Taratura dinamica con ingresso a gradino - Strumento I'ordine - Termocoppia

Risolvendo l’equazione differenziale si ottiene: t

−

y(t) = y + (y − y ) ⋅ e τ

2 1 2

dove: ′

= ; =

1 1 2 2 1 2

1.2) Metodi per determinare la costante di tempo τ

La taratura di uno strumento del primo ordine consiste nel determinare la sua prontezza,

τ

cioè la costante di tempo che si può determinare con i tre seguenti metodi:

1.2.1) Metodo 1

Questo metodo identifica la costante come il tempo per il quale si raggiunge il 63,2% del

gradino. τ

Imponendo = t, ovvero andando a studiare l’istante di tempo dopo che sia passato un

τ

tempo dall’inizio del transitorio, la soluzione della equazione differenziale diventa:

−1

( )

(τ) = − − ⋅

2 1 2

( )

(τ) = − 0,3679 ⋅ −

2 1 2

[formula 1.2.1]

(τ) da cui

Imposto un gradino e quindi conoscendo , , si trova si ricava la costante di

1 2

τ

tempo

1.2.2) Metodo 2

Questo metodo trova la costante come l’ascissa dell’intersezione tra la tangente alla curva

in e la retta orizzontale .

0 2 τ

Si può dimostrare come la costante di tempo coincida con l’ascissa del punto di

intersezione tra la tangente della curva a inizio transitorio (cioè a ) e la retta orizzontale

0

= ⋅ ovvero il valore a regime.

2 2 1

−

( ) (− )

= − ⋅ ⋅

1 2

τ

(0) 1 0

−

( ) (− )

= − ⋅ ⋅

1 2

τ

(0) 1

( ) (− )

= − ⋅

1 2

τ

−

2 1

= (0)

[formula 1.2.2]

1.2.3) Metodo 3

Questo metodo permette di calcolare la costante di tempo sfruttando la funzione in scala

t

−

(y )

y(t) = y + − y ⋅ e

logaritmica z(t) della equazione :

τ

2 1 2

() −

2 −

= τ

−

1 2

() − t

2

() = ( )=−

− τ

1 2

[formula 1.2.3.1]

Questo terzo metodo risulta essere il più accurato in quanto si costruisce la retta z_lin(t)

linearizzando i punti di z(t) appartenenti a un intervallo di tempo piuttosto ampio che

∗

>

corrisponde alla prima parte di transitorio: come tempo di inizio intervallo si sceglie 1

e ciò permette di non dovere trovare in maniera accurata l’istante

0 0

∗

Bisogna prestare attenzione anche al tempo di fine intervallo poiché all’aumentare del

2

tempo aumenta l’incertezza di z:

()− 1 −

2 1 2

= ⋅ = = =

con e [formula 1.2.3.2]

− ()−

1 2 2

→ ∞ () → () −

Per si ha che e quindi il denominatore di tende a 0. Perciò per

2 2

→ ∞, → ∞

∗ ∗

:

Dunque, si trovano i punti z ( ) e li si interpola ai minimi quadrati per trovare una

1 2

retta in scala logaritmica z_lin(t) la cui pendenza è pari a meno il reciproco della costante

Δt

τ = −

di tempo→ [formula 1.2.3]

Δz

2. CORPO DEL LAVORO

2.1) STRUMENTI

L’esperienza prevede l’uso di vari strumenti per misurare e raccogliere i dati per elaborarli

e trarne delle conclusioni.

Gli strumenti sono:

1) Termocoppia

2) Scheda di acquisizione “myDAQ”

3) Alimentatore “CC RS Pro RS3005D”

4) Riscaldatore DBK

2.1.1) Termocoppia

La termocoppia è uno strumento del primo ordine ed è costituita da due fili di materiali

conduttori diversi (A e B) uniti in due punti, chiamati giunti, a temperature differenti (T e

1

T ).

2

Su uno dei due lati è posto un voltmetro che misura il voltaggio che segue la legge di

Seebek V=α(T - T ). La modalità di funzionamento di questi termometri è la seguente:

2 1

viene fissata la temperatura T di uno dei due giunti, ad esempio con un bagno di acqua-

1

ghiaccio fondente oppure utilizzando un termometro, viene letto il voltaggio V e,

conoscendo α, si è in grado di ricavare la temperatura del secondo giunto T

2.

Nel nostro caso, non dovendo misurare la temperatura in ingresso ma interessandoci solo

della lettura in risposta a un gradino di temperatura in ingresso, le specifiche tecniche non

sono rilevanti.

2.1.2) Scheda di acquisizione myDAQ

Scheda di acquisizione a 16 bit “myDAQ” dell’azienda National Instruments con fondo

scala in ingresso pari a +-10V.

2.2) SETUP SPERIMENTALE e ACQUISIZIONE

E’ fornito il riscaldatore posizionato su un supporto in legno e, come prima procedura, è

stato collegato all’alimentatore e si è atteso che si stabilizzasse l’amperaggio, cioè che il

riscaldatore raggiungesse l’equilibrio termico a una temperatura T2 incognita costante.

