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Progetto trave precompressa

Tratta la progettazione e la verifica nelle varie fasi di carico di una trave precompressa a cavi scorrevoli semplicemente appoggiata. Incluso il dimensionamento di armatura. Appunti di tecnica delle costruzioni basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Gambarova.

Esame di Tecnica delle costruzioni docente Prof. P. Gambarova

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ESTRATTO DOCUMENTO

DANIELE FERRARI MATRICOLA:792338 A.A 2014/2015

Si riportano ora le indicazione schematiche della geometria della sezione e della situazione di carico a cui è sottoposta la trave precompressa in

esame: b1 140

d1 25

s ringrossi

y t d'anima

t' 30

h-d1-d2 x 20

80

140

h y

setti

i trasversali

y N N N N

d2 35

0, 0, 25

h'

b2 95

7

DANIELE FERRARI MATRICOLA:792338 A.A 2014/2015

1. Con riferimento alla sezione più sollecitata nella situazione di regime, dimensionare la sezione

corrente (trascurando la soletta inferiore) e valutare la precompressione necessaria (N*); per

il peso proprio di consideri la “sezione di riferimento” in figura.

Dai dati forniti nelle pagine precedenti si procede ora al calcolo del peso proprio della trave da

progettare: per semplificare i calcoli, in prima battuta si considera la trave in oggetto come trave a T

- = 0 ; ' = 0.

semplice ponendo nulli quindi

La sezione per cui risulta cosi composta: 140

25

140 20

115

i valuta il peso proprio della trave in figura:

S (1,40

C = W ∗ 4 ∗ 7 = ∗ 0,25 + 1,15 ∗ 0,20) ∗ 2500 ∗ 9,81 = 14225 /

S

C = 0,25%C = 0,25 ∗ 100 ∗ 14225 = 3560 /

XUY9XZTTU S

Da cui in totale il peso proprio ipotizzato vale:

C = C + C = 17,785 D /

S XUY9XZTTU

Ora vanno valutate le azioni interne dello schema statico nelle due differenti condizioni di TIRO e

REGIME:

• TIRO: considero agenti solo il peso proprio della trave e la precompressione (da valutare)

col suo valore massimo;

• REGIME: si considera anche l’azione dei carichi utili definiti nei dati come P e P’.

8

P = 300 KN

P' = 150 KN P' = 150 KN P = 17,785 KN

0

5,65 5,65 5,65 5,65

22,60 R

R B

A

Risolvo entrambe le situazioni di tiro e di regime, a partire dal calcolo delle reazioni vincolari:

= = = 501 D

] ∗^ *

H

[ \

A tiro le azioni interne risultano semplicemente definite come:

J =C ∗ = 1135 D _ = C ∗ = 200 D

^ ^

) `

A regime devo invece effettuare delle sezioni lungo la luce tra ogni carico concentrato, ottenendo i

seguenti valori delle azioni interne relative all’azione dei carichi utili concentrati esterni più il peso

proprio della trave: 0 ≤ b ≤ 5,65

Sezione S1:

_ = 501 D (b = 0)

c

P

0 _ = 400 D (b = 5,65 )

c

J = 0 D (b = 0)

c

M

S1 J = 2546,78 D (b = 0)

c

V

S1

X

R

A 5,65 ≤ b ≤ 11,30

Sezione S2:

P' _ = 250 D (b = 5,65 )

c

P _ = 150 D (b = 11,30 )

0 c

J = 2546,78 D (b = 5,65 )

c

M

S2 J = 3678,32 D (b = 11,30 )

V

5,65 x S2 c

R

A 9 11,30 ≤ b ≤ 16,95

P = 300 KN Sezione S3:

_ = −150 D (b = 11,30 )

c*

P' = 150 KN _ = −250 D (b = 16,95 )

c* = 3678,32 D (b = 11,30 )

J

c*

M J = 2546,78 D (b = 16,95 )

S3 c*

V

5,65 5,65 x S3

R

A

Il momento massimo nella sezione di mezzeria a regime vale per cui:

J = 3678,32 D (b = 11,30 )

Si otterranno gli stessi valori simmetricamente per la restante luce della trave precompressa. Si

riporta di seguito il grafico delle azioni interne appena valutate con riferimento alla situazione di

tiro e di regime.

501 400 200

150

250

v v

1 0

-250

-150 -200

-400 -501

M M

1 0 1135

3678,32

Si prosegue calcolando il valore dello spessore b1 della soletta superiore. In questo modo si può

- = ℎ = 1,40

correggere la prima approssimazione effettuata dicendo che .

