Progetto Matlab

Progetto Matlab: determinazione di un controllore C(s)

Specifiche del progetto

Viene chiesto di determinare un controllore C(s) di struttura semplice che soddisfi le seguenti specifiche:

• Errore di inseguimento inferiore al 10% per un riferimento a rampa.
• Picco di risonanza M inferiore a 3 dB, banda passante compresa tra 7 e 35 rad/s.

Funzione di trasferimento del processo

La funzione di trasferimento che rappresenta il processo è: G(s) = 5625 / (s² + 25s + 225)

Calcoliamo i poli:

solve denom G(s) = 0, poli = -10 ± i5

K = 25, K_C = 5 K₁

Problema della precisione statica

La prima specifica riguarda un problema legato alla precisione statica del sistema. Per avere un errore finito alla rampa bisogna aggiungere un effetto integrale, dato che la funzione di trasferimento ne è sprovvista, la funzione di anello sarà di Tipo 1. Ricordiamo che per rendere l'errore nullo bisognerebbe aggiungere un ulteriore effetto integrale con il rischio di rendere il sistema poco stabile. Il controllore è così fatto:

kC(s) = k / s

Calcolo della funzione di anello non compensata

Calcolo la funzione di anello non compensata che è pari alla cascata tra il controllore e la funzione di trasferimento dell'impianto:

L_nonComp(s) = (5625k) / (s² + 25s + 225)s

Trovo il valore di k per il quale le specifiche statiche sono verificate, applico la definizione di errore di inseguimento:

lim_s→0 (1 / (1 + L_nonComp(s))) = 1/k

Solve per k: k > 10

Quindi scelgo un K poco più grande di 10 e analizzo la funzione di anello (non compensata) finora ottenuta:

L_nonComp(s) = (56812.5) / (s² + 25s + 225)s

La funzione di anello è a fase minima e compatibile con il criterio di Bode. Rappresentiamo attraverso Matlab il diagramma di moduli e fase di L_nonComp(s). Notiamo che il diagramma dei moduli di L(s) è monotono decrescente, il guadagno di Bode è strettamente positivo e quindi, la pulsazione di attraversamento è unica. La condizione necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità in retroazione è verificata, secondo il Criterio di Bode.

Specifiche dinamiche

La seconda parte riguarda le specifiche dinamiche. Ci viene richiesto un picco di risonanza inferiore a 3 dB. Per determinare il valore dell'oscillazione utilizzo una funzione di Matlab:

smorz_Mr = 0.3832

Ricavo il margine di fase garantito con questa approssimazione che è circa 38.3°.