Prove Autovalutazioni Fisica

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C A

A.A. 2019-2020

Ingegneria Gestionale

1° prova del 2 Marzo 2020

Lo studente descriva il procedimento e la soluzione degli esercizi proposti. Gli elaborati verranno ritirati

e saranno valutati ai fini del superamento dell’esame finale.

Giovedì 5 Marzo

1. Un aereo atterra ad una velocità orizzontale di 300 km/h e, per fermarsi, è costretto a decelerare

2

bruscamente con accelerazione uniforme di valore assoluto a =10 m/s . (a) Dall'istante in cui esso

o

tocca il suolo, qual è l'intervallo di tempo necessario per fermarsi? (b) Qual’è lo spazio di frenata?

Quanto spezio ha percorso dopo aver ridotto a 100 km/h la sua velocità?

2. Ad un passaggio a livello non custodito il conducente di un tir, inizialmente fermo in attesa del

passaggio del treno, decide di passare prima del treno

prendendosi un grave rischio. Il conducente dopo aver visto il

treno a 500 m dal punto di intersezione tra la linea ferrata e la

strada, dopo 4 s lo vede a 350 m, e a quel punto, assumendo

costante la velocità del treno, decide di partire di moto

2

uniformemente accelerato con a=1m/s per almeno 15 s.

Sapendo che il tir è lungo L=20 m e che la testa del tir si trova a d=10m prima dell’intersezione,

determinare se il tir viene incidentato o se invece riesce a passare nella sua interezza indicando in

questo caso a che distanza passa il treno dalla coda del tir.

3. Un'auto ed un treno si muovono lungo percorsi paralleli alla medesima velocità v =120 km/h.

o

Alla comparsa del segnale rosso di un semaforo, la macchina frena venendo così sottoposta ad una

2

decelerazione uniforme di valore assoluto a =2.5 m/s fino all'arresto. L'auto rimane ferma per 45

o 2

secondi, quindi accelera uniformemente con a =2.5 m/s fino a riacquistare la velocità v =120 km/h.

o o

Assumendo che il treno abbia sempre mantenuto la velocità v =120 km/h si determini a che distanza

o

l’auto raggiunge nuovamente la velocità

rimarranno definitivamente auto e treno dopo che di

crociera v ?

o

4. Dal soffione di un box doccia posizionato ad una altezza H=2.00 m dal suolo cadono delle gocce

d’acqua a intervalli regolari. Assumendo che tutte le gocce seguano lo stesso tragitto in verticale dal

soffione al suolo, e sapendo che la quinta goccia si sta stacca dal soffione esattamente quando la

prima goccia tocca il suolo, determinare a quell’istante (1) la quota rispetto al suolo della seconda

goccia e (2) la distanza fra la terza e la quarta goccia.

5. In un bar, un avventore lancia lungo il banco un boccale vuoto di birra perché venga riempito

nuovamente. Il barista, momentaneamente distratto, non vede il boccale che cade al suolo ad una

di 1.4 m dalla base del banco. Se l’altezza

distanza del banco è di 0.8 m, calcolare (a) la velocità del

boccale al momento del distacco dal banco, (b) la direzione della velocità (rispetto all’orizzontale)

del boccale nell’istante precedente all’impatto con il suolo. y

6. Due oggetti A e B sono collegati ad un'asta rigida che ha una B

lunghezza L. Gli oggetti sono vincolati a muoversi lungo la guida

perpendicolare come mostrato in figura. Se A viene spostato verso L

, qual’è la corrispondente

sinistra con una velocità costante v velocità di

A



B quando =50°?  A

x

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C A

A.A. 2019-2020

Ingegneria Gestionale

Soluzioni 1°prova

1. Il moto è rettilineo uniformemente ritardato con accelerazione costante negativa a(t)=-a di

o

. Il velivolo tocca il suolo all’istante iniziale

2

valore assoluto a =10m/s t=0, in un punto che

o con l’origine del sistema di riferimento

facciamo coincidere x(t=0)=x =0 con una velocità

o

 

  

iniziale positiva . Le equazioni della cinematica si ottengono integrando

v t 0 v 300 km h

o

l’espressione dell’accelerazione come segue

a

o Aereo fermo

v

1

v

o x

s x=L

x=0 Pista di atterraggio 1

    

  2

 a 10 m s

a t a o

o 

   

   

 v 83

. 3 m s

v t v a t con i seguenti valori iniziali o

o o 

 

  a x 0

     

2

o

 x t x v t t o

 o o 2

si trova annullando l’equazione della velocità

Il tempo di arresto t* v(t*)=v - a t*=0 da cui si

o o

 Dall’equazione dello spazio si ricava lo spazio di

ricava =8.3 s. frenata come

t * v a

o o

 

       L’aereo riduce la sua velocità a

2 2 2 2 347 m.

