Quaderno di teoria - Analisi II, Prof.Veneroni

• ANALISI 2
• SERIE DI FUNZIONI
• DEFINIZIONE

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni. Se esiste un intervallo I* ⊂ I tale che ∑f_n(x) converge ∀x ∈ I* ↔ dico che ∑f_n CONVERGE PUNTUALMENTE in I*. In questo caso ∀x ∈ I* definisco la somma della serie f(x) = ∑f_n(x)

• DEFINIZIONE

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni, se esiste una successione {a_n} tale che |f_n(x)| ≤ a_n ∀x ∈ I ∀n ∈ ℕ e ∑a_n converge ↔ dico che ∑f_n CONVERGE TOTALMENTE

Osservazione: se ∑f_n converge totalmente → converge puntualmente

• DEFINIZIONE

L'insieme dei punti x per cui ∑_n=0^∞ f_n(x) converge puntualmente si chiama INSIEME DI CONVERGENZA

• TEOREMA

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni

1. CONTINUITÀ: se f_n sono continue su I e la serie ∑f_n converge totalmente → f(x) = ∑f_n(x) è continua
2. DERIVABILITÀ: se f_n sono derivabili su I e ∑f_n converge puntualmente e ∑f_n converge totalmente, allora:
   • a) f(x) = ∑f_n(x) è derivabile su I
   • b) f'(x) = ∑ f'_n(x)

ANALISI 2

• SERIE DI FUNZIONI
• DEFINIZIONE

Sia f_n : I → ℝ una successione di funzioni. Se esiste un intervallo I^* ⊆ I tale che Σ f_n(x) converge ∀ x ∈ I^* ⇒ dico che Σ f_n converge puntualmente in I^*. In questo caso ∀ x ∈ I^* definisco la somma della serie f(x) = Σ f_n(x)

• DEFINIZIONE

Sia f_n : I → ℝ una successione di funzioni. Se esiste una successione {a_n} tale che |f_n(x)| ≤ a_n ∀ x ∈ I ∀ n ∈ ℕ e Σ a_n converge ⇒ dico che Σ f_n converge totalmente Osservazione: se Σ f_n converge totalmente ⇒ converge puntualmente

• DEFINIZIONE

L'insieme dei punti x per cui ∑^∞ f_n(x) converge puntualmente si chiama INSIEME DI CONVERGENZA

• TEOREMA

Sia f_n : I → ℝ una successione di funzioni

1. CONTINUITÀ : Se f_n sono continue su I e la serie Σ f_n converge totalmente ⇒ f(x) = Σ f_n(x) è continua
2. DERIVABILITÀ : Se f_n sono derivabili su I e Σ f_n converge puntualmente e Σ f_n converge totalmente, allora:
   1. f(x) = Σ f_n(x) è derivabile su I
   2. f'(x) = Σ f'_n(x)

3) INTEGRABILITÀ:

Se f_n sono continue su I e sia

[a,b] ⊆ I se Σf_n converge uniformemente o equivalentemente, allora:

a) f = Σ f_n è integrabile su [a,b]

b) ∫_a^b f(x) dx = Σ (∫_a^b f_n(x) dx)

SERIE DI POTENZE

Σ_n=0^∞ a_n(x-x_o)ⁿ con x_o ∈ ℝ "centro" e {a_n} "coefficienti"

TEOREMA

Una serie di potenze ha uno e uno solo di questi comportamenti

1. la serie converge solo in x = x_o
2. la serie converge ∀ x ∈ ℝ
3. ∃ R ∈ (0;+∞) tale che la serie:
• *converge se |x-x_o| < R
• b) NON converge se |x-x_o| > R

*RAGGIO DI CONVERGENZA

CRITERI per calcolare il raggio di convergenza

1. RADICE: se esiste

lim_n→+∞ √ⁿ|a_n| = e ⇒ R =

• +∞ se e=0
• 1/e se e ∈ (0;+∞)
• 0 se e = +∞
2. RAPPORTO: se esiste

lim_n→+∞ |a_n+1 / a_n| = e ⇒ R =

• +∞ se e=0
• 1/e se e ∈ (0;+∞)
• 0 se e = +∞

⚠ lim_n→+∞ √⁵, √ⁿ, √^n-3 = 1

• SERIE di TAYLOR - MAC LAURIN Notazione: f continua su I ⇒ f∈C⁰(I) f continua, derivabile e f' continua su I ⇒ f∈C¹(I) f ha n derivate continue su I ⇒ f∈Cⁿ(I) e f∈C∞(I) se f∈Cⁿ(I)

condizione necessaria ma NON sufficiente ∀k∈N per avere il polinomio è che