Proprietà dei fluidi: teoria

Proprietà dei fluidi

• Sistema continuo: sistema a cui sono associabili proprietà caratteristiche e variabili con continuità da punto a punto
• Proprietà estensive: dipendono dalla dimensione del sistema es. massa, volume, quantità di moto
• Proprietà intensive: non dipendono dalle dimensioni del sistema es. temperatura, pressione e densità

Densità

• Massa dell'unità di volume

ρ = m/V[ρ] = [Kg/m³]

ρ(x,t) = lim (ΔV→ε) ΔM/ΔV

ρ = ρ(p, T)Per l'H₂O a Tambn 20°C → ρ = 998 Kg/m³

L'inverso della densità si chiama Volume Specifico

• Volume dell'unità di massa

Densità relativa

• ρ di una sostanza espressa in rapporto alla ρ di un'altra sostanza

R_R= ρ/ρ_a

ρ_a: sostanza standard ad una T specificata di solito H₂O a T 4°C con ρ_H2O=1000Kg/m³

es.: R_RH2O=1g/cm³

R_R(ghiaccio-T=0°C)=0,916g/cm³

R_R(benzina)=0,68g/cm³

R_Rolio=1,93g/cm³

Se R_R<1, galleggiamo sopra l'H₂O

B) PROPRIETÀ DEI FLUIDI

• SISTEMA CONTINUO: sistema a cui sono associabili proprietà caratteristiche variabili con continuità da punto a punto.
• PROPRIETÀ ESTENSIVE: dipendono dalla dimensione del sistema es. massa, volume, quantità di moto.
• PROPRIETÀ INTENSIVE: non dipendono dalle massa del sistema es. temperatura, pressione e densità.

DENSITÀ

• Massa dell'unità di volume

  ρ = ^m/_V [ρ] = [Kg/m³]

  ρ(x, t) = lim_ΔV→ε ΔM/ΔV

  ρ = ρ(p, T)

• Per l'H₂O a T_amb 20°C -> ρ = 998 Kg/m³
• L'inverso della densità si chiama VOLUME SPECIFICO
  • Volume dell'unità di massa

DENSITÀ RELATIVA

• ρ di una sostanza espressa in rapporto alla ρ di un'altra sostanza

  ρ_R = ^ρ/_ρa

  ρ_a: sostanza standard ad una T specificata di solito H₂O a T 4°C con ρ_H2O = 1000 Kg/m³

  essendo ρ_H2O = 100 Kg/m³ la ρ_R è uguale al valore delle densità espresso in g/cm³ o Kg/L

  (1 m³ = 1000 L)

es

• ρ_R,_H2O = 1 g/cm³
• Ghiaccio (T=0°C) = 0,916 g/cm³
• Benzina = 0,68 g/cm³
• Oro = 19,3 g/cm³

{ ρ_R < 1 -> galleggiamo sopra H₂O }

Peso Specifico

• peso dell’unità di volume di una sostanza

= _p/^v = _w/^w → = . g     [] = [N/m³]

_H2O (T_amb = 20°C) = 9806 N/m³

• densità e peso specifico sono funzioni della pressione e della T

Densità dei Gas Perfetti

• Equazione di stato: l’espressione che mette in relazione tra di loro la p, la T e la di una sostanza

pW = RT

T(K) = T(°C) + 273,15

R = costante dei gas

= _Ru/^MM   Ru = cost. universale dei gas MM = massa molecolare del gas

Ru = 8,314 J/mol·K

[MM] = [kg/mol]

• Gas perfetto = gas che segue l’eq. di stato dei gas perfetti

• per un gas perfetto l’eq. si può scrivere anche : pW = MRT

Energia e Calori Specifici

e = energia totale per unità di massa

e = ei + gz + V²/2

• ei: energia interna del sistema
• ep = gz: energia potenziale del sistema
• ec = V²/2: energia cinetica

ENTALPIA

somma dell'energia interna e dell'energia di pressione

h = ei + (P/)

Nel SI [e] = [Joule]

1 caloria = 4,1868 J

1 cal = energia necessaria per aumentare di 1°C la T di 1g di H₂O a 14,5°C

CALORE SPECIFICO

quantità di calore necessario per aumentare di 1°C la temp di unità di massa di una sostanza

calore specifico a pressione costante Cp

calore specifico a volume costante Cv

Cp = (h/T)_P

Cv = (h/T)_v

PRESSIONE

• Rapporto tra le forze applicate sulla superficie limite e
• Newton/m² = Pa
• 1 bar = 10⁵ Pa
• mm Hg = 133,322 Pa
• 1 atm = 101,325 Pa

COEFFICIENTE di COMPRIMIBILITÀ

_p2 > _p1

Il volume di un fluido varia al variare della T e della ϱ

• T ↑ → W ↑ T ↓ → W ↓
• ϱ ↑ → W ↓ ϱ ↓ → W ↑

Comprimibilità È: proprietà di un fluido di modificare il proprio volume (e quindi la propria densità) al variare della pressione alla quale esso è assoggettato.

