Quaderno di teoria - Analisi II, Prof.Veneroni

• ANALISI 2
• SERIE DI FUNZIONI
• DEFINIZIONE

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni. Se esiste un intervallo I*⊂I tale che Σf_n(x) converge ∀x∈I*

⇔dico che Σf_n CONVERGE PUNTUALMENTE in I*

In questo caso ∀x∈I* definisco la somma della serie f(x):=Σf_n(x)

• DEFINIZIONE

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni, se esiste una successione {a_n} tale che |f_n(x)|≤a_n ∀x∈I ∀n∈ℕ e Σa_n converge ⇒ dico che Σf_n CONVERGE TOTALMENTE

Osservazione: se Σf_n converge totalmente

⇒ converge puntualmente

• DEFINIZIONE

L'insieme dei punti x per cui Σ_n=0^∞f_n(x) converge puntualmente si chiama INSIEME DI CONVERGENZA

• TEOREMA

Sia f_n: I → ℝ una successione di funzioni

1. CONTINUITÀ: se f_n sono continue su I e la serie Σf_n converge totalmente

   ⇒ f(x):=Σf_n(x) è continua

2. DERIVABILITÀ: se f_n sono derivabili su I e Σf_n converge puntualmente e Σf_n converge totalmente, allora:
   • a) f(x)-Σf_n(x) è derivabile su I
   • b) f'(x)=Σf'_n(x)

3) INTEGRABILITÀ: Se f_n sono continue su I e sia [a,b] ⊆ I. Se Σf_n converge uniformemente, allora:

a) f = Σf_n è integrabile su [a,b]

b) ∫_a^b f(x) dx = Σ (∫_a^b f_n(x) dx)

- SERIE DI POTENZE

Σ a_n(x-x₀)ⁿ con x₀ ∈ ℝ "centro" e {a_n} "coefficienti"

- TEOREMA

Una serie di potenze ha uno e uno solo di questi comportamenti:

1. la serie converge solo in x = x₀
2. la serie converge ∀ x ∈ ℝ
3. ∃ R ∈ (0,+∞) tale che la serie:
• a) converge se |x-x₀| < R
• b) NON converge se |x-x₀| > R

* RAGGIO DI CONVERGENZA

- CRITERI per calcolare il raggio di convergenza

1. RADICE: se esistelim_n→∞ |a_n|^1/n = l ⇒ R = {+∞ se l = 01/l se l ∈ (0,+∞)0 se l = +∞}
2. RAPPORTO: se esistelim_n→∞ |a_n+1 / a_n| = l ⇒ R = {+∞ se l = 01/l se l ∈ (0,+∞)0 se l = +∞}

⚠ lim_n→∞ n√5, n√n, n√n³ = 1

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)

Notazione: \( x \in \mathbb{R}^n \) \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) in \( \mathbb{R}^2 \) ed \( \mathbb{R}^3 \) \( \mu_2 = (x, y) \) \( \nu_3 = (x, y, z) \)

DEFINIZIONE

f: \( \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) graf. { \( (x,y) \in \mathbb{R}^{n+1} \): \( y = f(x) \) }

INSIEMI DI LIVELLO

f: \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) Lc = { \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) : \( f(x, y) = c \) }

LIMITE

DEFINIZIONE

Sia { \( x^k \)}_{k ∈ N} una successione di vettori in \( \mathbb{R}^n \), \( x^o \in \mathbb{R}^n \)

Dico che il limite della successione \(\lim_{k \to \infty} x^k = x^o\) se \(\lim_{k \to \infty} |x^k-x^o| = 0\)

DEFINIZIONE

Sia \( x_o \in \mathbb{R}^n \) \( τ > 0 \). Un INTORNO di \( x_o \) di raggio \( τ \) è \( V_τ(x_o) = \{ x \in \mathbb{R}^n : |x - x_o| < τ \} \)

DEFINIZIONE

Sia \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) definita almeno in \( V_τ(x_o) \setminus \{ x_o \} \), per qualche \( τ > 0 \). Sia \( L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} \) dico che \(\lim_{x \to x_o} f(x) = L\) se ∀ successione \( x^k \to x_o \) con \( x^k \neq x^o \) si ha \(\lim_{x^k \to x_o} f(x^k) = L\)

DEFINIZIONI \(\lim_{x \to x_o} f(x) = L\)

\( L \in \mathbb{R} \to \forall \varepsilon > 0 \exists δ > 0 : 0 < |x - x_o| < δ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon \)

\( L = +\infty \to \forall H > 0 \exists δ > 0 : 0 < |x - x_o| < δ \Rightarrow f(x) > H \)

\( L = -\infty \to \forall H > 0 \exists δ > 0 : 0 < |x - x_o| < δ \Rightarrow f(x) < -H \)

\( x_o = +\infty \to \forall \varepsilon > 0 \exists M > 0 : |x| > M \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon \)

\( L = +\infty \) \( x_o = + \infty \to \forall K > 0 \exists M > 0 : |x| > M \Rightarrow f(x) > K \)

\( L = -\infty \) \( x_o = + \infty \to \forall K > 0 \exists M > 0 : |x| > M \Rightarrow f(x) < -K \)