L x t * v t * a t * 2 v a v 2 a v 2 a

o o o o o o o o

 

  

t v v a

v =100 km/h al tempo 5.56 s, avendo percorso lo spazio

1 1 o 1 o

 

  

2 2 2

  v v v v v v

    

o 1 o 1 o 1 309 m

s x t v

1 1 o a 2 a 2 a

o o o

2. La valutazione della velocità (costante) del treno si ottiene misurando lo spazio percorso diviso il

 

s 500 350 m m

  

tempo impiegato a percorrelo: v 37

.

5



t 4 s s

Viene azionato il cronometro quando il treno si trova alla distanza b=350m dalla intersezione. il

treno muovendosi alla velocità di v=37.5 m/s per raggiungere l’intersezione impiega un tempo

b 350 m

  

t * 9

.

33

s

v 37

.

5 m s

Circa il cinematismo del tir si decide di individuare come punto rappresentativo quello del paraurti

posteriore. Se il paraurti posteriore, che dista inizialmente d+L=30m dall’intersezione, riesce a

oltrepassare la linea ferrata entro il tempo t*=9.33 s, allora il tir non verrà danneggiato dal treno.

Quando sopraggiunge il treno (t*=9.33s) lo spazio percorso dal paraurti posteriore è

 

   

1 1 m

   

2 2

  che è fortunatamente superiore alla distanza richiesta

s a t * 1 9

.

33

s 43

.

56

m

 

2

2 2 s

d+L=30m, con un margine di 13.56 m che rappresenta la distanza minima cui transita il treno dalla

coda del tir.

Il moto del treno è rettilineo uniforme mentre quello dell’autovettura è rettilineo vario. Se si

3. gli istanti di tempo in cui l’auto rispettivamente comincia a

indicano con t , t , t , t

o 1 2 3

decelerare (t ), si ferma (t ), comincia ad accelerare (t ), riprende il moto rettilineo uniforme

o 1 2

(t ), si possono tracciare i grafici di accelerazione e velocità e scrivere le relazioni

3

cinematiche a

DATI

 

 Treno

 

 



t t , v t v

t v (

t ) v

o auto o

treno o

     



     v 33

.

3 m s

t t t , v t v a t t

  t

o

o 1 auto o o o v

 

  a 2

.

5 m s



  

 o

t t t , v t 0 v



1 2 auto     o

      T t t 45

s

    2 1

t t t , v t a t t

 2 3 auto 0 2 t t

t

  o 3

  



t t , v t v

3 auto o a Auto

a o

Gli intervalli di tempo si ricavano come segue:

l’intervallo di frenata : dall’annullamento della velocità

t -t

1 o t

-a

  o

dell’auto in t si ha v(t )=v -a (t -t )=0 da cui t t v a

1 1 o o* 1 o 1 o o o v

l’intervallo in cui accelera t -t : dal raggiungimento della o

3 2

velocità di regime in t si ha v(t )=v =a (t -t )=0 da cui

3 3 o o* 3 2 t t

t

t t

o 2

  1 3

. Lo spazio percorso nell’intervallo da t a t ,

t t v a o 3

3 2 o o

si ottiene dal grafico delle velocità misurando l’area tratteggiata. 2

v

   

1 1

      

L’auto percorre uno spazio pari ai due triangoli 0

s t t v t t v 444 m

auto 1 o o 3 2 o

2 2 a o

Nel frattempo il treno ha percorso lo spazio pari al rettangolo tratteggiato

 

  v v

 

       

o 0 . La differenza degli spazi percorsi è quindi

s t t v T v 2389

m

 

treno 3 0 o 0

 

a a

0 0

 

