Quaderno appunti Statistica

Concetti di Base

Unità Statistica: sono unità elementari omogenee che costituiscono l’oggetto da osservazione e da analisi.

(Individui, Oggetti, Unità Temporali, Aggregati Territoriali ecc.)

Caratteri (Variabili):

sono caratteristiche delle unità considerate che vengono rilevate e studiate in relazione ad un determinato fenomeno.

(Statura, Peso, Colore Occhi, Fatturato, Dipendenti, Utile ecc.)

Modalità:

valore o attributo specifico che può assumere un carattere su un’unità statistica. Le modalità devono essere:

• Esauritive -> devono rappresentare tutti i possibili modi in cui si manifesta il carattere
• Non sovrapposte -> ad ogni unità statistica si può associare una sola modalità

Dato Statistico:

carattere che assume una certa modalità su una unità statistica

Modalità

Classificazione delle variabili

In base al tipo di modalità che la variabile assume si dividono:

• Qualitative - le modalità si identificano in modo non numerico
  • Sconnesse (nominali) - non numeriche senza un ordine predeterminato
  • Ordinate - le modalità presentano un ordine logico
• Quantitative - la variabile presenta modalità numeriche
  • Discrete - saltuazioni da un conteggio
  • Continue - saltuazioni da una misurazione

Le frequenze

Frequenza assoluta (n_i)

Numero di volte in cui la i-esima modalità viene osservata nel collettivo

Frequenza relativa (f_i)

Frazione di volte in cui la i-esima modalità viene osservata nel collettivo

Frequenza percentuale (f_p,i)

Percentuale di volte in cui la i-esima modalità viene osservata nel collettivo

Posto N = numerosità del collettivo si ha:

f_i = ^n_i/_N, f_p,i = f_i · 100

Microdati e Dati Raggruppati

I dati relativi ad una o più variabili possono trovarsi nelle seguenti forme:

• microdati o distribuzione semplice: tutte le variabili
• distribuzioni di frequenza: variabili qualitative e quantitative discrete
• distribuzioni di frequenza per classi: variabili quantitative continue e discrete

Rappresentazioni Grafiche

Una variabile statistica, se espressa in forma "grezza" o in forma grafica (grande efficacia comunicativa). Il grafico agevola il confronto tra più distribuzioni e consente di mettere in evidenza i dati anomali.

Elementi di una Rappresentazione Grafica

• Titolo: Denuncia la/le variabili di studio, in riferimento al tempo a cui si riferisce, e la fonte dei dati.
• Etichette: Indicano i valori (modalità) delle variabili.
• Legenda: Un elenco con parole ad identificare i diversi oggetti presenti nel grafico.
• Note: Informazioni aggiuntive (fonte dei dati).

Ogni variabile ha una sua rappresentazione grafica.

Proprietà della media aritmetica

La media aritmetica (semplice o ponderata) gode della seguente proprietà:

Intervallo:

min(x)_i ≤ μ ≤ max(x)_i

Dimostrazione

Senza perdita di generalità si ipotizza che tutte le N osservazioni abbiano valori x_i (min(x)) dopo aver ordinato in modo crescente i valori osservati:

x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_N

μ = N × x₁ / N = x₁

Possiamo affermare che μ ≥ x₁.

Analogamente si ipotizza che le N osservazioni abbiano valore x_i (max(x)).

μ = N × x_N / N = x_N

Possiamo affermare che μ ≤ x_N.

Risulta quindi evidente x₁ ≤ μ ≤ x_N, ovvero min(x)_i ≤ μ ≤ max(x)_i

Somma delle x pari a N × μ

∑_i=1^N x_i = Nμ

Dimostrazione

Partendo dalla definizione di media aritmetica è ovvio che:

μ = 1/N ∑_i=1^N x_i, quindi Nμ = ∑_i=1^N x_i

Somma degli scarti della media uguali a zero

∑_i=1^N (x_i - μ) = 0

Dimostrazione

Utilizzando la proprietà per cui ∑_i=1^N x_i = Nμ ne consegue che...