Rette e piani nello spazio - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 21/09/2020

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Rette in R -Prodotto scalare

RETTE E PIANI IN R 3

Ad ogni punto P, presente nello spazio possiamo assegnare delle coordinate (X, Y, Z)

che vanno a identificare in modo univoco quel punto sempre nello spazio.

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Nell’insieme di terne di numeri reali (R ) possiamo ad andare ad individuare dei vettori

particolari. Tali vettori prendono il nome di versori degli assi, e si tratta di vettori che

possiedono un modulo pari a 1 e direzione uguale a quella degli assi.

Z P

⃗

k

⃗

i Y

O ⃗

J

X ⃗

⃗ ⃗ ⃗

Considerato questo le scritture P (X, Y, Z) e = X + Y + Z sono

 OP i J k

analoghe. ⃗

Inoltre il vettore è chiamato anche vettore posizione del punto P (dato che le

OP

sue componenti corrispondono alle componenti che individuano il punto P nello spazio)

PRODOTTO SCALARE

Il prodotto scalare, è un prodotto tra due vettori che danno come risultato un numero

reale (scalare). Per effettuare questo prodotto dunque viene presa una coppia di

vettori alla quale si associa un numero reale, in particolare tale numero reale sarà la

somma dei prodotti dei componenti (X, Y, Z) dei due vettori:

R x R = R Definizione di prodotto scalare (La “x”

n n

rappresenta il Il prodotto cartesiano)

∨¿∗Cosα

W

⃗ ⃗ ⃗ =¿

α

* = | * Angolo tra i due

∨¿

V W V ⃗

¿ ¿

vettori Prima forma =

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

(X + Y + Z ) * (X + Y + Z ) = X X + Y Y + Z Z

J J

i i

k k

v v v w w w v w v w v w

Seconda forma

In questo caso i versori degli assi scompaiono dato che il prodotto scalare tra

due vettori uguali da ⃗

⃗ ⃗

sempre come risultato 1 (versori degli assi , , ).

 i J k

Inoltre il prodotto scalare tra due vettori uguali darà come risultato il valore 1, mentre

un prodotto scalare tra due versori di due assi differenti darà come risultato 0. Questo

è dato dal fatto che il prodotto scalare di due vettori ortogonali tra di loro dà come

risultato sempre 0, infatti i versori fondamentali sono ortogonali tra di loro: 6

Tosetti Luca 21/09/2020

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Rette in R -Prodotto scalare

⃗

k∗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ∗⃗ ⃗ ⃗

= = = 1 = (1, 0, 0) * (1, 0, 0) = 1*1 + 0*0 +



∗ ∗

i i J J i i

k

0*0 = 1 ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= = = 0 = (0, 1, 0) * (0, 0, 1) = 0*0 + 1*0



∗

i J ∗ ∗ ∗

i k J k J k

+ 0*1 = 0 7

Tosetti Luca 21/09/2020

Prodotto scalare-Retta nello spazio

⃗

⃗ ⃗ ⃗

= 2 + 3 -

V i J k ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

= 3 + 2 + 12

W J

i W k ⃗ ⃗

* = 2*3 + 3*2 -1*12 = 0

V W

⃗

V

In alcuni casi occorre andare ad utilizzare entrambe le formule del prodotto scalare

per, ad esempio, calcolare l’angolo tra i due vettori.

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

= - 2 - Angolo tra

V J V

i 3 k

⃗

e = ?

W ⃗

⃗ ⃗ ⃗

= 2 + 3 -

W i J k ∨¿∗Cosα

W

⃗ ⃗ ⃗ √

* = 2 – 6 + 3 = -1 | * = 1

 

∨¿

V W V 14

⃗

¿ ¿

√ Cosα

* * = 1

14 = -1/14

 Cos