 

x (

t ) x t 1944

m

treno 3 auto 3 1

 

Il moto della prima goccia è descritto dall’equazione 2

4. y H gt

1 2

2 H

 

da cui il tempo di volo della goccia 0.64 s

t * g t * H

   

L’intervallo con cui scendono le gocce è 0.16 s

t 4 8 g

t

La seconda goccia parte ritardata di ed il suo moto è descritto da

   

1

    2

y t H g t t

2 2

al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2

 

   

1 1 3 2 H 7

 

        

2 87.5 cm

h y t * H g t * t H g H

 

2 2 2 2 4 g 16

     

1

    2

La terza goccia parte ritardata di 2t ed il suo moto è descritto da y t H g t 2 t

3 2

al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2

 

   

1 1 1 2 H 3

 

        

2 150 cm

h y t * H g t * 2 t H g H

 

3 3 2 2 2 g 4

     

1

    2

La quarta goccia parte ritardata di 3t ed il suo moto è descritto da y t H g t 3 t

4 2

al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2

 

   

1 1 1 2 H 15

 

        

2

h y t * H g t * 3 t H g H 187.5 cm

 

4 4 2 2 4 g 16

  3

  

La distanza fra la quarta e la terza goccia è 37.5 cm

h h H

4 3 16

5. Il moto del boccale è di tipo parabolico. Fissando gli assi x ed y come in figura i due moti

componenti sono rispettivamente rettilineo uniforme (x) ed uniformemente accelerato (y)

  Il tempo di volo t* si ottiene dalla

 



   

x t v t 2 y

y t h gt 2

o y(t) imponendo y(t*)=0 da cui

   

 v

 

 

v v o



v t gt

ed t * 2 h g , mentre la distanza d

x o y

 

  

 a 0 a g

 si ottiene dalla x(t) imponendo

y

x     dalla quale si

x t * d v t *

o h

   v

v d t * d g 2 h 3

. 46 m s

ricava la velocità . Per determinare f

o 

la velocità finale dobbiamo calcolare le sue componenti al tempo t*

   x

 v v d g 2 h d

x o



che sono (si noti come v <0 vista

  y

   



v t * gt * 2 hg

y    

v 2 h

 

     

y , fin  

l’orientazione dell’asse. L’angolo di caduta è arctan arctan 0

.

85

rad 48 49

'

   

v d

 

x

Il moto dei due oggetti A e B è vincolato dall’asta rigida che li collega.

6. In particolare i due moti

rettilinei avvengono sugli assi x ed y con equazioni orarie y B



   

  

  v t x t v

 

x t x v t x o

o o   L



da cui le velocità  2

        1 dx t

   

2 2 v t y t

y t L x t  

y  dt

2 2 

2 L x t A



       

 

   

2 x t x t x t v t x

      x

v t v t

svolgendo la derivata si ottiene     



  

y x



2 y t tg t

2 2

L x t  

 

v 0 0

.

84

v

che nel nostro caso, essendo v =-v , t=0, =50° , dà luogo a .

x o y o

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A.A. 2019-2020

Ingegneria Gestionale

2° prova del 13 Marzo 2020 y A

1. La macchina A si muove con velocità costante v =100Km/h su di una

A

traiettoria circolare di raggio R=15Km. La macchina B, vincolata a percorrere la R

stessa traiettoria nella stessa direzione, parte da ferma con l’intento di raggiungere B

Nella prima fase B procede mantenendo l’accelerazione

la macchina A. O’

O x

2

tangenziale costante a =1m/s per 1Km raggiungendo così una velocità di crociera

t

accettabile. Nella seconda fase B procede a velocità costante. Dopo quanto tempo

B raggiunge A. Determinare anche i valori delle due accelerazioni normali.

2. Un elicottero, volando a bassa quota (h=200m) alla velocità v =200

1 v 1

km/h, lascia cadere sulla propria verticale una bomba in modo da 

colpire un carro armato che viaggia alla velocità v =50 km/h. A quale

2 h

 v

alla verticale il pilota deve vedere l’obiettivo al

angolo rispetto 2

momento di sganciare la bomba? Con quale velocità ed inclinazione la

bomba arriva sul carro nel sistema di riferimento solidale al carro?

