Funzioni e Relazioni - Istituzioni Matematiche

MATEMATICA

(FUNZIONI E RELAZIONI)

FUNZIONI ​ ​ ​

​ ​

Funzione​ : relazione tra due insiemi​ A e B che associa ad ogni elemento di A uno e

​ ​

uno solo elemento di B ( )

f : A → B

Es. = dominio della funzione

A = {

a, b , c } = codominio della funzione

B = {

1, 2 , 3 , 4 } ​

= antimmagini di B

a , b , c ​

= immagini di A

1 , 3 , 4 ​

→​ = funzione ( )

f

= dominio della funzione

A = {

a, b , c } = codominio della funzione

B = {

1, 2 , 3 } ​

= antimmagini di B

a , b , c ​

= immagini di A

1 , 3 ​

→​ = funzione ( )

f

​

NB​ : le seguenti non sono funzioni

​ ​

Funzione iniettiva​ :quando ad ogni elemento dell’insieme A corrispondono elementi

​

distinti dell’insieme B ( a , a A | a =

/ a → f (a ) =

/ f (a )

∀ ∈

1 2 1 2

​ ​

Funzione suriettiva​ : quando ogni elemento dell’insieme B è in relazione con almeno

​

un elemento dell’insieme A ( )

b B A | f(a) = b

∀ ∈ ∃a ∈

​ ​

Funzione biunivoca (o biettiva)​ : quando per ogni elemento dell’insieme B vi è un solo

​

elemento dell’insieme A

Proprietà:

- è contemporaneamente una funzione iniettiva e suriettiva

- è invertibile

- è una relazione di equivalenza −1

Funzione inversa​ : se è una funzione biunivoca allora esiste

f : A → B f : B → A

​ ​

che associa ad ogni elemento dell’insieme B uno e uno solo elemento dell’insieme A

Funzione composta​ : date le funzioni e , definiamo come funzione

f : A → B g : B → C

composta g f : A → C

°

Es. f : A → B f (a) = a → 1

⇒

g : B → C g (a) = 1 → x

⇒

g f : A → C g [f(a)] = a → x

⇒

°

RELAZIONI ​

Relazione​ : qualsiasi legge che associa elementi dell’insieme A ad elementi

​

dell’insieme B ( )

a | a A b B

ℛb ∈ ⋁ ∈

Es. = dominio

A = {

a, b , c } = codominio

B = {

1, 2 , 3 } ​ ​

(ovvero: a è in relazione con 1

= { (a, 1 ), (

b, 2 )} → a bℛ2

ℛ ℛ1, ​ ​

e b è in relazione con 2

)

​

= antimmagini di B

a , b ​

= immagini di A

1 , 2

Proprietà:

1) riflessività​ : ogni elemento è in relazione con se stesso ( )

x

ℛx

​ ​ ​

2) simmetria​ : se l’elemento x è in relazione con l’elemento y , allora l’elemento y

​

è in relazione con l’elemento x ( )

x → y

ℛy ℛx

​ ​ ​

3) antisimmetria​ : se l’elemento x è in relazione con l’elemento y , allora x = y

( )

x → x = y

ℛy ​ ​ ​

4) transitività​ : se l’elemento x è in relazione con l’elemento y e l’elemento y è in

​ ​ ​

relazione con l’elemento z , allora l’elemento x è in relazione con l’elemento z

( )

x e yℛz → x

ℛy ℛz

Relazione d’ordine​ : relazione che gode delle proprietà di riflessività, antisimmetria e

transitività

Relazione di equivalenza​ : relazione che gode delle proprietà di riflessività, simmetria

e transitività