Prove Autovalutazioni Fisica

Campo elettrico e potenziale di una sfera uniformemente carica

Il flusso uscente da una superficie sferica di raggio r è dato da: Φ = ∮ E · dS = 4πr²E Il campo elettrico esterno vale sempre: E = Q / (4πε₀r²) dove Q è la carica totale della sfera e ε₀ è la costante dielettrica nel vuoto. Il potenziale esterno è dato da: V = ∫ E · dr = Q / (4πε₀r) Il campo elettrico interno è dato da: E = Qr / (4πε₀R³) dove R è il raggio della sfera. Il potenziale interno è dato da: V = ∫ E · dr = Qr² / (6ε₀R³) In definitiva, il campo elettrico e il potenziale di una sfera uniformemente carica sono dati dalle seguenti equazioni.³(^R + ^R) = ^R + ^R + ^R (1)
(^58.4810 V/m)E_EE_R = ^R(^ε_A - ^ε_A)
(²³43²)Ro^o - ^ρ_o = ^R (1)
(^61.1310 V/m)E_EE_R = ^R(^ε_B - ^ε_C)
3Do7. La regione di spazio dove è possibile trovare i punti di equilibrio si riduce per ragioni di simmetria al solo semiasse positivo delle x. Lungo tale semiasse la componente E del campo elettrico generato dalla distribuzione sferica vale ^ox (1)E_x 0 < x < R ^ε |E|_ox, int ^o23 |E|_o1 o, mentre la componente E prodotta dal filo vale ^ox3R (1)E_x R^ε ox, ext 2 3 xo^λ- x < R ^ε |E|_ox 2 d x. E' evidente che la somma algebrica dei campi può annullarsi solo per punti appartenenti al segmento 0 < x < d dove i campi sono discordi ma i valori assoluti.

possono equivalersi (vedi grafico) (1) (2E + E₀)R

Ricerca del punto di equilibrio P: per 0<x<R, da cui 1 - (x/R)³ = 0, ossia che porta alla equazione di 2° grado x² - (2πρ_e/πρ_ρ)x + R² = 0 con unica soluzione accettabile 0.5 cm

Ricerca del punto di equilibrio P: per R<x<d, da cui (R/x)³ - 1 = 0, ossia che porta alla equazione di 2° grado x² - (2πρ_e/πρ_ρ)x + R² = 0 con unica soluzione accettabile 3.8 cm

Come primo passo conviene determinare, applicando la legge di Gauss, il E (campo elettrico generato da un cilindro infinitamente lungo uniformemente carico) E = ∫(πρ_e)dA

¹) La condizione di annullamento del campo elettrico nel punto P implica E₁ = E₂, ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da 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E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da 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E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E(f) ossia da cui 3.7(d-f) = E

1. affinché possa raggiungere il centro q, m Rdella sfera (punto B).
2. Una carica puntiforme positiva deve essere lanciata contro una sfera di ρ=200μC/m³ raggio R=8cm, carica con densità volumetrica uniforme . Il lancio ρviene inizialmente pensato in modo che la carica parta dal punto A (distante 2R A B Cdal centro), penetri la sfera fino a raggiungere il centro C con velocità nulla. Inun secondo momento si decide di porre uno schermo piano uniformemente 2R Rσcarico con densità per evitare che la carica puntiforme penetri nella sfera. A σσparità di condizioni iniziali, quale dovrà essere il valore di minimo affinchéessa possa al più toccare la superficie della sfera (punto B) ma non penetrarla?
3. Una sfera cava di raggio esterno R =1m e raggio interno R =0.6 m è uniformemente carica2 1ρ=12μC/m ≤r≤R3con densità volumetrica nella regione interna individuata dalla condizione R .1

