Reticolo diretto e reciproco modello cinematico della diffrazione e altri argomenti

Reticolo di Bravais

_{a1 a2 a3} - 3 vettori non complanari

R = _n1a1 + _m2a2 + _m3a3 m_i ∈ ℤ

punto reticolo

V_c = _a1 ( _a2 ∧ _a3 ) ⟶ volume cella

_a2 ∧ _a3 = _a3 ∧ _a2 ⟶ anticommutativo

_a1 * (_a2 ∧ _a3) = _a1 * _a2 ∧ _a1 * _a3 ⟶ commutativo

Numero complessi

z = a + ib i = √−1

* C_ℂ ⟶ |z| = √a² + b²

Sistema cubico semplice

Uniforme in punti retiessenziali dei due vettore

a₁ = _n1a1 + _m2a2 m_i ∈ ℤ

3 vettori non complanari

BCC FCC

FCC

Una cella convenzionale contiene G atomicella primitiva conta 1 atomo

Wigner e Seitz: Criterio di costruzione della cella primitivapunto x 2 atomi vicinipiano perpendicolare nel punto medio

Stessa cosa per secondi, vicini, terzi e così viafino a identificare la cella

Cella unitaria primitiva

V_o = &##773;a₁ . (&##773;a₂ x &##773;a₃) = &##773;a₂ . (&##773;a₃ x &##773;a₁) = &##773;a₃(&##773;a₁ x &##773;a₂)solo le permutazioni cicliche&##773;a₃(&##773;a₁ x &##773;a₂) anticommutativo

esempio: Osso → reticolo FCC → 4 atomi → 12 primi vicini

BCC → 8 primi viciniSC → 6 primi vicini

esempio: Silicio → cella cubica → celle traslate di 1/4reticolo reciproco → misurabile con la diffrazione

Calcolo monogenico del reticolo reciproco.

E_cub = E_a exp (i&##773;K . &##773;r ) E_b exp (-i&##773;ut)

Curve di fase costante: K.F. = costante

Propaga onde energiaVettore di Poynting

Esempio:

Oro: FCC

a₀= 0.408 nm

d₁₁₁ = ^a/_√3 = 0.408 nm / √3

Più alti sono gli indici di Miller e più i piani sono vicini

Modello cinematico della diffrazione

Punti presi nelle loro posizioni

Scattering di tipo elastico:

|K| = |K’| = 2π

ω_c = c |K| - legge di dispersione

E_√ = E₀ e^i(k’-k)· dr

∫ e^{i(k’·r-k·r)}

onda che cresce: Fattore geometrico

in fase con quella della sorgente

Ampiezza di

scattering

Funzione periodica per cristalli

|T|=1

(ρ(r) e^iG·r)

p(t) = ((a₁ + t) –

con ^π/_T

ω_s = ^2π/_T = 2s π

w_mn = ^2π/_l

F(t) = ((a₀ + ∑ a_m sin(ω_mt) + ∑ b_m cos(ω_mt)))

Se fornisco calore: potenziale asimmetrico fa dilatare il cristallo dovuto ai potenziali anarmonici.

Scostamento dell'atomo dalla coordinata reticolare al tempo t:

_ri = _ri(t) = _ri(_Ri, t) ≈ _Ri + _ui(_Ri, t) ⇒ _Nr(t) = _R + _u(t)

In 1D esercio piccolo impulso alla distribuzione termodinamica (piccole oscillazioni):

1/2_m(_Ri, t) |_kB|ϵ.A|

Approssimazione di cristallo armonico: interazione fino ai primi vicini (altre interazioni sono trascurabili per la distanza): gli spostamenti tra piani non sono uguali (altrimenti sarebbe un corpo rigido).

• L'onda trasversale ha 2 polarizzazioni
• L'onda longitudinale ha 1 polarizzazione

_λ = _λk += onda elettromagnetica longitudinale → 3 = grado (d₁, d₂).

Dinamo con costante _κ: come xi + direzione normale e costante nelle direzioni al loro simmetriche su _l1b₁d₁ben in ordine ≡ 100 (110) (111).

Materiale monoatomico

x →

F_x = m_xa

F = L C [(_um(t) - _um(t-1))] = forza spinge tempo k dalla mola elastica

R = ma

m ∈ ℤ

1/2_t(t)/^K ≤ a ≈ approssimazione del cristallo armonico (peso dinamico).

• Forza spinge tempo k - 2 spostamenti R sono uguali: F = 0
• Sottomano L + n con K mc norme
• Forza spinge tempo k¬ - molla più

rela

U_m(t) e U_m+n(t)

U_m(t) = A e^ikma e^iwt

U_m(t) = A e^i(km+n)a e^iwt

ω₁

ω₂

K

Quali K posso scegliere?

Hb infiniti K possibili -> valori: a_ik

K∈R stati possibili

questo perchè ho una catena di atomi infinita

Se è undeutale:

3 atomi

fisso gli estremi - 0 mode

C``ì intersecano onde viaggianti e^ikr e non onde stazionanare

(Cyclić)

Born e Von Karman conditions

modo stazionare

transformao ite segmento in un cerchio

numero di atomi

è xolte ale completate le gira e deve ritornare lo stesso

stato fisico

Al finito

U_m(t) =U_m+n(t) e^ikNa = 1

U_m(t) =U_m+n(t)

A e^ikma e^iwt = A e^ik(m+n)a e^iwt

e^ikma = e^ik(m+n)a

IkNa = 2πm

k1 = 2π/Na m

K_A = 2π/Na

K_mm...m_m K_o

k = elemento alla zona di Brillem

N diversi stati

1/N + 2/N + Na/2K = N

N diversi valori di k

decicato in π

_a

-> cos- continua e derivabile

unico modo per raccordarci e avere periodicità:

ω_b(k) = ω₀(k) √

C_A 1 1 d_B sin k₁ k sin₁ (k_A)

(1+t_A)² (1+t_B)^1/2 (1) 2 (2) 1/2

ω_A(k) ≈ ω_B sin (√2)

k sin_{2 1} [_k 8 t_A]

ω_B(k) = C₀1 √ (1 + β)^1/2 C_k+1

(c)

ω₀ √ d_A √ 1 + β √ 1 + β 2 1/2

→ ₂ √ √ √ _B

2 m m m _1+β

ω_A(k) -> si chiude la gap e si deve tivener al caso monoatomico

_{4 (tB)² / 2} k²

(m)_parabolico 2 (m_A)₁ + 1 d1 + 2

→ parametto di cella diventa a/2 → 2 _a

→ cambia il bordo della ^cella

→ 1 ai → (c puta)

ω_parent = ω (k=0)

→ Perché? -> mona ottico? →

u_m(t) = cos e ^ω_m (t) → u_m A √ 9e

u_m(t) = sin e ^ω₀ (t) → = B

(m -> _cos) (m -> _a)

a + 2 a A_e x₁ B

(e - ⁽¹⁾ e = B _A

Qt_A

2 → C &g + (π

R_T(2

→ = _c-A

R_Of

u_r

√2 ege 72 m m