6J ) )

− ,(ℎ − ' e(ℎ − ' − 3ℎ f

1

P

- = = 567

d

(2ℎ ) (ℎ ) )

ℎ − 3ℎ − − ' (2(ℎ − ' − 3ℎ )

1 1

- = 600

Per cui scelgo una .

Di conseguenza ricavo il valore della precompressione

= i

g

∗ h$

% con S momento statico della sezione rispetto lembo inferiore:

P (ℎ ) (ℎ (ℎ ) )f

= e, − ' + - − − ' = 4680 D

d

∗ ℎ 10

2. Con riferimento alla precompressione N*, scegliere il numero ed il tipo dei cavi con

riferimento a cataloghi commerciali, ed aggiornare la forza di precompressione (da introdurre

nei successivi calcoli), ponendola eguale alla capacità nominale (N) dei cavi (nei passi

successivi la precompressione non verrà più modificata); aggiornare lo spessore d’anima,

tenendo conto che tale spessore deve essere uguale ad almeno tra volte il diametro delle guaine

dei cavi di precompressione; aggiornare h’ qualora il baricentro dei cavi stia al di sopra della

posizione originariamente ipotizzata.

In via preliminare si osserva che i cavi sono elementi strutturali quasi totalmente flessibili,

assimilabili, a fili soggetti per cui semplicemente a trazione.

Il valore della precompressione N* serve per calcolare il valore di N a tiro ed N a regime. Si devono

0 1

per cui scegliere ora dei cavi da precompressione in modo tale che consentano di sopportare uno

sforzo di precompressione almeno superiore a quello appena calcolato (N*). Per far ciò tramite

cataloghi commerciali si individuano due diverse tipologie di cavi e si sceglie quelle più adatta al

caso in esame.

2 CAVI DA 19 TREFOLI, TIPO VSL 6-19

Ф15

W = = 3356

kl )

d[j` = O ∗ W = 1770 ∗ 3356 = 5940 D

S+I d[j`

Carico rottura singolo cavo = 0,6 O ∗ W = 3564 D

S+I d[j`

Carico massimo a regime = 0,85 O ∗ W = 4479 D

S( , )I d[j`

Carico massimo a tiro = 2 ∗ m3<;mA 3::; A <=7; = = 7128 D

Precompressione massima a regime (2 cavi) = 2 ∗ m3<;mA 3::; A ,;<A = 8958 D

Precompressione massima a tiro (2 cavi)

Oppure:

3 CAVI DA 12 TREFOLI, TIPO VSL 6-12

Ф15

W = = 2120

l )

d[j` = O ∗ W = 1770 ∗ 2120 = 3752 D

S+I d[j`

Carico rottura singolo cavo = 0,6 O ∗ W = 2252 D

S+I d[j`

Carico massimo a regime = 0,85 O ∗ W = 2830 D

S( , )I d[j`

Carico massimo a tiro = 3 ∗ m3<;mA 3::; A <=7; = = 6756D

Precompressione massima a regime (3 cavi) = 3 ∗ m3<;mA 3::; A ,;<A = 8490 D

Precompressione massima a tiro (3 cavi)

La scelta dei cavi ricade sulla seconda tipologia, poiché con 3 cavi da 12 trefoli ottengo comunque

dei valori di carichi e di precompressione adatti a soddisfare il valore di N* calcolato

11

precedentemente; inoltre un cavo da 12 trefoli ha un peso notevolmente minore di uno da 19. La

scelta di questi cavi consente anche di far fronte alle perdite per attrito che si verificano al tiro.

= 4680 D

Si ricorda che a regime ho ottenuto: =F = 1,25 ∗ 4680 = 5850 D

Al tiro ottengo:

Entrambi minori delle riserve di capacità al tiro e a regime.

Per cui la scelta dei cavi appena effettuata consente di dire che la precompressione da applicare non

mette in crisi il sistema di cavi scelto poiché gli sforzi sopportabili sono maggiori degli sforzi applicati

= 6756D = 8490 D

Ogni cavo da 12 trefoli, essendo cavi scorrevoli quelli che si vogliono inserire, deve essere ricoperto

∅ = 85

da una guaina di diametro esterno pari a: . Si rende per cui necessario aggiornare lo

spessore dell’anima della trave a T, in modo che sia almeno 3 volte il diametro esterno della guaina:

, = 200 , = 3∅ = 255 ⇔ 260

m = 40

Avendo scelto un copriferro e avendo scelto di disporre tre cavi da precompressione,

distanziati di un Ø di guaina, inevitabilmente l’altezza h’ del baricentro dai cavi rispetto al lembo

inferiore è mutata ed è pari a:

ℎ = 250 ℎ = 253

1 1 cioè si è alzato leggermente.