2dall’infinitoDeterminare il lavoro necessario per trasportare una carica q=2C nel centro della sferacava.4. Date tre cariche ai vertici di un triangolo equilatero di lato l, calcolare il campo elettrico ed ilpotenziale al centro del triangolo. Dare il valore numerico per l=3cm, q = q = -q = 5 C.1 2 3 -Q/25. Tre gusci conduttori sferici di raggio rispettivamente R , R , R , e di1 2 3 -Q/2carica corrispondente +Q, -Q/2, -Q/2 sono disposti in modo da avere +Qcentro comune O. Una carica puntiforme +q di massa m viene lanciata Ow olungo una traiettoria radiale dall’esterno contro i gusci. Determinare le Rvelocità con cui la carica attraversa ciascun guscio, supponendo di 1 R 3R 2poterlo penetrare senza attriti. [Dati: R =1cm, R =4cm, R =5cm, Q=1C,1 2 3q= 10nC, m=1g, w =4m/s]o  6. Due fili indefiniti uniformemente carichi con densità uniforme ,1 2 sono disposti sugli assi x ed y rispettivamente in direzioni quindi2 +ortogonali intersecantisi

nell'origine O. Una carica positiva q ferma + A(a,a)nel punto A(a,a) viene portata nel punto B(b,b) in quiete per effetto di ++ 2.B(b,b)azioni esterne. Determinare il lavoro L svolto dalle azioni esterne,AB + C(a,b)contrarie a quelle elettrostatiche, per spostare la carica dal punto A al + 3.punto B. Ripetere l'esercizio per analogo spostamento da A al punto 4.  + + + + + + + + +C(a,b). [Dati: q=1C, =100C/m, =300C/m, a=2cm, b=1cm]. +1 2  1+ FI S I CAA.A. 2019-2020Ingegneria GestionaleSoluzioni 12° prova1. Applicando la legge di Gauss, il flusso del campo elettrico uscente da una superficie sferica        ˆassume l'espressione 2centrata in B e di raggio generico r E E n dS 4 r E Qo o ext o int o      3 E r 3r Rr R 4 r 3 o o  dove Q = da cui si ottiene il campo elettricoint     3 23  E R 3 rr Rr R 4 R 3 o o  

^∩R^{∨ ∩ ∩}−2 2^∯= ^{∫ ∫ ∫}∓2 2^∯V r E dr V R 3 R r<υ υ o o or R 6^∬ ove si è assunto∞ ρ> 3r R ^∫= ^∫V r E drυo o^φ 3 rornullo il potenziale all’infinito. La differenza di potenziale fra i punti B ed A assume quindi il valoreρ 2^{∨ ∨}RΔ = − = > valore che conferma la necessità di lanciare q alla velocità wV V 0 V 2 R 0 AεBA o o 3 oDalla conservazione dell’energia meccanica nei punti A,B quindi ρA+ = + wqV T qV T . In questo caso la velocità iniziale minima w AAA A B B Bcorrisponde al caso ideale di una velocità finale nulla w =0, e quindi T =0. 2RB B q, m Rρ = Δ = 22 q R 3mw 2 q V mDa questa condizione =15.9 m/s.oA BA ρ2. La prima parte del problema si imposta, come nel problema precedente, A wimponendo la conservazione dell’energia durante CAil tragitto da A verso C 2R R+ =sfera sferaT qV qVAA C'è l'energia cinetica della particella nel punto A, mentre sfera dove T è il potenziale elettrostatico VA generato dalla distribuzione sferica. Nella seconda parte del problema compare una seconda piano distribuzione di carica (strato piano) che genera un potenziale elettrostatico da aggiungere al V precedente. Imponendo la conservazione dell'energia durante il tragitto da A verso B: sfera piano sfera piano T qV qV qV qVA A A B B A B Csfera R Combinando le espressioni ed eliminando i termini comuni T si ottiene: VA, σA σ ρx RA ∫ ∫ = - = piano piano sfera sfera dx rdrV V V V ossia: xε ε BB A C B 2 3 xo ox 0 ABσ ρ 2R σ ρ = = 2R R 3 da cui e quindi = 5.3μC/mε ε2 3 2o o 3. Appli