Quaderno di teoria - Analisi 1, prof.ssa Fornaro

Serie Numeriche

Esempio: Consideriamo un segmento di lunghezza l = 2

a₀ = 1a₁ = 1/2a₂ = 1/4aₙ = 1/2ⁿ, m ∈ ℕ

→ 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + …

quantità maggiore di 1/2 n luogo a numero finale

⇒ Ha {aₖ}{ᵢₖ∈ℕ} una serie di numeri reali. Costruiamo le seguenti quantità:

• r₀ = ao
• r₁ = a₀ + a₁
• r₂ = a₀ + a₁ + a₂
• rₙ = a₀ + a₁ + … + aₘ = ∑ (da k=0 a n) aₖ

rₙ = somma parziale o n-esima

{aₖ} → {rₙ}

Def: L'oggetto ∑ (da k=0 a ∞) aₖ si chiama serie numerica a (termine generale aₖ)

• Se esiste finito lim (n→+∞) rₙ allora la serie ∑ (da k=0 a ∞) aₖ si dice convergente
• Se non esiste finito lim (n→+∞) rₙ la serie ∑ (da k=0 a ∞) aₖ si dice divergente

Quando la serie converge o diverge la quantità lim_n→+∞ a_n=0 m. relazione somma della serie

e ne scrive  ∞  ∑ a_k = lim_n→+∞ ∑^m a_k  k=0   k=0

Esempio n°2

2 = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^k + ...  ∞  2 = ∑ 1/2^k = +∞  k=0  ∞  = ∑ (1/2)^k  k=0

CASO GENERALE

  m^∞  ∑ q^-k = 1 + q + q² + ... + q^k + ...  k=0

SERIE GEOMETRICA

RAGIONE

Situazione conario/componemento serie geometrica.  m_∑ 9^k - 1 + q + q² + ... + q^m  k=0

  q ≠ 0  (9 a_m^m = q. 9^m+1  a_m 9 a_m - 1 + q² + ... + q^m -9 - q² ... 9^m - q^m+1  (1-q) a_m = 1- q^m+1

a_m = 1- q^m+1    1-q      q ≠ 1

lim a_m = lim 1-q^m+1 - 1 lim q^m+1 =  n→+∞   n→+∞        m→+∞  1-q         1-q

• q > 1 → +∞
• 1-q → <1, q ≠0

qlim q = 1

f(2) - g(2)

f(3) - g(3)

f(4) - g(4)

f(k) - g(k) = λ

Osservazione

Se \( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \) converge allora

\( r_n = s_{n+L} - s_n = \sum_{k=n}^{n+L} a_k \) (resto n. simu.)

tende a 0 per n → +∞

Esempio

Una palla viene lasciata cadere da un'altezza h. Dopo il primo rimbalzo raggiunge l'altezza qh dove q ∈ (0,1) e la palla rimbalza in un tempo finito.

y(t) = h - ¹/₂ gt² ⇒ eq. moto nella componente verticale

t = √^2h/_g ⇒ t₀ = √^2h/_g

Tempo in cui palla tocca terra prima volta

Criterio di Cauchy

Sia ₌₀ ^∞ una serie numerica con ₖ ≥ 0 ∀ .

Supponiamo che esista (finito o +∞) lim _→+∞ √ₖ = .

Se c < 1 allora la serie converge (converge assolutamente).

Esempio: lim _→∞ ₖ^1/ = .

− ₖ → 0 ⟹

Uniforme criterio →+∞ √ₖ = lim → _→∞ ^1/ .

Fanno un esempio con lim _→+∞ ₖ^1/ ⟹ _→+∞ ^1/ = .

Dimostrazione: ₌₁ ^+∞ ₌₁ ^+∞ lim _→+∞ 1/ = 0.

Esempio:

∑_k=4^∞

√k

_{k + 1}

√k ≠ 1

√k

lim

_{k → ∞}

√k = 1 ≡_k ∈ ℕ

√k ∈ ℕ

La serie

√k

√k

La serie

√k ≤ M

√k ≤ M &laug;

&for; k ∈ ℕ

∑_{k = 1}

√k

Oltre che converga

∑_{k = 1}⊃∞

individuale nel caso medio convenuto congiungo

Osservazione: In tutti i criteri di convergenza

come e è che le serie monotone non sono

definite veramente, sono una sequenza unicamente definita

non è una rarità

^∞

∑_k=4

Oltre che converga

a_k+1

&over;

a_k×

&frac{k+1}{k}

lim_{k → ∞}

⇓

^∞

E ≠ 1 raccomando [ricerca]

la serie convergenza

modifico nel caso limite altro nella

diverge

e ≠ 1 congiunto → aumenta

In gencolle e

esercizi a menù

(1)

∑_k=0^∞ (-1)^k (k+4)/3k+5 → a rag. m elem:

lim_k→+∞ k+4/3k+5 = 1/3 ≠ 0 → non possiamo usare l'elim. 2

lim_k→+∞ (-1)^k (k+4)/3k+5 = A (oscillanta, non soddisfa le condinone necessario)

(2)

∑_k=0^+∞ (-4)^k/(1+a²)^k αεℝ → neve gionna:

ragione d = -1/1+a²

converge ↔ |d|<1 = |-1/1+a²|<1 ↔ {-1/1+a²<1

-1/1+a²<0

∀aεℝ → 1° donc a

radiogatta da ogni a

1/1+a² <1 (↔) a²>0 → 2° doneq derdi filmurra ∀a≠0:

la neve e converge b a≠0

(3)

∑_k=0^+∞ k+4/k²+k

∀αεℝ

∴ enleric cons. osm:olico

k+1/k²-k ∼ 1/k α≠0

∴ la neve converge

per a=0 la neve e ∑_k=0^∞(k+1) e quindi diverge

(4)

∑_k=2^+∞ 1/(logk)^k

∴ unigon radice:

k^1/(log_vk)k = 1/log k → 0∈1→converge

Se 2|x| > 1 la serie non converge.In realtà la serie non è definita in quantonon soddisfa le C.N.

Se 2|x| ≤ 1 allora x = ±¹/₂ è possibile nella serie:

• x = ¹/₂∑ ^{2k ⋅ (-1)k}/_k+1 = ∑ ^(-1)k/_k+1 diverge
• x = - ¹/₂∑ ^2k/_k+1 = ∑ ¹/_k+1 converge per L

In conclusione la serie converge se x ∈ ]-¹/₂; ¹/₂[converge con ss ]-¹/₂; ¹/₂].

∑ ^2k/_k+1 x^ke un esempio diSERIE DI POTENZE

Definizione di chiama serie di potenze una seriedella forma ∑ a_k (x - x₀)^k dovex₀ e fisso, detta mente, e {a_k} sonoi coefficienti detta serie.

Osservazione E nulla cambia la radio del casodi una serie di potenze e centrata in omediante la sostituzione y = x - x₀.

∑_k=0 a_k (x - x₀)^k → ∑_k=0 a_k y^k

PROPOSIZIONE Supponiamo che la serie ∑_k=0 a_k x^k amiadetti i termini dominati, per qualsiasi x ≠ 0.Allora la serie ∑_k=0 a_k x^k converge assolutamenteper ogni ¹/_{|t c|} |x| < ¹/_|x|