Relazione Logica

Corso di Logica, a.a. 2015-2016

Docente: L. Bellotti

Relazione di approfondimento

Gödel oltre l’incompletezza

La sfida fenomenologica contro il riduzionismo

Laura Pinato

Indice

Introduzione 2

1 La portata filosofica dell’incompletezza 3

2 La critica di Gödel ai programmi riduzionisti 7

3 Il ruolo della fenomenologia 9

4 Oltre, ma non contro, Leibniz 12

Conclusione 13

Bibliografia 14

Introduzione

A partire dagli anni Quaranta, Kurt Gödel (1906 - 1978) si dedicò allo

sviluppo di una visione filosofica che, sulla base dei suoi risultati in logica

matematica, combinasse e sviluppasse alcune parti del pensiero di Platone, di

Leibniz e, dalla fine degli anni Cinquanta, di Husserl. In Particolare lo sforzo

fu in direzione di un ripensamento della posizione platonica in filosofia della

matematica attraverso lo strumento della fenomenologia che Husserl forniva

nei suoi scritti. Il Nachlass, che consiste in una serie di appunti e note

di lezioni e manoscritti, contiene centinaia di pagine che trattano temi di

filosofia della matematica, oltre che riflessioni di più ampio respiro filosofico,

ma non fu mai pubblicato. Nonostante l’attenzione e il tempo impiegato per

la lettura dei testi di questi autori e per la riflessione filosofica, tuttavia le

effettive pubblicazioni di Gödel sull’argomento sono poche e lasciano grande

spazio all’interpretazione e forse anche al fraintendimento: quale Platone,

quale Leibniz, quale Husserl Gödel ha in mente? Qual è il rapporto tra i

suoi risultati sull’incompletezza e le sue intuizioni filosofiche?

Il mio obiettivo in queste pagine è quello di fornire una sintetica pre-

sentazione della posizione filosofica che Gödel esprime tra le pagine dei suoi

lavori. In particolare farò riferimento a due articoli: “Is Mathematics Syn-

1

tax of Language?” (vedi Gödel *1953/59) e “The Modern Development of

the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy” (vedi Gödel

*1961/?), oltre che alla preziosissima lettera a Leon Rappaport del 1962 (ve-

di Gödel 1962) e al classico “What is Cantor Continuum Problem?” (vedi

Gödel 1947). Per quanto riguarda la linea interpretativa farò riferimento

a Richard Tieszen (vedi in particolare Tieszen 2011), che forse più di altri

filosofi, negli ultimi anni, ha tentato una rivalutazione e uno sviluppo della

posizione gödeliana, anche (e soprattutto) sulla base della testimonianza di

Hao Wang, che, in particolare con il suo lavoro del 1996 A Logic Journey.

From Gödel to Philosophy (vedi Wang 1996), ha dato un sostanziale con-

1 Per la datazione e la catalogazione degli scritti di Gödel seguo l’edizione dell’opera

completa citata in bibliografia pubblicata dalla Oxford University Press in cinque volumi,

a cura di S. Feferman et al. (1986-2003). 2

tributo al chiarimento della posizione gödeliana certamente in filosofia della

matematica, ma forse anche in filosofia, in un senso più generico.

1 La portata filosofica dell’incompletezza

Nella Gibbs Lecture del 1951 (vedi Gödel *1951), dei teoremi di incomple-

tezza Gödel fornisce una riformulazione informale, utile per l’obiettivo che

qui mi pongo.

Primo teorema di incompletezza Qualunque sistema ben definito di as-

siomi e di regole di inferenza possa essere scelto, esistono sempre dei

problemi diofantei, che il sistema stesso può esprimere, che sono inde-

cidibili da quegli assiomi e da quelle regole, posto soltanto che nessuna

proposizione contraddittoria sia da essi derivabile.

Secondo teorema di incompletezza Per ogni sistema ben definito di as-

siomi e di regole di inferenza, la proposizione che asserisce la loro con-

sistenza è indimostrabile a partire da questi assiomi e regole, posto che

questi assiomi e regole siano consistenti e sufficienti per derivare una

certa porzione dell’aritmetica finitistica.

Questa riformulazione della tesi dei due teoremi aggiunge alla formulazione

standard almeno la possibilità della seguente considerazione: usando la no-

zione di sistema formale di Alan Turing, i teoremi di incompletezza mostrano

che se si formula la matematica nei termini di macchine di Turing, allora un

enunciato di Gödel non è in essa decidibile ed essa non può provare la propria

consistenza. Nel medesimo scritto Gödel riconosce che la dimostrazione di

questi due teoremi fornisce possibilità cruciali anche per la filosofia, almeno

per l’epistemologia e per la filosofia della mente. Infatti, a partire da questa

riformulazione, esplicita un’implicazione centrale dei due teoremi formula-

ta come una disgiunzione critica: o la mente umana supera infinitamente

le potenzialità di una macchina finita, oppure esistono problemi diofantei

assolutamente irrisolvibili. Gödel si augura di poter dimostrare il primo di-

sgiunto matematicamente, filosoficamente e anche psicologicamente, per non

dover ammettere il secondo: 3

Combining the proof of this result with Turing’s theory of computing ma-

chines, one arrives at the following conclusion: Either there exist infinitely

many number theoretic questions which the human mind is unable to answer

or the human mind contains an element totally different from a finite combi-

natorial mechanism (such as a nerve net acting like an electronic computer).

I hope to be able to prove on mathematical, philosophical, and psychological

[. . .]

grounds that the second alternative holds. It follows from my results

that a consistency proof for any part of mathematics containing number

theory is impossible if in this proof one confines himself to concrete (i.e.,

empirically meaningful) combinatorial properties and relations of formulae

considering formulae to be finite strings of symbols without meaning.(Atten

2

2006, p. 256–258)

Aver dimostrato che non si dà prova di consistenza per una qualsiasi parte

della matematica contenente teoria dei numeri, se nella dimostrazione ci si

limita a considerare le proprietà concrete combinatorie e le relazioni delle

formule, oltre che le formule stesse, come entità finite che corrispondono a

stringhe di simboli, non significa affatto aver dimostrato l’assoluta impossibi-

lità di fondare le teorie matematiche o di risolverne i problemi “attualmente”

non decidibili. Conscio proprio di questo facile fraintendimento, nella lettera

a Leon Rappaport del 1962, Gödel stesso sintetizza le principali implicazio-

ni “concettuali”, che possono a buon ragione essere ritenute filosofiche, dei

due teoremi, in perfetto accordo con quanto aveva già espresso nella Gibbs

Lecture:

My theorems only show that the mechanization of mathematics, i.e. the

elimination of the mind and of abstract entities, is impossible, if one wants to

have a satisfactory foundation and system of mathematics. I have not proved

that there are mathematical questions undecidable for the human mind, but

only that there is no machine (or blind formalism) that can decide all number

theoretical questions (even of a certain very special kind). Likewise it does

not follow from my theorems that there are no convincing consistency proofs

for the usual mathematical formalisms, notwithstanding that such proofs

must use modes of reasoning not contained in those formalisms. What is

practically certain is that there are, for the classical formalisms, no conclusive

combinatorial consistency proofs (such as Hilbert expected to give), i.e. no

consistency proofs that use only concepts referring to finite combinations of

2 Cfr.Tieszen (2011, p. 183). 4