Piani e rette

Piani e Rette

Per individuare un piano nello spazio possiamo assegnare:

1. un punto P₀ ed un vettore v ortogonale ad π;
2. un punto P₀ ed due vettori u e v paralleli ad π;
3. tre punti P₀, P₁, P₂ di cui non allineati.

Nel caso a): sia P₀(x₀, y₀, z₀) e v(a, b, c), se P(x, y, z) è il generico punto di π, il vettore (OP - OP₀) è parallelo ad π e quindi è ortogonale a v. Si ha perciò la equazione vettoriale:

v · (OP - OP₀) = 0

che, passando dai vettori alle componenti, diventa:

a(x-x₀) - b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

da cui l'equazione cartesiana:

(*) π: ax + by + cz + d = 0 dove d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)

Un piano π si rappresenta quindi con un'equazione lineare in x, y, z e i coefficenti della inequazione sono le componenti di un vettore ortogonale ad π. Se si moltiplica la (*) per un fattor non nullo, si ottiene un'equazione che rappresenta lo steggio piano, perciò l'equazione cartesiana di π è determinata a meno di un fattore di proporzionalita'.

Nel caso b) è facile ricondursi al caso a); basta osservare che il piano passante per un punto P₀ parallelo a due vettori u e v è il piano per P₀ ortogonale al vettore v = u ^ v

Nel caso c) si cerca il piano passante per i punti P₀, P₁, P₂; basta osservare che π è il piano che passa per uno dei punti, per esempio per P₀ ed è parallelo ai vettori (OP₁ - OP₀) e (OP₂ - OP₀). e perciò applicando il caso b), basta determinare il piano per P₀ ortogonale al vettore v = (OP₂ - OP₀) ^ (OP₂ - OP₀).

Parallelismo tra piani

I piani π: ax + by + ez + d = 0 e π': ax + by + ez + d₁ = 0 sono...