Si può definire un Modulo di elasticità a compressione cubica (ϵ)

• A T = cost se Δp >> 0 applicato a un
• volume di fluido W → diminuzione di volume ΔW proporzionale a Δp e a W

ΔW = -W_. Δp / ϵ

Per la conservazione della massa:

W = cost

∫_v dW + W dϱ = ϱ

da cui: dW / W = -dϱ / ϱ

e quindi: dϱ / ϱ = Δp / ϵ , conseguentemente:

ϵ = -W (∂p / ∂W)_T = ϱ (∂p / ∂ϱ)_T

[ϵ] = [pressione] → (N/m²) = (Pa)

E rappresenta la variazione di pressione che corrisponde ad una

variazione relativa unitaria di volume a T = cost.

• E = ∞ per una sostanza incomprimibile
• E ≫ ⇒ fluido quasi incomprimibile

Liquidi: per molti problemi pratici T = cost.

E_H2O (T=10°C) = 2,1 x 10⁹ Pa = 21,000 bar

La pressione deve essere

alzata di 210 bar

affinché il volume di

H2O si riduca dell’1%

⇒ La comprimibilità dei liquidi può essere trascurata

Gas: vale l'eq di stato dei gas perfetti

E = M p con 1 ≤ M≥ 1,67 (isoterma, adiabatica)

E_aria ≈ 9,806⋅10⁴ ≅ 1,10⁵ N/m²

⇒ I gas sono per definizione molto comprimibili

STORZI NEI SISTEMI CONTINUI

• TENSIONE: forza agente per unità di area

• Componente normale o tensione normale.

In un fluido in quiete è detta PRESSIONE

• Componente tangenziale

Nello studio dei sistemi continui, si possono distinguere due

tipi di forze:

• FORZA di MASSA (F_M) = forza di gravità
• FORZA di SUPERFICIE (F_S)

forza esercitata sul sistema

attraverso la sua superficie di

contorno

Un sistema continuo è in equilibrio quando:

∑F_m + ∑F_s = φ

Per mantenere il sistema in equilibrio bisogna ammettere alla superficie di separazione un complesso di forze tale per cui il equilibrio sia ancora verificato.

• per ogni anello di sup. dA agisce una forza d_Γ
  • Sforzo unitario lim _dA→0 (d_Γ/dA) = φ_M [φ_M] [N/m²]
• Spinte elementare su dA: d_Γ = φ_M dA con d_Γ = [F] = [N]

• C_n ⇒ comp normale → variazioni di volume
• C_t ⇒ comp tang → variazioni di forma

Sull'intera superficie di separazione per l'equilibrio dante agire una forza pari a:

Γ̅ = ∫_A φ_M dA n: versore normale alla sup. dA

Per i fludi due situazioni:

• Fluidi In quiete: γ = φ, σ = f(z)
• Fluidi in moto: γ = f(x, y, z, t), σ = f(x, y, z, t)

σ può essere o di compressione o di trazione

→ in meccanica dei fluidi → sforzi normali e compressione

VISCOSITÀ

• coeff. che esprime il legame fra sforzi tangenziali e velocità di deformazione, si manifesta quando il fluido è in moto
• representativa della resistenza interna al moto

Studio della viscosità (esperienza ideale)

• strato di fluido posto fra due lastre piane parallele

▪ Lastra di area A in moto a velocità V per effetto della F^T

▪ F^T forza tangenziale necessaria a mantenere in moto la lastra superiore

• Sforzo tangenziale:

  N = F^T / A = μ (∆V / ∆y)

• fluido a contatto con la lastra inferiore -> V = ᶲ
• se moto permanente e laminare -> velocità del fluido varia linearmente tra il valore nullo e il valore V

• Profilo della velocità: ∆x(y) = yV/d
• ∆x: velocità generica nel pt.

F^T = γ · A = μ A (∆V / ∆y)

-> la forza F^T necessaria per far muovere la lastra superiore alla velocità costante V vale F^T = μA ∆V / d

momento di calcolare μ attraverso la misura della forza F^T

LEGGE di NEWTON:

_dr_d = ^d _d

direzione del moto

viscosità dinamica del fluido

non dipende allo stato di sforzo

Fluidi di Newtoniani

vapore di = cost.

• Liquidi → se Θ →

es. H₂O

_o = _l ¹

_o = _oC = 1.773^•10₅ N•s/m₂

VISCOSITÀ CINEMATICA:

D = _E

{@D} = [m₂/s]

• H₂O = 10₅ m₂/s

La viscosita di un fluido dipende sia dalla pressione che dalla temperatura (ma la dependanza dalla pressione è debole → trascurabile.

Lo sforzo tangenziale si può legare alla DEFORMAZIONE ANGOLARE

In un interuallo di tempo dt la lastrina superiore percorre:

dx = V•dt (dist. infinitesima)

→ le particelle di fluido collinate lungo M•N → M'N'

ruotano di un angolo infinitesimo dα

d = deformazione angolare

d = tg d = _{d dY} . dt → d_d = _{d dm} . dt de cui:

V = ^d _ddm

o ^d _dd1