La situazione corrente è riportata un figura: 60

25 26

140 115 25,3

12

3. Verificare – al tiro e a regime – la sezione di mezzeria, ed - in caso di verifica non soddisfatta

– modificare opportunamente la sezione, aggiungendo una soletta inferiore; nelle successive

verifiche, aggiornare di volta in volta il peso proprio sulla base della sezione munita di soletta

inferiore.

Devo innanzitutto calcolare la posizione del baricentro della sezione a T, l’area totale della sezione e

il momento d’inerzia; per le dimensioni si faccia riferimento alla figura aggiornata di pagina

precedente.

W = - ∗ ' = 150.000 W = , ∗ (ℎ − ' ) = 299.000

c`2pqq[ [Gst[

W = 449.000

q`q[2p ' ℎ−'

)

∗ v(ℎ − ' + w + W ∗

W 2 2

c`2pqq[ [Gst[

u = = 809

W

Y q`q[2p

Calcolo il momento d’inerzia usando il teorema di Huygens:

1 ' 1 ℎ−'

x= - ' + W y ℎ − u − z + ,(ℎ − ' ) + W (u − )

* *

12 2 12 2

c`2pqq[ Y [Gst[ Y

= 8,2679 ∗ 10

Eseguo ora le verifiche noti:

u = ℎ − u = 591 u = u = 809

T Y U Y

VERIFICHE AL TIRO:

Lembo superiore teso: (u )

− ℎ J

1

P =− + u − u = 2,11 JC3 < P = 3,85 JC3

Y

W x x

c T T +

q`q[2p

Lembo inferiore compresso: (u )

− ℎ J

1

P = + u − u = 33,75 JC3 > P = 23 JC3

Y

W x x

U U U 5

q`q[2p

VERIFICHE A REGIME:

Lembo superiore compresso: (u )

− ℎ J

1

P = − u − u = 18,11 JC3 < P = 20,25 JC3

Y

W x x

c T T d

q`q[2p

Lembo inferiore teso: (u )

− ℎ J

1

P =− − u + u = 0,11 JC3 > P = 3,15 JC3

Y

W x x

U U U +

q`q[2p 13

A tiro per cui la trave non risulta verificata a compressione in quanto troppo compressa inferiormente.

La soluzione in questi casi o sta nel cambiare materiale scegliendone uno tra quelli con una migliore

resistenza a compressione, oppure nell’aumentare l’area della sezione inferiormente inserendo una

soletta valutabile con le relazioni note. Si prosegue attuando la seconda opzione. Dopo varie iterazioni

si giunge alla definizione della soletta inferiore di dimensioni pari a:

- = 450 ' = 350

Tale scelta non comporta un aumento di area totale della sezione che era stata stimata, al punto 1 per

il calcolo del peso proprio della sezione, pari a:

W = 1400 ∗ 250 + 1150 ∗ 200 = 580.000

cqst[q[

W = 515.500

q`q[2p

Si riportano ora i valori delle tensioni ottenute dalle verifiche eseguite con la nuova geometria

definitiva, sapendo che l’area totale non va ad incrementare il peso proprio della trave, tutto a

vantaggio della sicurezza:

W = - ' = 150.000 W = ,(ℎ − ' − ' ) = 208.000

c`2pqq[ c}] [Gst[

W = - ' = 157.500 W = 515.500

c`2pqq[ sG~ q`q[2p

−'

' ℎ−'

W ∗ •ℎ − € + W ∗ •' + € + W ∗ (' /2)

2 2

c`2pqq[ c}] [Gst[ c`2pqq[ sG~

u = W

Y q`q[2p

= 727

Calcolo il momento d’inerzia usando il teorema di Huygens:

1 ' 1

x= - ' + W y ℎ − u − z + ,(ℎ − ' − ' )

* *

12 2 12

c`2pqq[ c}] Y

ℎ−' −' 1 '

+ W (' + − u ) + y z - ' + W ( u − )

*

2 12 2

[Gst[ Y c`2pqq[ sG~ Y

= 1,066 ∗ 10

Eseguo ora le verifiche noti:

u = ℎ − u = 673 u = u = 727

T Y U Y

VERIFICHE AL TIRO:

Lembo superiore teso: (u )

− ℎ J

1

P =− + u − u = −1,01 JC3 < P = 3,85 JC3

Y

W x x

c T T +

q`q[2p 14

Lembo inferiore compresso: (u )

− ℎ J

1

P = + u − u = 22,52 JC3 < P = 23 JC3

Y

x

W x

U U U 5

q`q[2p

VERIFICHE A REGIME:

Lembo superiore compresso: (u ) J

− ℎ 1

P = − u − u = 18,29 JC3 < P = 20,25 JC3

Y

W x x

c T T d

q`q[2p

Lembo inferiore teso: (u )

− ℎ J

1

P =− − u + u = 0,87 JC3 < P = 3,15 JC3

Y

W x x

U U U +

q`q[2p

In questo modo la si può notare come a tiro anche il lembo superiore sia compresso avendo ottenuto

un valore negativo. Tutte le altre verifiche sono rispettate.

