Relazioni principali Dinamica dei sistemi meccanici

Dinamica dei

Formule e relazioni principali, auspicabilmente da imparare a memoria, del corso di

sistemi meccanici

NUMERI COMPLESSI

Notazione generale:

= + = ∙ + ∙ =

Con 2 2

√

= +

e (per approfondimenti appunti scritti): ()

1

= ( )=( )

()

Formule di Eulero:

+

= 2

−

= 2

Notazione fasoriale:

() = ( + ) = { ∙ }

Con

= || =

= 0

Se allora X è un numero reale e non più un fasore.

Le derivate sono molto più veloci con la notazione fasoriale:

̇ () = {() ∙ }

2

̈ () = {(− ) ∙ }

Se la funzione di partenza è invece sinusoidale si utilizza la parte immaginaria:

() = ( + ) = { ∙ }

ANALISI ARMONICA

Serie di Fourier per segnali periodici: ∞

0 ∑[

() = + ( ∙ ) + ( ∙ )]

2 =1

Trasformata di Fourier (funzione complessa) per segnali aperiodici:

∞ −

() = ∫ ()

−∞

+∞ −

() = ∫ ()

−∞

In realtà, a livello pratico, l’integrale di x(t) tra 0 e infinito può anche non esistere. Il segnale viene

acquisito per un intervallo di tempo finito T*, pertanto:

∗ −

() = ∫ ()

0

In questo modo la funzione non è più aperiodica ma periodica di periodo T*, definita da -∞ a +∞. Si

ottiene quindi uno spettro discreto per il fatto che la funzione viene trattata come periodica di periodo

→Problemi

T*. di Leakage…

Trasformata discreta di Fourier (funzione complessa) per segnali aperiodici:

−1 −∙2∙

∑

( ∙ ∆) = ∆ ∙

=0

Con:

• è il campione n-esimo di x(t), cioè x(t)=x(n∆)

• ( ∙ ∆) rappresenta il termine k-esimo dello spettro di x(t)

• è il numero di campioni

MOTO LIBERO SISTEMA A 1 GDL SMORZATO

Equazione per lo studio dinamico (sistema di riferimento nella posizione di equilibrio):

̈ + ̇ + = 0

il polinomio caratteristico associato è: 2

+ + = 0

che porta a soluzioni del tipo:

1) () = + ≠

1 2 1 2

2) () = + ∙ = (è ∆= 0)

1 2 1 2

∆= :

Costante di smorzamento critico, = 2√ ∙

∆< ↔ <

Moto oscillatorio sottosmorzato,

1

− −

2 2

√4 ( √1

() = ∙ ∙ ( − ∙ + ) = ∙ ∙ − + )

2

0 0

2

con pulsazione propria: 2

1

2 2

√4 √ √1 √1

= − = ∙ − = ∙ −

2 4

Parametri adimensionali:

√

=

= =

2√

Decremento logaritmico per il calcolo sperimentale di c:

( ) 2

1

( )=

( = + ) 2

−

√1

2 1

< 0.2/0.3

e se allora vale la formula approssimata:

) )

( (

√

1 1

( ) ( )

≅ 2 ↔ ≅ )

( = + ) (

2 1 2

MOTO FORZATO SISTEMA A 1 GDL SMORZATO

̈ + ̇ + = () ↔ ̈ + ̇ + =

0 0

Hp. di soluzione:

() = ( + ) =

0

da cui si ottiene il fasore: 1

= ∙

0 2

− +

Con fase:

( ) ( )

= − = − ± >

2 2

− − − −

Si definisce quindi la funzione complessa di variabile reale chiamata ricettanza:

1 1 1

() = = = ∙ 2

2

− +

0 1− + 2

2

Pulsazione di risonanza: 2

2 − 2

√ √1

= = − 2

2

2

Metodo di mezza potenza per il calcolo sperimentale di c:

−

2 1

= 2

MOTO LIBERO SISTEMI MDOF NON SMORZATI (n gdl)

̈

[]{} []{} {0}

+ =

Hp. di soluzione:

{()} { }( { }

= + ) = = { }

0 ...

Calcolo delle pulsazioni proprie naturali, n soluzioni in (autovalori reali) sempre positive:

2

([] [ ])

− = 0

da questi si ricavano i rispetti autovettori (modi di vibrare, reali), ad esempio, per due gdl:

12 []) } {0}

([] − ∙ { =

1

22

([] [ ]) { } {0}

− ∙ =

2

Da cui il moto: 21 21 21

21 ⏞ ⏞

⏞

11 01 11

⏞

{()} { } { } { }

: =

⏟ = =

⏟ ( + )

1 1 1 1

21 02 21

.