Se le derivate parziali esistono e sono continui su tutto A

f ∈ C¹(A) ⇒ f è differenziabile in A ⇒ f ∈ C⁰(A)

Osservazione: Se le derivate NON sono definite in un intorno di (0,0) ⇒ NON posso usare la condizione sufficiente

DERIVATE DIREZIONALI

DEFINIZIONE

Sia v ∈ ℝⁿ, |v|=1 (rappresenta la direzione)

Se esiste finito:

\(\lim_{{t \to 0}} \frac{{f(x₀+tv)-f(x₀)}}{t} = \frac{{∂f}}{∂v} (x₀)\)

è una DERIVATA DIREZIONALE di f lungo v, in x₀

Notazione: Dᵥf ∂ᵥf

o-PICCOLO O ERRORE

o(|x-x₀|)

|x-x₀|= \(\left\| \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (x₀)_1 \\ (x₀)_2 \\ (x₀)_n \end{pmatrix} \right\|\)

|\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x₀ \\ y₀ \end{pmatrix}\)|

se n=2

se (x₀, y₀) = (0,0) diventa |\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)| = \(\sqrt{x²+ y²}\)

⇒ diventa o(\(\sqrt{x²+y²}\))

FORMULA DEL GRADIENTE

Sia A⊆ ℝⁿ aperto, x₀∈A, f: A→ℝ se f è differenziabile in x₀ allora:

∂ᵥf(x₀)=∇f(x₀)⋅v ∀v∈ℝⁿ, |v|=1

\(\begin{cases} \frac{∂}{∂ x_1} \\ \frac{∂}{∂ x_2} \\ \ldots \\ \frac{∂}{∂ x_n} \end{cases}\)

sono una base per le derivazioni

v=(v₁, v₂, ..., vₙ) ∂ᵥf(x₀)=∇f(x₀)⋅v= \(\sum_{i=1}^{n} v_i \frac{∂f}{∂x_i}\)

Massimi e minimi di f in dimensione n

f(x₀+h) - f(x₀) = ∇f(x₀) . h + (1/2 h^T Hf(x₀) h + o(||h||²) per h→0

• Dif nella segno di f(x₀+h) - f(x₀) Dipende dal segno di Hf(x₀) . h

Definiamo la forma quadratica q: Rⁿ→R associato ad A∈R^n×n q(h) = h^T A h = h_A h

Teorema

Sia A⊂Rⁿ aperto, f∈C²(A), x₀∈A punto stazionario (∇f(x₀) = 0)

1. Se Hf(x₀) è definita positiva ⇒ x₀ è p.to di minimo
2. semi def. pos. ⇒ o min o sella relativo stretto
3. Se Hf(x₀) è definita negativa ⇒ x₀ è p.to di max
4. semi def. neg. ⇒ o max o sella sino relativo stretto
5. Se Hf(x₀) è indefinita ⇒ x₀ è punto di sella
6. Se Hf(x₀) ∈ R^2×2
• Se det H > 0 e tr H > 0 => H è definita positiva
• Se det H > 0 e tr H < 0 => H è definita negativa
• Se det H < 0 => H è indefinita
• Se det H = 0, ∀_A > 0 semidef. positiva
• ∀_A < 0 semidef. negativa
7. Se Hf(x₀) ∈ R^n×n con n ≥ 3

- Metodo dei minori incapsulati

• Se det(Hi) > 0 con i: 1, ..., n => H è def. +
• Se det(Mi) > 0 con i pari
• e det(Mi) < 0 con i dispari => H è def -

PROPRIETÀ

1. CONTINUITÀ

   è continua in ₀ se lim_x→x₀ () = (₀)

   |−₀|→0 in ℝⁿ

   |()−(₀)|→0 in ℝᵡᵡ

2. DERIVATE PARZIALI

   Definiamo la matrice Jacobiana di

   J(₀)_ij = ∂(₀)/∂x_j

   J ∈ ℝᵡᵡⁿ

   • DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE COMPOSTA

     Sian : ℝⁿ→ℝᵡᵡ e : ℝᵡᵡ→ℝᵏ se e differenziabili

     in ₀ e è differenziabile in (₀)

     ⇒ () è differenziabile in ₀, (): ℝⁿ→ℝᵏ

     e J[()] = J((₀))·J(₀)

   • DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA

     : ℝᵛ→ℝᵛ differenziabile in ₀, |J(₀)|≠0

     ⇒ è invertibile in ₀

     e J[⁻¹](₀) = (J)⁻¹(₀)

     Se : ℝⁿ→ℝ

     ∇: ℝⁿ→ℝⁿ

     J(∇) =

3. DIFFERENZIABILITÀ

   Sia A ⊆ ℝⁿ aperto, ₀ ∈ A, diciamo che : A→ℝᵛᵛ

   è differenziabile in ₀ se:

   () = (₀) + J(₀)(−₀) + (|−₀|) per →₀

   Il differenziale è un operatore lineare che approssima ()−(₀)

   d_₀·h = J(₀)·h

   : ℝⁿ→ℝᵡᵡ è differenziabile ⇔ ⁱ è differenziabile ∀i