Relazione Lente Convergente

R R

rispettivamente e , mentre la terza esprime il fatto che l’immagine del primo diottro è

1 2

l’oggetto del secondo. Detto vertice il punto di intersezione tra l’asse del diottro e il diottro stesso,

diremo p la distanza tra l’oggetto e il vertice, mentre q quella tra immagine e vertice, s è invece la

distanza tra i due vertici.

Supponiamo che la lente sia sottile, cioè che la distanza tra i vertici dei due diottri sia trascurabile

rispetto alle altre dimensioni; supponiamo inoltre che la lente sia immersa in uno stesso mezzo, le

s=0

due supposizioni si traducono analiticamente imponendo nelle precedenti relazioni e

=n

n 1 3

Ricaviamo così la seguente relazione:

( )

n n 1 1

1 1 ( )

+ = −n − (4)

n 2 1

p q R R

1 2 1 2

Dove ponendo:

( )

n

1 1 1

1

= − (5)

−n

f n R R

2 1 1 2 p q

s=0

Osservando che e dunque è la distanza dell’oggetto dalla lente, mentre è la

1 2

=

p p

distanza dell’immagine dalla lente, è dunque lecito, sotto l’ipotesi di lente sottile, porre e

1

=q

q ; si ottiene così l’equazione della lente sottile:

2

1 1 1

+ = ( 6)

p q f ∝ ∝

p→ q ≡ f q → p≡ f

Da questa equazione di vede che se , ; invece, se , .

f è chiamata distanza focale della lente; si vede quindi che se l’oggetto è posto a grande distanza

f

dalla lente, l’immagine sarà in un punto che dista dalla lente, mentre se l’oggetto è posto ad

f

una distanza dalla lente, l’immagine sarà a distanza infinita, ovvero i raggi saranno paralleli.

Queste considerazioni sono importanti per costruire l’immagine di un segmento ortogonale all’asse

e dunque per poter determinare l’ingrandimento. Si considerino tre particolari raggi luminosi:

F

quello passante per il vertice, che non viene deviato, quello passante per il fuoco ed un raggio

1

parallelo all’asse ottico. Si schematizzi il tutto servendoci della presente figura:

L’ingrandimento è allora dato, servendosi delle considerazioni geometriche, da:

y q−f f q

= = = = (7)

I x f p−f p

Dati sperimentali

1. Modo di operare f

Lo scopo finale dell’esperimento è quello di fornire una stima della distanza focale della

lente.

Per fare ciò ci si servirà non tanto dell’equazione dei costruttori di lenti (5), impossibile da usare in

f

laboratorio, ma della (6). Essa, opportunamente linearizzata, permette di dare una stima di

eseguendo un fit lineare; la linearizzazione opportuna si ottiene ponendo:

1 1

=

x= e y

p q 1

a=

y=a+bx

Allora la (6) si scrive nella forma dove si ha .

f

1

Π= f

Il rapporto è detto potenza della lente e se è stimata in metri la potenza si misura in

f

diottrie. p q

Duque di volta in volta verranno fissate le e determinate le .

p q

Mentre l’errore su è errore di lettura, quello su sarà dato da tutto il semi intervallo in cui

l’immagine appare nitida; infatti uno strumento reale non può essere perfettamente stigmatico (uno

strumento si dice stigmatico quando i raggi uscenti da un punto dell’oggetto si incontrano in un solo

punto dell’immagine). ¿

p , q

Determinate le coppie ( con il metodo sopra descritto, si userà direttamente la (6) per

f

determinare di volta in volta una misura di , ottenendo così più valori; la loro media pesata

fornirà allora una prima stima della distanza focale. In seguito si eseguirà un fit lineare e infine il

Metodo di Bessel. D= p+ q

Detta D la distanza dell’oggetto dallo schermo, per il formalismo adottato si ha allora

la relazione (6) si potrà scrivere nel seguente modo:

(

p D− p)

= (

f 8)

D

Che può anche scriversi

2 −Dp + =0

p Df

Dalla quale si ottiene

√ 2

D D

+ −Df (9)

p= 2 4

Da questa relazione emerge che se D < 4f la soluzione non è reale, il che implica che si avranno

immagini virtuali, de D = 4f si avrà una sola immagine nitida; se, infine, D > 4f si avranno due

valori di p, per ogni distanza D, per i quali sarà possibile determinare un’immagine nitida.

D

I due valori di p che si determinano devono essere per la (9) simmetrici dispetto a ; dunque, se

2

non lo sono, si è in grado di rilevare un certo errore sistematico dovuto a qualche imprecisione del

banco ottico. Per eseguire una misura di f con il metodo di Bessel sono state fissate le D e si è

variata la posizione della lente fino a determinare le p per le quali si avevano immagini nitide;

l’errore sulle p è dato dal semi intervallo per cui si aveva un’immagine nitida, mentre quello su D è

semplicemente l’errore di lettura della posizione dello schermo sul regolo del banco ottico. Per ogni

valore di p e di D si è calcolato il valore di f e come sua stima è stata fornita la media pesata di tutte

< ¿

p p p p

queste misure. Infine, dette e le due misure di p per ogni fissata D ( si sono

1 2 1 2

valutate le differenze:

D D

= − = −

x p e x p

1 1 2 2

2 2

−x

e=x e=0

Si è calcolato e si è visto quanto questo valore discossasse dallo zero, infatti

2 1

implica l’assenza del tipo di errori sistematici da noi supposti.

