Relazioni e funzioni

Relazioni e funzioni

Insiemi e prodotto cartesiano

X, Y insiemi

X × Y = { (x, y): x ∈ X, y ∈ Y }

X = {1, 2} Y = {a, b, c}

X × Y = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }

ℝ₂ = ℝ × ℝ = { (x, y): x, y ∈ ℝ }

In semiordinata luminosa con il piano euclideo

Asse x: y = 0

Asse y: x = 0

Una relazione tra X e Y è un sottoinsieme R ⊆ X × Y

Esempio di relazione

ES R = { (x, y) ∈ ℝ₂ : x² + y² = r² = 1 }

Funzione

Una funzione di X in Y è una relazione

R ⊆ X × Y tale che ∀ x ∈ X ∃ ! y ∈ Y, (x, y) ∈ R

X dominio della funzione

Y codominio della funzione f : X → Y oppure y = f(x)

Ma non tutte le x hanno un'immagine

NON SONO FUNZIONI

Relazioni e funzioni ripetute

X, Y insiemi

X × Y = { (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }

X = { 1, 2 } Y = { a, b, c }

X × Y = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }

ℜ × ℜ = ℜ² = { (x, y) : x, y ∈ ℜ }

In corrispondenza biunivoca con il piano euclideo

Asse x: y = 0

Asse y: x = 0

Una relazione tra X e Y è un sottoinsieme R ⊂ X × Y

ESR = { (x, y) ∈ ℜ² : x² + y² = ¹/_h2 }

Funzione di X in Y

Una funzione di X in Y è una relazione

R ⊂ X × Y tale che ∀ x ∈ X ∃! y ∈ Y, (x, y) ∈ R

X dominio della funzione

Y codominio della funzione

f : X → Y oppure y = f(x)

XX a una stessa x sono associate più y

Non tutte le x hanno un'immagine

NON SONO FUNZIONI

Funzioni numeriche

Esempio

f(x) = x²

X ⊂ ℝ

X ∈ ℝ

y = x²

X ⊂ ℝ, Y ⊂ ℝ

Codominio = ℝ

Se I ⊂ X

f(I) = {f(x) : x ∈ I} → immagine di I

Se J ⊂ Y

f^-1(J) = {x ∈ X : f(x) ∈ J} → controimmagine di J

Se I = X

f(X) = {f(x) : x ∈ X} → immagine di f

Grafico di f = {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y

Esempio

X = [-2, 2]

f : X → ℝ

f(x) = x²

f(X) = [0, 4]

x = 2 ha come immagine y = 4

x = -2 ha come immagine y = 4

I = [1, 2]

f(I) = [1, 4]

f^-1([1, 4]) = [-2, -1] ∪ [1, 2]

Valore assoluto

|x| = {x se x ≥ 0  -x se x < 0

f(ℝ) = [0, +∞)   immagine di f  (x ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ)

ℝ → ℝ

x = |x| uguali

Funzione segno

f: ℝ → ℝ

f(x) = 1 x > 0

-1 x < 0

0 x = 0

f(ℝ) = {-1, 0, 1}

f⁻¹((-1)) = (-∞, 0)

f⁻¹((-∞, -1/2)) = (-∞, 0)

Funzione parte intera

⌊x⌋ = max{m ∈ ℤ | m ≤ x}

f(ℝ) = ℤ

Funzione mantissa

M(x) = x - ⌊x⌋

M(3, 2) = 3, 2 - ⌊3, 2⌋ = 3, 2 - 3 = 0, 2

M(-0,8) = -0,8 - ⌊-0,8⌋ = -0,8 - (-1) = -0,8 + 1 = 0,2

f: ℝ → ℝ

T > 0 se x₀ + T ∈ X, f(x + T) = f(x)

Funzione iniettiva e suriettiva

f: X → ℝ

Si dice iniettiva se

∀ x₁, x₂ ε X, x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

(Ogni retta orizzontale interseca il grafico in al più un punto)

f: X → ℝ si dice suriettiva se f(X) = ℝ

(Ossia ∀ y ε ℝ, ∃ x ε X: f(x) = y)

(Ogni retta orizzontale interseca il grafico in almeno 1 punto)

