Relazione Logica

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è però possibile in un sistema di livello maggiore , cioè passando a

n n+1

un livello maggiore di astrazione, in termini di filosofia della mente. Il fatto

che esistano degli enunciati indecidibili, però, non rende falso il sistema che

si sta considerando, ma dichiara semplicemente la necessità di trascenderlo.

Quest’ultima considerazione è essenziale in sede di esame della posizione di

Gödel in filosofia della matematica e in filosofia, perché evita facili frainten-

dimenti sul significato generalizzato dei teoremi di incompletezza. Dal punto

di vista gödeliano si potrebbe, infatti, così riassumere quanto è emerso finora

riguardo le conseguenze filosofiche dell’incompletezza: è impossibile elimina-

re il “mentale” e il “concettuale”, perché i concetti matematici trascendono

i singoli sistemi formali. Proprio per questo il razionalismo platonico e i

risultati di incompletezza si dovrebbero, così, rinforzare a vicenda.

Come esempio della presenza di problemi non decisi ( o anche indecidi-

bili in un certo sistema esistente), ma non assolutamente indecidibili, Gödel

fa riferimento alla congettura di Cantor:

For in this reality Cantor’s conjecture must be either true of false, and its un-

decidability from the axioms known today can only mean that these axioms

do not contain a complete description of this reality; and such a belief is by

no means chimerical, since it is possible to point out ways in which a decision

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of a question, even if it is undecidable from the axioms in their present form,

might nevertheless be obtained. (Gödel 1947, p. 181)

Gödel sostiene che in nessun modo l’impossibilità attuale, cioè legata all’attuale

forma che assume l’assiomatica della teoria degli insiemi, di decidere la con-

gettura di Cantor coincida con un’impossibilità effettiva e assoluta. In

ogni caso, ancora potrebbe sembrare che la necessità di procedere sem-

pre più astrattamente, in sistemi che si fondano l’uno nell’altro, disegni

l’incompletezza come un grosso limite per la ragione umana. Ma Gödel non

ritiene lo sia. Non si tratterebbe, infatti, di un limite per la ragione umana

in sé, ma soltanto per le potenzialità del puro formalismo in matematica.

A conclusione di questa prima breve sezione, si possono riordinare

le considerazioni che si traggono da quanto Gödel esprime sulle sue stesse

scoperte:

? non si può eliminare il mentale e il concettuale dalla matematica e

dalla logica;

? la logica e la matematica non possono coincidere totalmente con sistemi

formali di pura manipolazione sintattica (macchina di Turing);

? esistono problemi indecidibili all’interno di un certo sistema matemati-

co o logico, ma ciò non significa che esistano necessariamente problemi

assolutamente indecidibili o che una teoria è invalidata se non può

decidere un problema formulato nei termini del linguaggio della teoria;

? la prova di consistenza per un certo sistema formale deve essere for-

mulata in un sistema di ordine più elevato che contenga il sistema

stesso;

? non è possibile dare una prova di consistenza di un sistema matematico

o logico in puri termini sintattici combinatori.

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2 La critica di Gödel ai programmi riduzionisti

Fondamentale per ricostruire la posizione filosofica di Gödel, è poi

l’approccio che mostra nei confronti dei programmi fondazionalisti, in parti-

colare quello finitista e quello neopositivista, rispettivamente di Hilbert e di

Carnap. Gödel utilizza, infatti, i propri teoremi per dimostrare che i due pro-

grammi non possono essere portati a compimento. Ne presento in estrema

sintesi le motivazioni.

Il programma di Hilbert, a partire da ciò che si evince dall’analisi göde-

liana, può essere così riassunto: la crisi dei fondamenti della matematica può

essere risolta assiomatizzando le teorie matematiche e poi formalizzandole

completamente, ottenendo così un sistema formale di meta-livello, chiama-

to “metamatematica”, che si basa interamente su stringhe di segni e regole

sintattiche di manipolazione di questi. Il secondo teorema di incompletezza

dimostra che questo programma non può essere portato a termine. Infatti,

affinché possa fondare la matematica, la metamatematica deve essere consi-

stente. Ma il secondo teorema di incompletezza afferma che la consistenza

di un sistema non può essere dimostrata con una prova espressa interna-

mente al linguaggio del sistema stesso. La conclusione che trae Gödel è che

non è possibile ridurre la matematica a un’insieme di segni che vengono ma-

nipolati secondo regole sintattiche finitistiche. L’elemento concettuale e il

riferimento al significato non possono essere eliminati. Il tentativo di Hilbert

di mescolare empirismo, in quanto gli assiomi della metamatematica sono

direttamente percepiti nell’esperienza, e razionalismo, in quanto sono valide

solo prove che si basano sulla manipolazione sintattica dei segni, fallisce. I

risultati sull’incompletezza lo dimostrerebbero inequivocabilmente.