21 21 21

21 ⏞ ⏞

⏞

12 01 12

⏞

{()} { } { } { }

: = ⏟

= = ⏟

( + )

2 2 2 2

22 02 22

.

21 21 21 21

21 ⏞ ⏞ ⏞ ⏞

⏞

{ ( )} = ⏟

{ } + ⏟

{ } =

⏟ { } ( + ) +

⏟ { } ( + )

Soluzione generale: 11 12 11 12

1 2 1 1 2 2

21 22 21 22

. .

Nel caso generale di n gradi di libertà si potrà quindi scrivere:

1

⏞

{()} ∑ { } ∑ { }(

= = + )

=1 =1

NOTA: per trovare i coefficienti servono due condizioni iniziali per ogni massa.

Matrice modale (dal moto libero non smorzato):

⏞

[] [ ]

= . . .

1 2

Dalle proprietà di ortogonalità dei modi propri discendono:

[ ] [] [][]

=

[ ] [] [][]

=

Gli elementi sulla diagonale ci permettono di calcolare le pulsazioni proprie naturali:

≡ = √

Tramite la matrice di massa diagonalizzata è possibile identificare la matrice modale normalizzata:

⏞

[ ] [ ]

= . . .

1 2

Con

=

√

La quale ci fornisce altre due relazioni:

[] [] [][]

=

2

[] [][]

[ ] =

,

MOTO FORZATO SISTEMA MDOF NON SMORZATI

Matrice di ricettanza: 2 −1

[()] = [ − ]

Forma analitica delle FrF: = =

() = ∑ = ∑

2

2 2

− −

=1 =1

SMORZAMENTO PROPORZIONALE

Nel caso di smorzamento proporzionale si può scrivere:

[] []

= [] + [] = [] + []

In tal caso i modi di vibrare sono ortogonali anche rispetto alle matrici di smorzamento:

= = [ ] + [ ] = = [ ] + [ ]

[] [][] [ ] [] [][] [ ]

➔ Sotto queste ipotesi i modi di vibrare (i.e. gli autovettori) rimangono REALI e coincidenti

con il caso senza smorzamento. Le pulsazioni proprie invece, ottenute dalla risoluzione

del problema agli autovalori risulteranno invece complesse.

SMORZAMENTO PROPORZIONALE STRUTTURALE: PULSAZIONI PROPRIE E MODI DI VIBRARE

̈

[]{} []{} {0}

+ []{} + =

Hp di soluzione (concettualmente sbagliata in partenza):

{()} { }

=

0 2

Da cui si ottiene che le n pulsazioni proprie complesse in sono ricavabili dal seguente

2

polinomio in : ̅

2 2

[] ] [])

([] − + []) = ([ − = 0

con ̅

[ ] []

= + []

In definitiva si ottengono le pulsazioni proprie complesse:

2 2 2

= + = +

Con questa ipotesi di soluzione la parte reale a è legata alla vera è propria pulsazione propria

del sistema mentre la parte immaginaria b è legata alla velocità con cui si estingue nel tempo il

moto libero.

Poiché i modi propri sono gli stessi (reali) del caso senza smorzamento, i coefficienti a e b della

pulsazione complessa si possono ottenere come segue:

= √

ℎ ∙ + ∙

= =

SMORZAMENTO STRUTTURALE GENERALE: PULSAZIONI PROPRIE E MODI DI VIBRARE

̈

[]{} []{} {0}

+ []{} + =

Hp di soluzione (concettualmente sbagliata in partenza):

{()} { }

= 0 2

Da cui si ottiene che le n pulsazioni proprie complesse in (solo termini pari) sono ricavabili

2

dal seguente polinomio in : ̅

2 2

[] ] [])

([] − + []) = ([ − = 0

con ̅

[ ] []

= + []

In definitiva si ottengono: 2 2 2

= + = +

Fino a qui i passaggi sono identici al caso precedente. Gli autovettori (modi di vibrare) sono

però adesso complessi e non diagonalizzano singolarmente le matrici M, K e C pertanto le

relazioni per il calcolo delle pulsazioni naturali e del fattore di perdita cadono.