La sezione non verrà più aggiornata nel calcoli successivi; in figura si rappresenta la sezione corrente

definitiva relativa a quella più sollecitata in mezzeria della trave.

60

25

s

y 26

80

140 x

y 72,7

i

y 35 25,3

45

15

4. Adottare il cavo risultante parabolico passante (a) per il baricentro delle sezioni di estremità

in asse con gli appoggi, e (b) per il punto prefissato della sezione più sollecitata.

Per tracciare l’andamento del cavo risultante parabolico, devo considerare il cavo baricentrico alla

disposizione dei cavi adottati al punto 2: avendo scelto 3 cavi uguali, il cavo risultante coincide con

il cavo centrale della configurazione.

Si scrivono di seguito i semplici passaggi per giungere all’equazione della parabola del cavo

risultante.

O = u − ℎ = 474

1

Y =(b) = 3 + -b + mb

• '= = - + 2mb

'b

= = 0 8=< b = 0

Con = = O 8=< b = ^

= 0 8=< b =

#‚ ^

Dopo semplici passaggi matematici ricavo i valori dei coefficienti a, b, c:

4O 4O

3 = 0; -= ; m=−

? ?

Di conseguenza l’equazione della freccia del cavo risultante rispetto ad un sistema di riferimento con

origine nel baricentro della sezione a doppio T agli estremi, risulta pari a:

4O b

=(b) = b •1 − €

? ?

Si riportano in tabella gli abbassamenti relativi a punti significativi della luce (considero sono fino ad

= 11,30

^ , sapendo che per simmetria l’abbassamento sarà il medesimo):

x [m] x [mm] e (x) [mm]

0 0 0

1,13 1130 90

2,26 2260 171

3,39 3390 242

4,52 4520 303

5,65 5650 356

6,78 6780 398

7,91 7910 431

9,04 9040 455

10,17 10170 469

11,3 11300 474

16

5. Valutare i carichi equivalenti alla precompressione e calcolare la freccia in mezzeria, sia al

tiro che a regime.

Per carico equivalente di intende il sistema di carichi esterni (distribuite e/o concentrati) tale da

produrre gli stessi effetti statici della precompressione.

In altri termini, sfilando e rimuovendo i cavi da precompressione, e applicando simultaneamente i

carichi equivalenti, la trave vedrebbe immutato il suo regime statico.

La forza di precompressione può essere vista come un carico distribuito agente sulla trave verso l’alto.

I valori dei carichi equivalenti delle precompressione sono noti a partire dalla definizione di freccia

ottenuta al punto 4: '= 4O 2b

= (1 − )

'b ? ?

' = 8O

=−

'b ?

Da cui ricavo i due carichi equivalenti alla precompressione:

TIRO: 8O

' =

8 = = y− z = −43,44 D /

∗ ?

'b

REGIME:

' 8O

=

8 = = y− z = −34,75 D /

∗ ?

'b

Noti i carichi equivalenti, si procede a valutare il carico totale a cui è soggetta la trave sia in situazione

di tiro che di regime:

essendo presente semplicemente il peso proprio, che costituisce un carico distribuito, il carico

TIRO:

totale sarà dato dalla differenza:

8 = 8 −8 = 17,785 − 43,44 = −25,66 D /

+Z+ ∗

a regime agiscono tre carichi concentrati ulteriori al peso proprio. Di conseguenza non

REGIME:

posso definire un vero a proprio carico distribuito totale, ma si dovrò procedere tramite l’analogia di

Mohr per travi isostatiche al calcolo delle freccia tramite sovrapposizione degli effetti, considerando

tre schemi statici dati da:

1. Carico distribuito (peso proprio p0) unitamente al carico equivalente della precompressione;

2. Carico concentrato P = 300 KN in mezzeria;

3. Coppia di carichi ai quarti P’ = 150 KN;

8 =8 −8 = 17,785 − 34,75 = −16,97 D /

+Z+ ∗ 17


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26

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8 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher dferrari93 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecnica delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Gambarova Pietro.

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