . ρ = 0 massa entrante

• LOCALE: Si scrive primo teorema del trasporto d/dt ∫ _(tot) ρ dv = ∫ _S [∂ρ/∂t + ∇ . (ρX)] dv = 0 => ∂ρ/∂t + ∇ . (ρX) = 0

In generale di può significare ipotizzando il carattere incomprimibile dell'acqua:

V · V = 0 → _∂V1^∂x + _∂V2^∂y + _∂V3^∂z = 0

Si passa a ρ applicando lo stesso procedimento:

1. Integrale (Si procede per conversioni)

_d^dt(net) ∫_V' ρV dve' = ∫_S' ρVx (V · n) dS + ∫_V' ρ (X · a) dS

Per Cuto →

_d^dt(net) ∫_V' ρV dve' = ∫_S' ρVx (V · a) dS = ∫_S ρ drv + ∫_SS E dve

2. Locale

_d^dt ∫_V ρ dxe dve'' = ∫_V dvae' dve = ∫_V dx dve' - ∫_S' β EdS

Si introduce quindi → applicando il bilancio dell'inerzia:

V' _d^dt ∫_V dve = ∫_f ρ dve' + ∫_S' E dS

4. Assioma di Cauchy

Si sostituisce F con T = Ξ + q → ∫_S' T.X. dS' → ∫_V' (V · T) dre

Quindi → ∫_V' [_d^dt dve - β (V · T)] dve' = 0

La funzione integrale deve essere nulla in tutti i punti:

_d^dt dve = - ρβ + V · V = II

Si ottiene dunque (V · V = 0) + _d^dt dxe = ρ.β + V · V →

Se si ipotizza il tensore T simmetrico → T = 6 componenti → 3 eq_5 dic

Si deve introdurre il legame costitutivo tra tensore e campo di moto → T = η dχ: ∂Vi∂χ (Componente 0) (Componente r)

Per i fluidi di maggior interesse _∂Vi^∂χ = qV_i + 2*q

Con η: [1.0 0.2]

Dx = 1/2 ( ∂V1∂χ + ∂V2∂x)

Lo stato tensoriare non è in rapporto alla variazione presa per punto dall'evoluzione al fluido

Si divide ora la differenze che sono tra _V ^x < V_x

1. La media d’insieme non è dettagliata al contrario di quella temporale
2. La media d’insieme non è dettagliata al contrario di quella temporale

Come fare per superare il problema?

Teorema Ergodioco

Si può utilizzare la media spaziale al posto di quella di insieme solo se:

<_V ^x - V_x> = 0 Lim_τ→∞ ¹/_τ ∮ f(∞)dt = 0

La conseguenza della funzione V sarà legabile. Si riscrive il limite Lim_p→0 ¹/_p ∫ ∞

Oltre ciò il teorema ergodico vale se T >> T₀ quindi un intervallo di media molto maggiore delle scale integrale della turbùlenza.

Equazioni di Reynolds

V = <_V ^x> + V’

< _p> = < P > + ρo’   -> Le medie consistenza e righelli -> Principi di Corso.

1. _{V 0} = 0
2. <_p> = < ∇ > + V⋅ < V

   ∂_∇ / ∂t + V ⋅ ∇< < V > = -∫ ∇Vm {P} + vV^-2 V

Ora si richiama:

1. <a + b + C⋅ > = <a> + <b> + <c>
2. ∂C≥∂ / C > ∂ / C <

<aB + C’> = A B + C

Si: L’equazione continuità ∂Vi = 0

1. ∂V₂ / ∂xi = 0
2. V₂ = ∂V₂ δi < δ2   Se Lo Si media -> V^x

→ ∂V₂ /x - V< -> ^Δv⋅∇V

∂ Ix

Le Conseguenze dirette è:

V > V ^{(V + I0)V}

∇V ⋅ ∇V + ∇V ⋅ V -> ∇>V = 0

Si impone conservazione (e.g. 3 osserv.)

∂V / ^∂t = - ∫∇^V dV_x   ρf = ∂ / ∂fj ->   ρxdV^o/ δx

FONDO:    Si definisce F_z (x_b, y_b, t) = 0 il livello naturale

                                                                        Anche il fondo non si può sollevare dal fluido

Condizione Cinematica

(1)

      ^dF_z/_dt = 0 >   ^dF_z/_dx  V_x  +  ^dF_z/_dy  V_y +  (-V_z)  V_z = 0   in  z

Condizione Dinamica

(2)

       Le  forze  si  sviluppano  perché  il  fluido  si  muove  dipende  dal campo di moto