Quaderno di teoria - Analisi I, prof. Mora

3/2 = 1,5

1/3 = 0,3

con Z troviamo numeri con la virgola con n^o finito di cifre dopo la virgola o numeri finiti con periodo.

im R dopo la virgola i numeri possono anche non avere periodicità es. π.

Approssimazione di R in Q

com il 'di precisione che vogliamo', troncando la rapp. decimale

Proprietà dei R

• algebriche
• ordinamento
• assioma di commutatività

Prop. Algebriche

Su R definite due operazioni somma - prodotto con proprietà

1. Commutativa
2. Associativa (a+b) + c = a + (b+c)
3. ∃0 ∈ R : a+0 = a elemento neutro della somma
4. ∀a ∈ R ∃b ∈ R : a+b = 0 b=-a

1. Commutativa ∀a, b,... ∈ R
2. Associativa
3. ∃1 ∈ R : a·1 = a el. neutro prodotto
4. ∀a ∈ R {0} ∃b ∈ R : a·b = 1 b=1/a
5. Distributiva a·(b+c) = a·b + a·c

(s₁, s₂, s₃, p₁, p₂, p₃, p₅) ∈ ℕ, ℤ, ℚ

(s₄) ℤ, ℚ

(p₄) ℚ

I vettori prsp. sono insieme R = ℚ campi algebrici

Proprietà di ordinamento

Dati x, y ∈ ℝ vale sempre che x ≤ y o y ≤ x

Le proprietà dell'ordinamento sono:

• Riflessiva x ≤ x ∀ x ∈ ℝ (1)
• Antisimmetrica x ≤ y ∧ y ≤ x allora x = y (2)
• Transitiva x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (3)

ℝ = ℚ sono insiemi ordinati

(oa₁) x ≤ y ⇒ xz ≤ yz

(oa₂) x ≤ y ⇒ -z ≤ -y,-z ∀ z ∉ 0

Queste prop. algebriche e di ordinamento rendono R e Q campi totally ordinati

Esempio

3x + 1 ≥ 5 add = x (oa₂)

(3x + 1) - 1 ≥ 5 - 1 (s₂) (s₄)

3x + (-1) ≥ 4

3x + 0 ≥ 4 (s₃)

3x ≥ 4 (oa₂)

x ≥ 4/3

Assioma di continuità (ℝ ≠ ℚ)

A = ℝ, B = ℝ non ∅

a ≤ b ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B (A sta a sx rispetto a B)

a .... c .... b

∃ c ∈ ℝ, a ≤ c ∀ a ∈ ℝ ∨ c ≤ b ∀ b ∈ B

A = (0,1 escluso B = (1/2)

A = (0,1) B = (1/2)

c = 1

c ∈ 1 comprende 1

A te rm R non in Q

Esempio

A = {x ∈ ℚ x̸≥0, x²≥2}

B = {x ∈ ℚ x̸≥0 x²≥2,}

A sta a sx ∉ R se c fosse in Q c ∉ se separa A e B

3: non esiste c ∈ (0,1 c²≥2)

1. A = (-1, 2] ∪ {2}

Sup A = max A = 2

inf A = -1

29/9/97

1. PRINCIPIO DI INDUZIONE

per dimostrare la validità di una proposizione I m ∈ IN

P(m) = affermazione che contiene m ∈ IN e può essere vera o falsa a seconda del valore m

M ⊡ 1, 2 m² vera per m=0, 1

non valgono le Hp del principio

falsa per m=2; 3^m ≥ 2m

falsa per m=0, 1

vera per m=2,..., vale dunque

Obiettivo → determinare per quali m P(m) è vera

1) supponiamo che:

(A) p(0) è vera = PASO BASE

(B) comunque preso m ∈ IN, se p(m) è vera allora P(m+1) è vera = PASO INDUTTIVO

Allora P(m) è vera per ogni M ∈ IN

Vediamo: supponiamo

A) P(m₀) è vera

B) comunque preso m ∈ IN ⁰, se p(m) è vera allora p(m+1) è vera

Esempio

Dimostrare che Σ_{k = 0}^m k = m(m+1)/2 ∀m ∈ IN (HP)

tutti i valori da 0 ad m sottraendo → 0+1+2,...,m

Dimostrazione per induzione

Passo base ^SI √ 0 = o(o+1)/2 0 =0√

Passo induttivo ? Tesi

Σ_{k = 0}^m+1 k = Σ_{k = 0}^m k + (m+1)

uso (HP) = m(m+1)/2 + (m+1)

