Piani e rette

Piani e Rette

Per individuare un piano π nello spazio possiamo assegnare:

1. un punto P₀ di π e un vettore v ortogonale ad π;
2. un punto P₀ di π e due vettori u e v paralleli ad π;
3. tre punti P₀, P₁, P₂ di π non allineati.

Nel caso a) sia P₀ = (x₀, y₀, z₀) e v = (a, b, e), se P = (x, y, z) è il generico punto di π, il vettore (OP - OP₀) è parallelo ad π e quindi è ortogonale a v. Si ha perciò l'equazione vettoriale:

v · (OP - OP₀) = 0

che, passando dai vettori alle componenti, diventa:

a (x - x₀) - b (y - y₀) + e (z - z₀) = 0

da cui l'equazione cartesiana:

(1) d · ax + by + ez + d = 0 dove d = -(ax₀ + by₀ + ez₀)

Un piano d si rappresenta quindi con un'equazione lineare in x, y, z i cui coefficienti della ineguate sono i componenti di un vettore ortogonale ad π. Se si moltiplica la (1) per un fattore non nullo si ottiene un'equazione che rappresenta lo stesso piano, perciò l'equazione cartesiana di π è determinata a meno di un fattore di proporzionalità.

Nel caso b) è facile ricondursi al caso a) basta osservare che il piano passante per un punto P₀ parallelo a due vettori u e v è il piano per P₀ ortogonale al vettore v = u ∧ v.

Nel caso c) si cerca il piano π passante per i punti P₀, P₁, P₂, basta osservare che π è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P₀ ed è parallelo ai vettori (OP₁-OP₀) e (OP₂ - OP₀), perciò applicando il caso b, basta determinare il piano per P₀ ortogonale al vettore v = (OP₁-OP₀) ∧ (OP₂ - OP₀).

Parallelismo tra Piani

π: ax + by + ez + d₁ = 0 e d: a'x + b'y + e'z + d₂ = 0 sono

PIANI E RETTE

Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:

1. un punto P₀ di π e un vettore v ortogonale ad π;
2. un punto P₀ di π e due vettori u e v paralleli ad π;
3. tre punti P₀, P₁, P₂ di π non allineati.

Nel caso a, sia P₀(x₀,y₀,z₀) e v = (a,b,e), se P'(X,Y,Z) è il generico punto di π il vettore (OP' - OP₀) è parallelo ad π e quindi è ortogonale a v. Si ha perciò l'equazione vettoriale:

v · (OP' - OP₀) = 0

che, passando dai vettori alle componenti, diventa:

a (x-x₀) - b (y-y₀) + e (z-z₀) = 0

da cui l'equazione cartesiana:

(1) a x + b y + e z + d = 0 dove d = - (a x₀ + b y₀ + e z₀)

Un piano di π si rappresenta quindi con un'equazione lineare in x, y, z; i suoi coefficienti sono le componenti di un vettore ortogonale ad π. Se si moltiplica la (1) per un fattore non nullo, si ottiene un'equazione che rappresenta lo stesso piano; perciò l'equazione cartesiana di π è determinata a meno di un fattore di proporzionalità.

Nel caso b è facile ricondursi al caso a; basta osservare che il piano passante per un punto P₀ parallelo a due vettori u e v è π il piano per P₀ ortogonale al vettore v = u ∇ v.

Nel caso c si cerca il piano π passante per i punti P₀, P₁, P₂; basta osservare che π è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P₀ ed è parallelo ai vettori (OP₁ - OP₀) e (OP₂ - OP₀); perciò applicando il caso b, basta determinare il piano per P₀ ortogonale al vettore v = (OP₁ - OP₀) ∇ (OP₂ - OP₀).

PARALLELISMO TRA PIANI

I piani π: ax + by + ez + d = 0 e π': a'x + b'y + e'z + d'₁ = 0 sono…

paralleli se e solo se i vettori _͡v(a,b,e) e _͡v = (a',b',e') sono paralleli; quindi sono paralleli se e solo se esiste un coefficiente reale non nullo K tale che (a,b,e) = K(a',b',e'). Se inoltre (a,b,e,d) = K(a',b',e',d'), i due piani coincidono.

RETTE

Per individuare una retta r nello spazio possiamo assegnare:

• ⍺ un punto P₀ della retta e un vettore _͡v_r parallelo alla retta;
• β due piani non paralleli di cui la retta è intersezione;
• due punti distinti della retta.