3. Un astronauta su un pianeta sconosciuto scopre che può saltare coprendo una distanza orizzontale

massima di 30 m se la sua velocità iniziale è di 9m/s. Determinare il valore dell’accelerazione di

gravità su tale pianeta.

4. Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale v =200m/s e con un alzo di 10° rispetto

o

all’orizzontale dalla sommità di un colle che domina una vallata pianeggiante. Si assuma h=200m

l’altezza del colle rispetto alla vallata. Determinare la gittata del lancio (calcolata dalla base della

collina). Determinare il raggio di curvatura della traiettoria dopo t=1s.

5. Un ascensore scende verso il piano terra con accelerazione diretta verso il basso di valore

. Un osservatore posto all’interno dell’ascensore lancia una pallina di piombo alla velocità

2

a=2m/s

iniziale di v =4m/s. Ammettendo di poter considerare la pallina come un punto materiale,

o

descrivere il suo moto nel sistema mobile solidale all’ascensore e nel sistema fisso. Calcolare il

tempo impiegato dalla pallina per ritornare in mano all’osservatore. Ripetere l’esercizio facendo

l’ascensore con la medesima accelerazione ma diretta verso l’alto.

salire 2

6. Un treno si muove di moto rettilineo con accelerazione uniforme a=0.25 m/s (rispetto alla terra).

Un corpo, sul pavimento del treno, viene lanciato con velocità iniziale verticale v =5m/s (rispetto al

o

treno). Calcolare a quale distanza dal punto di lancio ricadrà il corpo sul pavimento. =0.08

7. Una giostra partendo da ferma, comincia a girare con accelerazione angolare costante

2

rad/s . Si chiede: a) in quanto tempo la giostra raggiunga la velocità di rotazione di 1/10 di giro al

secondo. b) in quell’istante, il valore dell’accelerazione posseduta da un osservatore fermo sulla

giostra ad una distanza di 3 metri dall’asse di rotazione. c) in quell’istante il valore dell’

dell’osservatore qualora non fosse fermo ma si spostasse radialmente verso l’asse di

accelerazione

rotazione con velocità relativa v =1m/s. y

r B

d

8. Dovendo attraversare un fiume largo L=50m e puntando

ortogonalmente alla riva opposta, si ha che la velocità dell’acqua è L corrent

    

  -3 -1 -1

v y ky L y

data da con k=5 10 m s . Partendo da A e e

x v oy

volendo raggiungere B spostato a valle di d=20m, si determini con A x

quale velocità costante v occorre muoversi per raggiungere B ed il

oy

tempo impiegato. F

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A

A.A. 2019-2020

Ingegneria Gestionale

Soluzioni 2°prova

1. La macchina A si muove di moto circolare uniforme alla velocità angolare costante

 

   

  

 (rispetto all’asse

-3

1.85 10 rad/s, da cui si ottiene per la legge oraria t

v t

R 2

A

A A A

   -5 2

x). La macchina B si muove inizialmente con accelerazione angolare 6.67·10 rad/s ,

a R

t

   

   

  2

t t

velocità angolare e legge oraria . Il termine della prima fase della rincorsa

t t 2

B B

avviene quando la macchina B ha percorso la distanza di 1Km che corrisponde all’angolo

 

   

  

2

-2

6.67·10 rad. Imponendo si calcola il tempo al quale termina la prima fase

t t 2

1 B 1 1  

   

     

  -3

t t 2

t 2 44.72 s, la velocità angolare raggiunta 2.98 10 rad/s,

1 B 1 1 1

1 1

la quale risulta maggiore della velocità angolare della macchina A. Nella seconda fase, che ha inizio



al tempo t , la macchina B procede alla velocità angolare acquisita di moto circolare uniforme

1 1

   

  

  

t t t

con legge oraria . Per determinare il tempo t al quale B raggiunge A basta

fin

B 1 1 1

        

 

    

imporre e cioè da cui si ricava

t t t 2

t t 1 fin 1 1 1 A fin

B fin A fin

     

    

t 2 2 2 0

.

0667 1

.

571

    1452 s. A quell’istante le

1 1 1 1 1

t  

  3

  

fin   

2 2

.

98 1

.

85 10

1 A 1 A  

 