Relazioni e funzioni

RELAZIONI E FUNZIONI

X, Y insiemi

X x Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y}

X = {1, 2}

Y = {a, b, c}

X x Y = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

R ⊆ X x Y

(x, y): x, y ∈ ℝ

in corrispondenza biunivoca con il piano euclideo

asse x: ^y/₀

asse y: x = 0

Una relazione tra X e Y è un sottoinsieme R ⊆ X x Y

ES:

R = {(x, y) ∈ ℝ²: ^{x2 + y2}/_a² = 1}

FUNZIONE:

Una funzione di X in Y è una relazione R ⊆ X x Y tale che ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y, (x, y) ∈ R

X dominio della funzione

Y codominio della funzione

f: X → Y oppure x → y

y = f(x)

ma _stessa x sono associati più di y

ma non tutte le x hanno un'immagine

NON SONO FUNZIONI

FUNZIONI NUMERICHE

ES   f(x) = x²

f: ℝ → ℝ

x ∈ ℝ   y = x²

X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ

Codominio = ℝ

Se I ⊂ X   f(I) = { f(x) : x ∈ I }   → Immagine di I

Se J ⊂ Y   f^-1(J) = {x ∈ X : f(x) ∈ J}   → Controimmagine di J

Se I = X   f(X) = { f(x) : x ∈ X }   → Immagine di f

Grafico di f = { (x, f(x)) : x ∈ X } ⊂ X × Y

ES    X = [-2, 2]

f: X → ℝ

f(x) = x²

f(X) = [0, 4]

x = 2   ha come immagine y = 4

x = -2   ha come immagine y = 4

I = [1, 2]   f(I) = [1, 4]

f^-1([1, 4]) = [-2, -1] ∪ [1, 2]

Valore assoluto

|x| = {

• x se x ≥ 0
• -x se x < 0

f(ℝ) = [0, +∞)   Immagine di f

(x ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ)

ES   f(x) = ¹/_x   x ∈ ℝ \ {0}

f(0, +∞) e f(-∞, 0)

sono funn. STRETTAM. DECRESCENTI

NON È DECRESCENTE su ℝ \ {0} → se lo fosse

mentre x₁, x₂ come in

figura, sarebbe f(x₁) ≥ f(x₂)

MONOTONA: crescente o decrescente

(FUNZ.)

OSS Una funzione strettam. monotona è iniettiva, quindi invertibile.

• Se f: X → ℝ
• sup_{x ∈ X}f(x) = sup ^f(X)

IMMAGINE DI f

ES

sup_{x ∈ ℝ}f(x) = 1

FUNZIONI ELEMENTARI

• f(x) = x^m, m ∈ ℕ pari
• f PARI
• f: X → ℝ PARI se f(-x) = f(x) ∀ x ∈ X

grafico simmetrico rispetto asse-y

• ψ = x^m, m dispari
• f DISPARI

(∀x ∈ X, -x ∈ X, f(-x) = -f(x))

grafico simmetrico rispetto (0,0)

ES   f(x) = ¹/_x²   ℝ \ {0}

f = ¹/_x