= (m+1)(m+2)/2

Intervalli

[a,b] a,b ∈ ℝ = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}

(a,b) a,b ∈ ℝ = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}

Proprietà di connessione

(Gli intervalli) (limitati e non) sono tutti e soli gli insiemi I⊂ ℝ con la seguente proprietà X₁ < x₂ < x₃ se x₁,x₃ ∈ I allora x₂ ∈ I

Numeri complessi

• hanno 3 rappresentazioni
  • forma algebrica
  • forma trigonometrica
  • forma esponenziale

z ∈ ℂ ↔ z = a + ib

a,b ∈ ℝ

i = unità immaginaria

i² = -1

a = parte reale di z

b = parte immaginaria di z

• posso rappresentare un numero complesso sul piano di Gauss

z = a + ib come punto di coordinate (a,b)

z = 2 - i

In questo caso numero immaginario puro.

Operazioni algebriche su ℂ

z = a + ib w = c + id

z + w = (a + c) + i (b + d)

z - w = (a - c) + i (b - d)

z • w = ac - bd + ibc + iad + i²bd = (ac - bd) + i (ad + bc)

Svolgi il prodotto mediante la regola

1/w = 1/(c+id) = (c-id)/(c-id) = (c-id)/(c²+d²) = c/(c²+d²) - i d/(c²+d²) solo se c²+d² ≠ 0

Mostra

Il numero complesso = 0 solo se p. reale e immaginaria = 0

Radice m-esima di un C

Dato w ∈ C, dico che z ∈ C è una radice m-esima di w se z^m = w

• se w ≠ 0

w = ρe^iφ

z = ρe^iθ ; z^m = w

ρ^m e^imθ = ρe^iφ

ρ^m = r^eip

mθ = φ + 2kπ , k ∈ Z

ρ = ^m√r

θ = ^φ/_m + 2kπ/_m , k ∈ Z

Abbiamo affermato di aver trovato

• φ/_m + 2π/_m + 4π/_m + ... + 2(m-1)π/_m
• k = m

φ/_m + 2mπ/_m + 2π + ...

In C le radici m-esime di w = e^iφ , f_o sono m e sono tutti e soli i numeri C della forma:

z = ^m√r e^iθ con θ= ^φ/_m + 2kπ/_m

• k = 0,1,...,m-1

Esempio

Calcolare le radici cubiche complesse di 8i

w = 8i

Forma esponenziale 8e^πi/₂

z tale che z³ = w ; z = ρe^iθ

z = ρ³ e^i3θ = 8e^πi/₂

ρ³ = 8 ; ρ = 2

3θ = π/₂ + 2kπ

k = 0,1,2

θ = ^π/₆ + 2kπ/₃ con k = 0,1,2

Soluzioni

z₁ = 2e^iπ/6

z₂ = 2e^i5π/6 = 2(cos π/3 + i sen π/3) + √3i

z₃ = 2e^3iπ/2 = -2i

Triangolo equilatero

f: ℝ → ℝ

f(x) = 0 , x < 0 1 , x ≥ 0

f(m(t)) = f(ℂ) = {0;1} ⊂ ℝ

F. INIETTIVA / SURRIETTIVA

x₁, x₂ ∈ A x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂) esp = x₁ = x₂ → f(x₁) = f(x₂)

∀y ∈ B ∃ x ∈ A | f(x) = y

Biettiva (se iniettiva e suriettiva)

Suriettiva se e solo se B = f(A) Biettiva = ∀ y ∈ B ∃ ! x ∈ A | f(x) = y

OSS f: A → ℝ A ⊂ ℝ

Verificazioni

f iniettiva ↔ ogni retta orizzontale (/ a x) interseca il grafico in al più un punto

f suriettiva ↔ ogni retta orizzontale interseca il grafico di f

• f: ℝ → [0,+∞[ f(x) = x²
• f non é iniettiva [0,+∞[ = f(ℝ) → f é suriettiva
• f: [0,+∞[ → (0,+∞[ f(x) = x²