Appunti quaderno di Probabilità e statistica

I fenomeni si dividono in deterministici e aleatori (o stocastici).

Esempio: una scatola con 6 sfere numerate

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Spazio degli eventi (campionario)
• L'insieme degli eventi che si possono verificare (E ⊂ Ω) è un sottoinsieme di Ω
• P(Ω) è costituito da tutte le coppie, terne, quaterne, cinquine, {1}; {1, 2}; {3}; {3, 4};
• Insieme delle parti di Ω
• Il più banale insieme è quello vuoto { }
• #P(Ω) = 2ⁿ nel nostro caso: 2⁶ = 64
• n numero di parti
• {n} = Evento certo { } = Evento vuoto

Esempi:

• A = Numeri dispari → {1, 3, 5}
• B = Numeri ≤ 4 → {1, 2, 3}
• A ∪ B = {4; 2; 3; 1; 5}
• A ∩ B = {3}
• Elementi comuni
• A^C = Ω - A = {2; 4; 6}
• Complementare
• Può succedere che E ⊂ Ω (cioè E ∈ P(Ω)) non sia un evento
• a ∪ P(Ω)
• Classe degli eventi
• a = {A, B, C, D, F ... }
• Tutti eventi ma 'E' non è un evento

δ-Algebra degli eventi:

1. ∅, Ω ∈ &mathcal;A
2. ∀ A ∈ &mathcal;A → A^C ∈ &mathcal;A
3. ∀ A₁, A₂, A₃, ..., A_m ∈ &mathcal;A → ⋃_k=1^∞ A_k ∈ Ω ∈ &mathcal;A

Possiamo fare unioni ed intersezioni infinite nella δ-algebra

, ,

() = 1

(⋃_n=1^∞ n) = ∑_n=1^∞(n)

= (₁) + (₂) + (₃) + (₄) + (₅) + (₆)

(₁) = 1/6

() = /

ES 1.5

Problema del cavaliere de Méré

A₁ = { esce almeno asso nel lancio simultaneo di 4 dadi }

A₂ = { esce almeno un doppio asso in 24 lanci di coppie di dadi }

A₁^c = { non esce mettendo un asso }

P(A₁) = 1 - ( ⁵⁄₆ )⁴ = 0,5177

P(

• asso (1)
• non esce un doppio lanciando una coppia di dadi 1 volta ) = 1 - ¹⁄₃₆ = ³⁵⁄₃₆

L_c = { (4,1), (1,2),... } # L=36

P( esce una

P(A₂) = 1 - ( ³⁵⁄₃₆ )²⁴ = 0,4912

ES: DUE GIOCATORI SPARANO AL BATTELLO, IL PRIMO COLPISCE CON PROB. 8%

SECONDO CON PROB. 10%. IL PRIMO GIOCATORE SPARA 9 COLPI. NELLO STESSO

TEMPO IN CUI IL 2° SPARA 20 COLPI.

P(B₁G₂) = 0,8

P(B|G₂) = 0,7

BAIES

P(G₂|B)

• =

=

= 0,493

P(G₁|B) = 1 - 0,493 = 0,537

ES: 1.6

DOMINO

FACENDO 2 ESTRAZIONI CASUALI SENZA RIMPIAZZO

• P( { Numero Pari } alla prima estrazione )
• P( { Numero Pari } alla seconda estrazione )
• P( { Numero Pari } alla due estrazioni consecutive )

b-1

b

b-2

b-1

b

=

b

b+1

=

b

b+1

STESSA PROBABILITÀ DI QUANDO C’È IL RIMPIAZZO!