Nel caso ⍺ siano P₀(x₀, y₀, z₀) e _͡v = (l,m,µ); un punto P(x,y,z) appartiene ad r se e solo se esiste t ∈ ℝ tale che

1. (_͡OP - _͡OP₀) = t _͡v

(1) si dice equazione vettoriale della retta e _͡v, si dice vettore direttore di r e le componenti l,m,µ di _͡v si dicono parametri direttori di r. Da (1), passando alle componenti, si deducono le equazioni parametriche di r:

(2)

• x = x₀ + lt
• y = y₀ + mt
• z = z₀ + µt

da cui segue l'uguaglianza dei rapporti:

^{x - x₀}/_l = ^{y - y₀}/_m = ^{z - z₀}/_µ

che a rigore, avrebbe senso solo se l ≠ 0, m ≠ 0, µ ≠ 0. Eguagliando ad due coppie di tali rapporti, si trovano le equazioni di due piani, di cui r è intersezione; il sistema lineare:

• (3)
• ^{x - x₀}/_l = ^{y - y₀}/_m
• ^{x - x₀}/_l = ^{z - z₀}/_µ

è la rappresentazione cartesiana di r.

Nel caso β, sono dati due piani non paralleli r: ax + by + e⁰z + d = 0 e a'x + b'y + e'⁰z + d' = 0, che hanno come intersezione la retta r.

le coordinate dei punti di r sono le soluzioni del sistema lineare:

• a x + b y + e z + d = 0
• a' x + b' y + e' z + d' = 0

Per ottenere una rappresentazione parametrica di r, dobbiamo trovare una soluzione particolare (x₀, y₀, z₀) del sistema, e un vettore parallelo ad r; per fare ciò basta osservare che j = (h, m, u) deve essere ortogonale a entrambi i vettori _n a (a, b, e) e _n' a (a', b', e'), quindi si può scegliere

Nel caso se vogliamo determinare la retta che passa per P₀ (x₀, y₀, z₀) e P₁ (x₁, y₁, z₁), possiamo ricondurci al caso a), facendo la retta che passa per uno dei due punti, per esempio P₀ e parallela al vettore _v = (P₁ P₂). Si ottengono le equazioni parametriche:

• x = x₀ + t (x₁ - x₀)
• y = y₀ + t (y₁ - y₀)
• z = z₀ + t (z₁ - z₀)

Quanto visto finora per la retta nello spazio può ripetersi per un’analogia nel piano; per ottenere una rappresentazione parametrica della retta r passante per il punto P₀ e parallela al vettore (h, m), basta sopprimere la coordinata z della (z):

• x = x₀ + lt
• y = y₀ + mt

da cui, eliminando il parametro t, si ottiene una rappresentazione cartesiana della retta r data da un’unica equazione del tipo:

• a x + b y + e = 0

dove il vettore _n = (a, b) è perpendicolare al vettore _v = (h, m).

FASCI DI PIANI

Date le equazioni di due piani distinti α: a x + b y + e z + d = 0, α': a' x + b' y + e' z + d' = 0, diciamo FASCIO DI PIANI individuato da α e α' l’insieme di tutti i piani individuati da

un'equazione del tipo:

(5) λ(ax+by+ez+d) + μ(a'x+b'y+e'z+d') = 0

al variare di λ, μ ∈ ℝ.

Osserviamo che la (5) per ogni coppia di valori (λ, μ) ≠ (0,0), èun'equazione lineare in x,y,z, perciò rappresenta un pianopreciso. Distinguiamo due casi:- se i piani d e d' si intersecano secondo una retta r, ogni piano alsuo old fascio passa per la retta r, inverso ogni piano pas-sante per r si può individuare con un'equazione di tipo (5);in questo caso si parla di fascio proprio di piani con asse la retta- se i piani d e d' sono paralleli, ogni piano del fascio è parallelolo ad d e d', e viceversa, ogni piano parallelo ad d e d' appar-tiene al tascio; in questo caso si parla di fascio improprio dipiani rappresentati da un'equazione del tipo: ax+by+ez+k = 0.

Distanza tra due punti

Dati due punti P(x, y, z) e P'(x_1, y_1, z_1), la distanza di P da P'e il modulo del vettore ossea:

d(P, P') = √ ((x-x')² + (φ-φ')² + (z-z')² )

Distanza di un punto da un piano

Data un piano di: ax+by+ez+d = 0 e un punto P₀(x_0,y_0,z_0), laloro distanza è la distanza di P₀ dal punto H (proiezione orto-gonale di P₀ su di π)

d(P₀, a) = d(P₀, H) =