La matrice modale diventa complessa:

⏞

[] [ ]

= . . . ∈

1 2

̅

[] [ ] []

= + [],

e ma non singolarmente le matrici!!

Questa diagonalizza

[ ] [] [][]

=

̅ ̅][]

[ ] [] [

=

Oppure, con la matrice modale normalizzante:

[] [] [][]

= ̅][]

2

[] [

[ ] =

,

Dai termini sulla diagonale, che risulteranno anch’essi complessi, si può ottenere:

̅

2

=

SMORZAMENTO STRUTTURALE GENERALE: MOTO FORZATO

̈

[]{} []{} { }

+ []{} + = 0

Hp di soluzione:

{()} { }

= 0

Da cui ( attenzione all’ordine e al fatto che stiamo trattando un prodotto tra una matrice e un

vettore! Non è definita l’operazione divisione tra un vettore e una matrice!):

2 −1

{ } ([] [] { }

= − + []) ∙

0 0

È quindi definita la matrice di ricettanza (complessa):

2 −1

[()] ([] []

= − + [])

Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni (simili alle precedenti, ma con i termini

complessi ad eccezione della pulsazione della forzante):

= =

() = ∑ = ∑

̅ 2 2

2 −

−

=1 =1

SMORZAMENTO PROPORZIONALE VISCOSO: PULSAZIONI PROPRIE E MODI DI VIBRARE

̈ ̇

[]{} []{} []{} {0}

+ + =

Hp di soluzione:

{()} { }

= ∈ ℂ

0

Da cui si ottiene che le n pulsazioni proprie complesse in sono ricavabili dal seguente

2

polinomio in completo (sia termini pari che dispari):

2 [] [])

([] + + = 0

Per il teorema fondamentale dell’algebra si ottengono 2n soluzioni che possono essere o reali o

complesse coniugate. Solitamente sono complesse coniugate con parte reale negativa, scrivibili

nella forma: 2

√1

= + = − ± − = 1,2. . . . .

Con questa ipotesi di soluzione la parte reale a è legata alla velocità con cui si estingue nel

tempo il moto libero mentre la parte immaginaria b è legata alla vera è propria pulsazione

propria del sistema.

Nell’ipotesi di smorzamento proporzionale, poiché i modi propri sono gli stessi (reali) del caso

senza smorzamento, i coefficienti a e b della pulsazione complessa si possono ottenere con

l’uso delle seguenti relazioni:

= √

+

= = =

2

2√ 2√

Le soluzioni del moto quindi, in termini di coordinate principali, saranno:

− 2

√1

= ∙ ∙ ( − ∙ + )

, 0

Da cui si possono ricavare gli spostamenti del sistema:

{()} []{

= ()}

SMORZAMENTO VISCOSO GENERALE: PULSAZIONI PROPRIE E MODI DI VIBRARE

̈ ̇

[]{} []{} []{} {0}

+ + =

Hp di soluzione:

{()} { }

= ∈ ℂ

0

Da cui si ottiene che le n pulsazioni proprie complesse in sono ricavabili dal seguente

2

polinomio in completo (sia termini pari che dispari):

2 [] [])

([] + + = 0

Per il teorema fondamentale dell’algebra si ottengono 2n soluzioni che possono essere o reali o

complesse coniugate. Solitamente sono complesse coniugate con parte reale negativa, scrivibili

nella forma: 2

√1

= + = − ± − = 1,2. . . . .

Con questa ipotesi di soluzione la parte reale a è legata alla velocità con cui si estingue nel

tempo il moto libero mentre la parte immaginaria b è legata alla vera è propria pulsazione

propria del sistema.

Fino a qui il procedimento è identico al caso di smorzamento proporzionale. In questo caso

però gli autovettori non sono gli stessi del sistema non smorzato bensì sono coppie complesse

coniugate. Preso un generico autovalore p e il rispettivo autovettore si ha:

[]

2 = =

[]

[]

2

= =

[]

Con:

∗

= [ ] ′

le soluzioni saranno sempre del tipo (notare che si va da 1 a n e NON fino a 2n):

⏞ − 2

{()} { } √1

= ∑ ∙ ( − ∙ + )

0

=1

In questo caso l’autovettore complesso (o il suo complesso coniugato, la scelta è arbitraria

perché portano le stesse informazioni) porta informazioni sull’ampiezza delle oscillazioni (il

modulo) e sullo sfasamento del moto tra i vari gradi di libertà, infatti ad esempio:

(11 )

| |

11 11 (21 )

| |<