quaderno probabilità e statistica

PROBABILITÁ

E

STATISTICA

Introduzione

Spazio Campionario (Ω): è l'insieme di tutti i possibili esiti (Ω).

Lo spazio campionario è pure spazio collettivo. In un numero finito di esiti.

Evento: è l'insieme dei possibili esiti E ⊂ Ω

Mutuamente esclusivi: due eventi E ed F in: { due successi esclusivi } se e solo se E ∩ F = Ø

→ Dato un progetto venire forse uno stabilirà uno solo caso.

Un progetto da natura ... uno < - ognuno - > che osserva.

1. Ω ∈ f ⟹ { se una cienza osserva di f lì. }

2. { cienza prima portavo valori che ergi nuovo esisto }

3. E ∈ f ⟹ E' ∈ f

4. E, F ∈ f ⟹ (E ∩ F) ∈ f ⊂ (E ∪ F) ∈ f

5. E_m , m=1^∞⊂ f ⟹ ∪ E_m ∈ f

Probabilità

• Definizione classica: P = casi favorevoli / casi possibili
• Definizione frequentista: P = numero successi / numero prove
• Definizione soggettiva: P quantifica il grado di fiducia (p) che un individuo ripone nel verificarsi di un evento.

• Le ipotesi sono rispettivamente:
• - numero finito di ωn possibili equiprobabili
• - esperimenti ripetibili
• - numero non noto è "soggetto"

FAMIGLIA DI EVENTI INDIPENDENTI

una collezione di eventi \( E_1, E_2, E_3, \ldots, E_m \) si dice formata da eventi indipendenti se gli eventi \( E_i \) sono a due a due, tre a tre, e così via fino a m.

AFFIDABILITÀ

A nella struttura di un sistema composto da n dispositivi, per ipotesi tutti i dispositivi sono indipendenti.

1. a cascata: la probabilita di funzionamento \( R \)

   \( R = R_1 \cdot R_2 \cdot \ldots \cdot R_n \)

2. in parallelo:

   \( R = 1 - \prod_{a=1}^{n} (1 - R_a) \)

VARIABILI ALEATORIE

dato un spazio di probabilità \((\Omega, F, P)\), si definisce variabile aleatoria \( X \) ogni funzione che ammette gli elementi di \(\Omega\) nei numeri reali \( X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \).

SUPPORTO DI V.A.: si definisce supporto di una variabile aleatoria l'insieme dei valori che essa può assumere.

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

Data una variabile aleatoria \( X \) è detta funzione di ripartizione (DF) la funzione \( F_X(x) = P(X \le x) \)

NOTA: \( F_x \) è definita su tutto \( \mathbb{R} \) (supporto di \( X \))

\( F_x: \mathbb{R} \rightarrow [0,1] \)

PROPRIETÀ:

a_k ∈ ℝ

V[^a] = 0

V[ ∑ x _i t_i] = t_i² V[ x ]

V è un operatore quadratico

RANGE INTERQUARTILE

è la differenza tra q₃ e q₁: IQR = q₃ - q₁

è l'ìntegra tra questi valori è contenuto il 50% della distribuzione

DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI

DISUGUAGLIANZA DI MARKOV

se x è una variabile aleatoria di ampiezza valori maggiori e uguali a 0 allora ∀ a > 0 ∈ ℝ

x ha (x ≥ a) = E[x]

DIMOSTRAZIONE:

E[x] = ∫₀^∞ x f_x(x)dx = ∫_{x ≥ a} x f_x(x)dx + ∫_{x ≥ a} x f_x(x)dx

>a ∫_{x ≥ a} f_x(x)dx = aP(x≥a)

(x ≥ a)

>(demostrazione)

DISUGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV

sia X una variabile aleatoria tale che E[x] P (X - E[x] ≥ ε) = ⟨ √V[x] < ε > ε < 0

DIMOSTRAZIONE:

P ( (X - E[x] > ε) ; E [ (x₂