Serie numeriche
Esempio di segmento di lunghezza 2
Consideriamo un segmento di lunghezza 2:
- a0 = 1
- a1 = 1/2
- a2 = 1/4
- an = 1/2n, n ∈ ℕ
Allora,
2 = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2n + ...
Costruzione di somme parziali
Data la serie {ak}k ∈ ℕ di numeri reali, costruiamo le seguenti quantità:
- r0 = a0
- r1 = a0 + a1
- r2 = a0 + a1 + a2
- rn = a0 + a1 + ... + an = ∑k=0n ak
La somma parziale o n-esima di {ak} → {rn} è definita come l'oggetto ∑k=0∞ ak, chiamato serie numerica a termine generale ak.
Convergenza e divergenza
Se esiste un finito lim rn, allora la serie ∑k=0∞ ak si dice convergente.
Se esiste un infinito lim rn, la serie ∑k=0∞ ak si dice divergente.
Serie numeriche: un altro esempio
Consideriamo un segmento di lunghezza 2:
- a0 = 1
- a1 = 1/2
- a2 = 1/4
- an = 1/2n, n ∈ ℕ
Allora,
2 = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2n + ...
Costruzione di somme parziali
Data la serie {ak}k ∈ ℕ di numeri reali, costruiamo le seguenti quantità:
- s0 = a0
- s1 = a0 + a1
- s2 = a0 + a1 + a2
- sn = a0 + a1 + ... + an = ∑k=0n ak
La somma parziale o n-sima di an {ak} → {sn} è definita come ∑n=0∞ ak, chiamata serie numerica a termine generale ak.
Convergenza e divergenza
Se esiste un finito limn→∞, allora la serie ∑k=0∞ ak si dice convergente.
Se esiste un infinito limn→∞, la serie ∑k=0∞ ak si dice divergente. Se non tende, se lim an ≠ 0, allora la serie non diverge.
Quando la serie converge o diverge, la quantità lim am = 0 è chiamata somma della serie.
Serie geometrica
In un caso generale:
∑k=0∞ q-k = 1+q+q2+...+qk+... = 9, ne chiamiamo serie geometrica di ragione q.
Comportamento della serie geometrica
Studiamo il carattere o comportamento della serie geometrica:
- ∑k=0m q-k = 1+q+q2+...+qm
- an = 9 ≠ 0
- (1-q) am = 1-qm+1
- am = 1-qm+1 / 1-q, q ≠ 1
Lim am = lim 1-qm+1 / 1-q per n→∞, m→∞ m+⇒∞, q > 1
La somma si calcola come 1/(1-q) -1 quando q > 1.
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