Le misure effettuate con il metodo di Bessel non si sono potute usare per il fit lineare. A tal

=D−

p p q p

proposito diciamo e le due soluzioni della (9) allora si ha e

1 2 1 1

=D−

q p p q

; mentre l’erroe sulla era molto più piccolo dell’errore sulla , l’errore

2 2 1 1

p q

sulla era invece molto più grande dell’errore sulla rispettiva ; questa situazione si

2 2

p p

ripeteva perr ogni coppia di e delle nostre misure. Questi problemi falsavano dunque i

1 2

risultati del fit stesso nel quale si suppone che l’errore su una delle due misure sia costantemente

inferiore rispetto a quello sull’altra misura.

Un altro passo dell’esperimento è il calcolo dell’ingrandimento M dato dalla (7) dove si è posto

q i

= =

M M

I = M con valore che si deve confrontare con quello dato da dove o è la

p o

dimensione dell’oggetto e i la dimensione dell’immagine. Si vuole dunque verificare che:

q i

= = (10)

M p o

2. Calcolo di f mediante applicazione diretta della formula (6) f

Si inizia l’analisi dei dati con il calcolo di f mediante la media pesata dei valori ottenuti per

i

applicazione diretta della (6). A tal proposito sono stati riportati di seguito i valori di p e di q con i

1

loro rispettivi errori .

p[m] Δp[m]

0,28 0,02

0,36 0,02

0,46 0,02

0,68 0,02

0,98 0,02

0,78 0,02

0,84 0,02

0,13 0,02

0,21 0,02

0,17 0,02 q[m] Δq[m]

0,170 0,02

0,150 0,02

0,140 0,02

0,147 0,02

0,123 0,02

0,125 0,02

1 Si noti che per le q viene fornito l’errore calcolato come ampiezza del semi intervallo di

nitidezza dell’immagine. I due valori delle distanze dell’immagine dalla sorgente verranno

0,124 0,02

riportate esplicitamente in appendice. Mentre per l’errore sulle p si tiene conto del fatto che

0,348 0,02

vengono eseguite due letture, una per fissare l’oggetto sullo zero del regolo e l’altra per la

0,195 0,02

lettura della posizione della lente. 0,250 0,02

Di seguito vi sono i valori della potenza e della distanza focale calcolati con i loro rispettivi errori

dati dalle seguenti relazioni:

1 1 2

+ =f (11)

∆ Π= Δ Δ Δ f ΔΠ

p q ∆Π

Potenza focale

0,094240198 5,70339E-07

Distanza focale

0,1057778 Applicando il criterio di Chauvent la misura evidenziata in rosso può

0,1058824 non essere considerata ai fini di ottenere buoni risultati nella presente

0,1073333 relazione.

0,1208706

0,1092838 ̅

Media f : 0,1074535

0,1077348

0,1072897 Deviazione standard: 0,000172

0,09464435

0,1011111

0,1011905 ̅

f

Nel seguente grafico ci sono i valori delle con i loro errori e il valore f calcolato.

i

Frequenza della distanza focale

12

10

8

6

4

2

0 0 2 4 6 8 10 12 14

3. Determinazione di f con il fit lineare

Nel precedente paragrafo si è determinata una prima stima della distanza focale servendosi di una

applicazione diretta della formula (6). Adesso si procede a determinare f eseguendo un fit lineare e

confrontare il valore ottenuto con quello dato alla fine del precedente paragrafo. Per fare ciò è

necessario rendere lineare la (6). 1 1

Per questo riportiamo di seguito i valori di e con i loro errori dati dalla seguente

p q

relazione:

1 1

=

Δ Δt

t 2

t

Dove t indica una volta la p ed una la q. 1 1

1 1 −1 −1

−1 −1 [m ] [m ]

Δ

[ ] [m ]

m Δ q q

p p 5,882 0,017

3,571 0,028 6,667 0,015

2,778 0,036 7,143 0,014

2,174 0,046 8,130 0,0123

1,020 0,098 8,000 0,0125

1,282 0,078 8,130 0,0123

1,190 0,084 2,873 0,0348

7,692 0,013

Nell’eseguire il fit per stimare i valori di a e di b e i loro errori si sono usate le seguenti formule:

2

w x

i i

w y

i i

w x

i i

w x y

i i i

∑ ¿

¿

¿

¿

¿

¿

w i 2

w x

i i

w x

i i

∑ ¿

¿

2

¿

¿

¿

∑ ¿−¿

∑ ¿¿

∑ ¿−¿

∑ ¿¿

¿

a=¿ w i

w x

i i

w y

i i

∑ ¿

¿

¿

¿

w i 2

w x

i i

w x

i i

∑ ¿

¿

2

¿

¿

¿

¿

w i 2

w x

i i

w x

i i

∑ ¿

∑ ¿−¿

¿

¿

∑ ¿¿

¿

∑ ¿−¿

∑ ¿¿

∑ ¿¿

∑ ∑

( )

¿ −¿

w x y

i i i

¿

b=¿

Di seguito sono riportati i risultati ottenuti:

a=10,96745612± 0,120261225 b=−1,221623469 ±0,018585761

a b

Dove è il reciproco della distanza focale f, mentre è il coefficiente angolare della ret