Rette e piani nello spazio - Algebra e geometria lineare

Prodotto scalare tra vettori

W⃗ ⃗ ⃗ =¿α* = | * Angolo tra i due∨¿V W V ⃗¿ ¿vettori Prima forma =⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(X + Y + Z ) * (X + Y + Z ) = X X + Y Y + Z ZJ Ji ik kv v v w w w v w v w v wSeconda formaIn questo caso i versori degli assi scompaiono dato che il prodotto scalare tradue vettori uguali da ⃗⃗ ⃗sempre come risultato 1 (versori degli assi , , ). i J kInoltre il prodotto scalare tra due vettori uguali darà come risultato il valore 1, mentreun prodotto scalare tra due versori di due assi differenti darà come risultato 0. Questoè dato dal fatto che il prodotto scalare di due vettori ortogonali tra di loro dà comerisultato sempre 0, infatti i versori fondamentali sono ortogonali tra di loro: 6Tosetti Luca 21/09/20203Rette in R -Prodotto scalare⃗k∗⃗⃗ ⃗ ⃗ ∗⃗ ⃗ ⃗= = = 1 = (1, 0, 0) * (1, 0, 0) = 1*1 + 0*0 +∗ ∗i i J J i ik0*0 = 1 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗= = = 0 = (0, 1, 0)

(0, 0, 1) = 0*0 + 1*0

i J * * * i k J k J k+ 0*1 = 0

7Tosetti Luca 21/09/2020

Prodotto scalare-Retta nello spazio

➔➔➔= 2 + 3 -V i J k ➔➔➔= 3 + 2 + 12W Ji W k ➔*

= 2*3 + 3*2 -1*12 = 0

V W➔V

In alcuni casi occorre andare ad utilizzare entrambe le formule del prodotto scalare per, ad esempio, calcolare l'angolo tra i due vettori.

➔➔➔= - 2 - Angolo traV J Vi 3 k➔e = ?W ➔➔ ➔➔= 2 + 3 -W i J k ¿*

CosαW➔ ➔ √*

= 2 – 6 + 3 = -1 | * = 1➔ ➔Cosα

Qualsiasi angolo trovato con questa modalità sarà compreso tra 0 e π

Il modulo di un vettore è calcolabile attraverso la radice quadrata della somma delle sue componenti (X, Y, Z) elevate alla seconda.

√➔ 2 2 2| | =V +Y +ZX

Il prodotto scalare possiede anch’esso delle proprietà:

Commutatività: V * W = W * V

Omogeneità: k(V * W) = k * (V * W) = (k * V) * W

Distributività rispetto alla somma di vettori: (V + U) * W = V * W + U * W

Positività: V * V ≥ 0 e V * V = 0 se e solo se V = 0

NON associativo

RETTE NELLO SPAZIO

Tosetti Luca 21/09/2020

Prodotto scalare-Retta nello spazio

Dati due punti distinti in un piano o nello spazio ho una e una sola retta passante per quei due punti.

Per indentificare una retta nello spazio è necessario un punto iniziale e un vettore che mi dia la direzione di tale retta (tale vettore prende il nome di vettore direttore, e nel caso sia unitario i suoi componenti prendono il nome di coseni direttori).

Tosetti Luca 21/09/2020

Equazione cartesiana del piano-Proiezione ortogonale

Una retta può essere espressa nella cosiddetta equazione parametrica utilizzando il punto iniziale P (X, Y, Z) con la

₀ + ₁t Nello spazio: ⃗ ⃗(0, 1, 2) (1, 2, 3) P V X = 0 + 1t Y = 1 + 2t Z = 2 + 3t (Equazione retta)1 + 2t Y = 1 + 2t Nello spazio: ⃗ ⃗(0, 1, 3) (1, 2, -1) P VX = t Vado a sostituire X = t Y = 1 + 2t Y = 1 + 2X Y = 1 + 2X , Z = 3 – X (Equazionipiani) Z = 3 – t Z = 3 - X La retta passante per due punti A e B si può rappresentare sia in equazione vettoriale che parametrica. ⃗X = A + t AB X = X + (X – X )t A b a Y = Y + (Y – Y )t 0 b a Z = Z + (Z – Z )t 0 b a Es: A(1, 0, -3) B(2, 1, -1) ⃗ ⃗ 1) Calcolo la direzione del vettore = = (X – X , Y – Y , Z – Z ) = V AB b a b a b a (1, 1, 2) 2) Scrivo equazione parametrica 10 Tosetti Luca 21/09/2020 Equazione cartesiana del piano-Proiezione ortogonale X = X + at X = 1 + 1ta Y = Y + bt Y = 0 + 1ta Z = Z + ct Z = -3 + 2ta Da questo sistema potremmo ottenere sia il punto A che il punto B dipendentemente da dove vogliamo partire. Ad esempio se partissimo da A (come nell’esempio sopra), per ottenere B basterebbe porre t=1, viceversa se partissimo dal punto B, per ottenere A dovremo porre t=-1. Infine sipuò anche passare ovviamente dalla rappresentazione parametrica della retta a quella cartesiana in modo molto semplice, infatti quello che dovremo fare è porre una delle 3 incognite dell'equazione rappresentante un piano uguale a t (la scelta deve essere fatta scartando le incognite già poste uguali ad una costante).

X + Y + Z + 1 = 0

X = tr : -X + Y -2Z + 1 = 0

X + Y + Z +1 = 0

-X + Y -2Z + 1 = 0

Successivamente poi si procede a sostituire tale incognita (X) nelle altre equazioni e si calcola il valore della seconda incognita (Y).

X = t

X = tt + Y + Z + 1 = 0

Y = -t – Z – 1

-t + Y – 2Z + 1 = 0

-t + Y – 2Z + 1 = 0

A questo punto si sostituisce il valore della seconda incognita trovato (Y), nella terza equazione andando a trovare il valore della terza incognita (Z), espresso con t.

X = t

X = t

Y = -t – Z – 1

Y = -t – Z - 1

-t – t – Z – 1 – 2Z + 1 = 0

Z = -2/3t

Si trova quindi alla fine l'equazione.

parametrica della retta sostituendo nella secondaequazione il valore dell'ultima incognita trovata (Z).

X = t

Y = -1/3t - 1

Z = -2/3t

Un'altra possibilità sarebbe invece quello di utilizzare il metodo delle matrici,ugualmente a quello del prodotto vettoriale.

⟿X + Y + Z + 1 = 0 (x, y, z) (1, 1, 1) ⠀⠁ ⠀r : V⟿-X + Y -2Z + 1 = 0 (x, y, z) (-1, 1, -2) ⠀⠁ ⠀U 10