Una funzione f: X → ℝ si dice biettiva se è sia iniettiva, sia suriettiva

Se f: X ε ℝ è iniettiva

∀ x₁, x₂ ε X, x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂) si può considerare la funzione inversa

f^-1: f(X) → ℝ

y = f(x) ⇔ x = f^-1(y)

Immagine e funzione inversa

IMMAGINE X di f

f^-1(x) = x - ½

(Es. f(x) = 2x + 3, x ε X = ℝ  y = ½  − f^-1(y)

f^-1(x) = x - ½

y con x → il dominio e l'immagine

Funzione composta

L'immagine di f deve essere contenuta nel dominio di g

f: X → ℝ

g: Y → ℝ

g ∘ f: X → ℝ

y = f(x)

z = g(y)

z = g(f(x))

x → z

f ∘ g ≠ g ∘ f

Esempio di funzione composta

ES

f(x) = x²

g(x) = x + 1

g ∘ f(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1

f ∘ g(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)²

Restrizione di una funzione

f: X → ℝ

I ⊂ X sottinsieme, restrizione di f a I

f|_I: I → ℝ

f|_I(x) = f(x), x ∈ I

Esempio di restrizione

ES

f: ℝ → ℝ, f(x) = x²

Dominio e invertibilità

DOMINIO

La f diventa iniettiva → POSSO INVERTIRE

f|_[0,+∞)(x) = x²

(f|_[0,+∞))^-1(x) = √x

Dominio [0,+∞) (che è l'immagine di f|_[0,+∞))

f: X → ℝ

f crescente ↔ ∀x₁, x₂ ∈ X, x₁ 2 → f(x₁) ≤ f(x₂) → strettamente crescente se f(x₁) 2

f(x)

f(x)

Funzioni strettamente crescenti e decrescenti

STRETTAM. DECRESCENTE

NON STRETTAM. CRESCENTE

STRETTAM. CRESCENTE

Funzioni esponenziali e logaritmiche

ES

f(x) = ¹⁄_x x ∈ ℜ \ {0}

Sono funz. strettam. decrescenti

OSS. Una funzione strettam. monotona è iniettiva, quindi invertibile

sup f(x) sup f(X) -> IMMAGINE DI f

Funzioni elementari

FUNZIONI ELEMENTARI

f(x) = x^m, m ∈ ℕ pari

f pari se f(-x) = f(x) ∀ x ∈ X

Grafico simmetrico rispetto asse y

y = x^m, m dispari

f dispari (∀ x ∈ X, -x ∈ X, f(-x) = -f(x))

Grafico simmetrico rispetto (0,0)

ES f(x) = ¹⁄_x² ℜ \ {0}

f = ¹⁄_x

Funzione radice

f(x) = √x

y_f = f(x) ⇔ x = f^-1(y)

(x, y) ∈ grafico di f

(y, x) ∈ grafico f^-1

f(x) = ∛x

Funzione esponenziale

f(x) = a^x

Dominio ℝ

Immagine (0, +∞)

a > 1 strett. crescente

Funzione logaritmo

Inversa della FUNZ. ESPONENZ.

f(x) = log_ax

Dominio (0, +∞)

Immagine ℝ

Logaritmi

log_ax → a > 1

log_ax → 0

log₂x₁ > 3 ⇒ x₁ > x₂

e^log₂x₁ > e³ → x > 8

f(x₁) > f(x₂)

Funzioni trigonometriche

Lungh. arco = misura dell'angolo in radianti

360° = 2π

180° = π

90° = π/2

60° = π/3

45° = π/4

30° = π/6

P = (cos x, sen x)

cos² x + sen² x = 1

cos² x = (cos x)²

Sen x e cos x sono funzioni periodiche di periodo T = 2π

f(x + kT) = f(x) ∀ x ∈ ℝ

Funzione tangente

tan x = _{sen x}/^{cos x}

Dominio ℝ \ {π/2 + kπ : k ∈ }

tan(-x) = _sen(-x)/^cos(-x) = _{-sen x}/^{cos x} = -tan x

tan (x + π) = _{sen(x + π)}/^{cos(x + π)} = _{-sen x}/^{-cos x} = tan x

tan (x + kT) = tan x