Per quanto riguarda il programma neopositivista di Carnap, Gödel

individua tre punti fondamentali che lo caratterizzano e di cui nega la cor-

rettezza, attraverso i teoremi di incompletezza:

1. l’intuizione matematica viene rimpiazzata completamente da una serie

di convenzioni sintattiche; 7

2. la matematica è vuota di contenuto;

3. la validità della matematica risulta compatibile con l’empirismo stretto.

Anche in questo caso, come in quello della critica al programma di Hilbert,

Gödel utilizza i teoremi di incompletezza, mostrando come sia impossibile

trasformare la matematica in una serie di regole sintattiche, eliminando ogni

riferimento al significato dei termini che appartengono al linguaggio mate-

matico. Il primo punto viene confutato da Gödel così: affinché le verità

della matematica possano basarsi soltanto su convenzioni linguistiche (sin-

tattiche), le convenzioni sintattiche devono essere consistenti, altrimenti da

esse deriverebbe qualsiasi enunciato, anche enunciati fattuali; ma, per il se-

condo teorema di incompletezza, la consistenza di un sistema formale non

può essere dimostrata all’interno del sistema stesso. Ciò significa che è ne-

cessario l’intervento di “qualcosa” di extralinguistico. Ci sono due possibilità

per ottenere la prova di consistenza: una prova di natura matematica oppu-

re una prova di natura empirica. In entrambi i casi le prove trascenderanno

la sintassi e così invalideranno il programma riduzionista di Carnap. Il ri-

sultato che ottiene Gödel dalla confutazione del primo punto è il seguente:

l’intuizione matematica non può essere eliminata. Ma questo risultato por-

ta immediatamente alla confutazione del secondo punto del programma di

Carnap, perché l’intuizione matematica conferisce un contenuto alla mate-

matica, un fatto extralinguistico, una parte concettuale. Il risultato della

confutazione del secondo punto è il seguente: la matematica possiede un

contenuto proprio. Ma se la matematica possiede un contenuto proprio e

l’intuizione matematica non può essere eliminata, la validità di un sistema

matematico non può essere compatibile con l’empirismo stretto del Circolo di

Vienna, che ammetteva la possibilità della matematica solo in quanto vuota

tautologia.

Wang afferma che fu proprio lo studio del programma di Carnap e lo

scritto che doveva pubblicare su questo argomento che spinsero Gödel allo

studio di Husserl. Husserl avrebbe dovuto fornirgli un metodo che potesse

superare l’incompatibilità tra empirismo e razionalismo e che potesse essere,

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in qualche modo finora non considerato, uno strumento di fondazione per la

matematica. Se la critica a Carnap rappresenta allora la pars destruens del

lavoro di Gödel riguardo decisione e fondazione in matematica, si potrebbe

dire che il metodo fenomenologico di Husserl poteva forse rappresentare per

Gödel la pars costruens.

3 Il ruolo della fenomenologia

La conclusione di interesse filosofico che si può trarre dalle analisi della

proposta carnapiana è che la matematica, in quanto possiede un contenuto,

che le viene fornito da un’intuizione specificatamente matematica, che tra-

scende il linguaggio formale, non può essere definita come pura sintassi del

linguaggio; inoltre è possibile che il contenuto della matematica non si limiti

al finito. Wang però ci informa che Gödel si rendeva conto che la propria

critica, se rispondeva alla questione di cosa la matematica non fosse, non

dava però quasi nessun contributo al problema alla radice di essa, cioè che

cosa la matematica fosse:

It seems to me that the two decisions may have been related. He had, he

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once told me, proved conclusively in this essay that mathematics is not

syntax of language but said little about what mathematics is. At the time

he probably felt that Husserl’s work promised to yield convincing reasons

for his own beliefs about what mathematics is. (Wang 1996, p. 163)

Il riferimento a Husserl e lo studio dei suoi scritti, quindi, rappresentava per

Gödel la speranza di poter trovare una strada positiva per “definire” (anche

se certamente in senso fenomenologico e non analitico) l’ambito e il meto-

do della disciplina che ha il nome di matematica. L’idea di fondo che ha

Gödel è quella di trovare un metodo di decisione per la matematica e la lo-

gica che sia rigoroso, ma non meccanico. Per rigoroso si intende un metodo

che permetta di dare ai problemi una decisione che non sia relativa o con-

testabile. Per non meccanico si intende un metodo che non sia riducibile a

una macchina di Turing. L’intuizione di Gödel è che questo metodo possa

3 Si riferisce qui al saggio su Carnap che ho precedentemente citato, più volte riscritto

da Gödel (vedi Gödel *1953/59). 9

corrispondere a un’applicazione della fenomenologia husserliana ai problemi

matematici. Il metodo cui si allude, se di metodo si può parlare, è quello

dello scavo sempre maggiore nel concetto, cioè di una sua progressiva chia-

rificazione, tramite il processo di astrazione. Questa soluzione anche se non

è mai esplicita, tuttavia, è legittimo attribuirla al matematico per alcune

delle proprie affermazioni riguardo i problemi di decisione in matematica,

con particolare riferimento all’ipotesi del continuo. Gödel indica per essa la

possibilità di tentare la via della fenomenologia, o almeno di una