La termocoppia è collegata alla scheda di acquisizione myDAQ che invia, in maniera

digitale, il voltaggio della termocoppia al computer e il valore viene letto tramite il

software NI ELVISmx, da cui si può creare un file Excel con l’intera acquisizione che poi

abbiamo caricato su Matlab per svolgere il postprocessing e il calcolo delle costanti di

tempo.

La frequenza di campionamento è stata impostata dal computer tendendo conto che essa

dovesse essere sufficientemente alta per delineare le varie fasi del transitorio ma, al tempo

stesso, non eccessiva poiché il tempo di osservazione per registrare l’intero fenomeno è

circa di cento secondi e quindi con una frequenza alta si avrebbe un numero eccessivo di

dati. Si è trovato un compromesso impostando la frequenza di campionamento a 100Hz

che comporta approssimativamente 10000 dati campionati.

Successivamente, dopo aver iniziato l’acquisizione registrando una lettura corrispondente

alla temperatura ambiente, il terminale della termocoppia è stato inserito nella cavità sotto

la lamina metallica del riscaldatore ed è stato mantenuto per un sufficiente tempo nel

mentre che il transitorio si esaurisse per poi essere rimosso per registrare anche il

transitorio di raffreddamento. L’acquisizione comprende sia un periodo iniziale in cui la

termocoppia registra il voltaggio che corrisponde alla y1 relativo alla temperatura

ambiente, sia un periodo a fine transitorio per misurare un voltaggio a regime y2

corrispondente alla temperatura del riscaldatore.

2.3) ANALISI DATI

2.3.1) Acquisizione e smoothing

Dopo aver graficato l’acquisizione in Volt in funzione del tempo espresso in centisecondi

−2 ),

(10 poiché l’acquisizione viene fatta a 100Hz, si è notato che i dati raccolti erano

soggetti a molto rumore, come mostrato in figura.

Figura 1: Grafico acquisizione 1 con relativo smoothing

Nel grafico, in blu è tracciata l’acquisizione il cui rumore è ben visibile mentre in rosso è

tracciata la media mobile.

Quindi si è deciso di effettuare uno smoothing dei dati tramite l’utilizzo della media

mobile per cercare di eliminare parte del rumore. Questa operazione ha per lo più una

finalità grafica poiché permette di visualizzare meglio l’acquisizione e numericamente è

stata usata solo identificare Y2 (questo procedimento verrà spiegato in seguito).

Come algoritmo di media mobile si è optato di fare la media tra i valori n-t e n+t e salvare

questo nuovo valore come media mobile del valore n. L’intervallo di dati su cui si media è

±t con t preso a piacere: nel nostro caso sono state effettuate diverse prove qualitative e si è

giunti al valore t=5 che è già sufficiente per togliere la maggior parte del rumore ma al

tempo stesso non distorcere eccessivamente l’acquisizione.

Questo metodo di media mobile ha uno svantaggio in quanto si escludono i primi e gli

ultimi t valori. Si è ritenuto che questa fosse un’approssimazione valida in quanto i dati

esclusi erano relativi a un periodo di stabilità e inoltre t<<numero di dati acquisiti.

,

2.3.2) Identificazione 1 2, 0

Per poter calcolare le costanti di tempo con i metodi precedentemente spiegati, sono stati

, ,

calcolati i valori di : è l’ascissa corrispondente al momento in cui la termocoppia

0 1 2 0

è stata collegata al riscaldatore ed è iniziato il transitorio, è l’uscita in Volt della

1

termocoppia alla temperatura ambiente (ovvero la sensibilità dello strumento

1

moltiplicata per la temperatura ambiente ) e è l’uscita in Volt della termocoppia alla

1 2

temperatura del riscaldatore (ovvero la sensibilità dello strumento moltiplicata per la

2

temperatura del riscaldatore ). Il gradino corrisponde alla differenza di temperatura

2 −

tra l’ambiente e il riscaldatore che corrisponde in volt a 2 1 −2

[] [] [10 ]

0

1 2

Acquisizione 1 0,3675 2,0417 1308

Acquisizione 2 0,3951 2,0281 1196

Acquisizione 3 0,3692 2,0341 1157

2.3.2.1) 1

Per trovare è stata effettuata una media dei valori nei primi 10s che visivamente è

1

qualche secondo prima dell’inizio del transitorio in modo tale da essere certi che la

termocoppia stesse rilevando dati durante il periodo stazionario a temperatura ambiente.

2.3.2.2) 2

Per trovare si è ragionato analizzando fisicamente il fenomeno, arrivando a dire che il

2

valore di fosse il massimo della curva “smoothed”. Si è deciso di usare il massimo della

2

curva e non la media di un intervallo di tempo approssimabile come a regime poiché la

temperatura della termocoppia non può termodinamicamente essere maggiore di quella

del riscaldatore poiché il flusso di calore va dal riscaldatore alla termocoppia. Il valore

massimo di temperatura che quindi la termocoppia può assumere (trascurando rumore e

eventuali disturbi) è pari a quello del riscaldatore dopo aver raggiunto l’e