VERIFICA: m=2 (ESTRAZIONI SENZA RIMPIAZZO)

# rosse = k = 1

P(_k=1) = _bC₁

= ₁

= _bC₁

= ₂

^{2 b b₂}

= ^{2 b₂}

_(b+2)(b+2-1)

(b+2)

P(b)

= - SENZA CALCOLO COMBINATORIO:

= {# ROSSA = 1} =

= P R₂A

P R

P(B₂|R₂)P(R₁) + P(R₂|B₁)P(B₁)

= b

b+2-1

- (b+2)(b+2-1)

= 2b b₂

(b+2-1)

= 2.2!

= 2!

= ^{2 b}

b+2

= b+2

QUINDI

P(R₂) = P(C₂) = P(C₃) = … P(C_m)

MA QUESTI EVENTI SONO INDIPENDENTI?

P(R₁|A₂) = (R₂|E₂)P(C₂) = ^2-1/_2-1

P(C₂)

P(R₂)

P(R₂)

≠ P(R₁)P(R₂) = (^r/_b+2)²

QUINDI NON SONO INDIPENDENTI

ES:

Qual è la probabilità di fare terno al lotto con i numeri 3, 13, 87 su una singola ruota (5 estrazioni)

X = # rossi estratti in 5 estrazioni senza reimmissione

P(X=3) = C₃³ C₈₇² / C₉₀⁵ = 87! / 21! 84! = 60 / 88.89.90 = 0,000085

• Probabilità di fare ambo con 3, 13 in 5 estrazioni,

P(X=2) = C₂² C₈₉³ / C₉₀⁵ = 89! / 3! 86! = 0,0025

• Probabilità di indovinare un numero in 5 estrazioni,

P(X=1) = C₁¹ C₈₉⁴ / C₉₀⁵ = 89! / 4! 85! = 0,055 = 1 / 18

ES: 1.28

Un'urna contiene 90 palline da 1 a 90, qual è la prob. che le prime 10 palline sono minori o uguali di 60

P(X=10) = C₆₀³⁰ C₃₀⁰ / C₉₀¹⁰ = 0,043

• Quale è la prob. che le prime 10 palline sono dispari?

P(X=10) = C₄₅¹⁰ C₄₅⁰ / C₉₀¹⁰ = 45! / 35! 10! = 45! 80! / 90! 35! = 5,57 x 10^-4

ES: 1.29

Un’azienda ha 1000 dipendenti; 400 uomini e 600 donne, vengono esaminate 100 schede casuali

• Prob. che num. schede degli uomini sia X:

X = # schede uomini in 100 estr

P(X=k) = ( C₄₀₀^k C₆₀₀^100-k ) / C₁₀₀₀¹⁰⁰

ES1:

Si lancia un dado finché non esce 3, quanti lanci occorrono per fare uscire 3 per la prima volta

P(T=k) = ¹/₆(⁵/₆)^k-1

P(T=3) = ¹/₆(⁵/₆)²

X Poisson(λ)

con λ>0

x∈{0,1,2...}

P(x=k) = e^{-λ λk}/_k!

• ∑ e^λ = e^-λ ∑ ^λk/_k! = e^-λ e^λ = 1
• Serie Taylor e^λ

Teorema di Poisson:

Supn X B (m, ^λ/_m)

λ>0, se m⟶+∞ allora ⁿ⟶0

Schema succ-inscc. con infinte prove

P(x=k) = (^m/_k) (^λ/_m)^k (1-^λ/_m)^m-k

= ^m!/_k!(m-k)! λ^k/_k! (1-^λ/_m)^m-k l^-k

(^m-v+1/_m)(^m-v+2/_m)....(1-^λ/_m) e^-λ(1-^λ/_m)^-k = l^-k e^-λ

= P(Z=k) dove Z Poisson (λ) con λ = m.ⁿ

ES1:

La probabilità di centrare un bersaglio è 1×10^-3

n=5000 colpi

X=# centri realizzati

X B(m, ⁿ) = B(5000, 10^-3)

P(X≥2) = 1-P(X=0)-P(X=1)

P(x=k) = (⁵⁰⁰⁰/_i)(1×10^-3)^k(1-10^-3)^5000-k