quaderno probabilità e statistica

PROBABILITÁ

E

STATISTICA

PROBABILITÁ

E

STATISTICA

INTRODUZIONE

SPAZIO CAMPIONARIO (Ω): è l'insieme di tutti i possibili esiti.

Lo spazio campionario Ω può essere costituito da un numero finito o infinito di esiti.

EVENTO: è l'insieme dei possibili esiti di Ω.

MUTUAMENTE ESCLUSIVI: due eventi E ed F si dicono mutuamente esclusivi se E∩F = ∅.

• Ogni toss ro placing non si azzera, se invece uno doppio ce n'è uno solo a destra de alcuno.
• Ω ∈ F
• (l'insieme del sottospazio)
• F è chiuso in (E): ∃F : E ⊂ F (ogni sottoinsieme di E è un nuovo evento).
• E ∈ F ⟹ Eᶜ ∈ F
• Eᵢ ∈ F ⟹ (⋃ Eᵢ) ∈ F e (⋂ Eᵢ) ∈ F
• _lib_: ∃ Eᵢ, m=1^∞ ⊂ F ⟹ ⋃ m=1^∞ Eᵢ ∈ F

PROBABILITÀ:

• Definizione classica: P= con favorevoli dividi totale possibili.
• Definizione frequentista: P= numero succ. eventi poss.
• Definizione soggettiva: P_= quantità di grado di fiducia (Pᵢ) che un individuo ripone nel verificarsi di un evento.

• Le ipotesi sono rispettivamente:
• numero finito di possibilità equiprobabili.
• esperimento ripetibile.
• nessuna non nota è soggetto!

ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ (Kolmogorov)

• Dato uno spazio campionario Ω e una σ-algebra... esiste una
  • assioma 1: per ogni sotto E di ℱ
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• assioma 2: P(Ω) = 1
• assioma 3: presi una qualsiasi successione di eventi E₁, E₂..., tali che Eᵢ ∩ Eⱼ = ∅ ∀ i≠j si ha che
• P(∪Eᵢ) = Σ P(Eᵢ)

• Chiameremo probabilità la corrispondenza P: ℱ -> [0,1] che verifica gli assiomi 1, 2, 3 e lo spazio di probabilità:
• {Ω, ℱ, P}

• Da questa definizione discendono
  • proprietà 1: P(E') = 1 - P(E)
    • dimostrazione: supp. G con E ∩ E' = ∅ ed E ∪ E' = Ω
    • 1 = P(Ω) = P(E ∪ E') = P(E) + P(E')
  • proprietà 2: se F ⊆ E allora P(F) ≤ P(E)
    • dimostrazione: se F ⊆ E allora E = F ∪ (E \ F)
      • P(E) = P(F ∪ (E \ F)) = P(F) + P(E \ F)
      • P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
  • proprietà 3: P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
    • dimostrazione: E ∪ F = (E \ F) ∪ (E ∩ F) ∪ (F \ E)
      • tale P(E \ F) = P(E) - P(E ∩ F)
      • P(F \ E) = P(F) - P(E ∩ F)
    • quindi P(E ∪ F) = P(E) - P(E ∩ F) + P(E ∩ F) + P(F) - P(E ∩ F)
    • = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

SPAZI EQUIPROBABILI

per gli spazi discreti, con un numero finito di eventi tutti con la stessa probabilità di verificarsi è possibile avere il seguente schema:

Ω = {1, 2, ..., N} con P({i}) = P({1}) = P({2}) = ... = P({N}) = p e sapendo che 1 = P(Ω) = P({1}) + P({2}) + ... + P({N}) = p * N → p = \frac{1}{N} e se E ⊂ Ω otteniamo: E = ⊂ ^|E|/_|Ω| =

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

sono due eventi E, F c.d. probabilità condizionata E su sotto E e si indica con P(E | F) let. P(E | F) la prob. che si verifica E sapendo che si è verificato F: P(E | F) =

\frac{P(E ∩ F)}{P(F)}

REGOLA DELLA CATENA

calo r eventi E₁, ..., E_n la cui intersezione alla possibilità potrora volt di:

P(E₁∩...∩E_n) = P(E₁) | P(E₂ | E₁) | ... | P(E_n | E_n-1)

FORMULA DELLE PROBABILITÀ TOTALI

PARTIZIONE DI Ω:

si dice partizione di Ω un insieme di eventi fini e incompatibili di tale che s ⊂ P(E_i) ≤ 1 e P(E_i∩E_j)=〇 ∀i≠j ∪=_i=Ω

TEOREMA

sia {E_i} i un partizione di Ω su F E = evento di Ω allro P(F) =

∑_i ^{P(F ∩ E_i)}/_P(Ei)

Teorema di Bayes

Dato un albero F ed una partizione {E_i} di Ω ... ha de ... :

∀i: P(E_i|F) = (P(F|E_i) P(E_i))/P(F)

= (P(F|E_i) P(E_i))/(ΣP(