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Progetto Matlab
Viene chiesto di determinare un controllore C(s) di struttura semplice che soddisfi le seguenti specifiche:
- Errore di inseguimento inferiore al 10% per un riferimento a rampa;
- Picco di Risonanza M 3 dB, banda passante %r,dBw compresa tra 7-35 rad/s.
La funzione di trasferimento che rappresenta il processo è:
5625G(s) = (d^2s + ds + s)/(s^2 + s + 25)
I poli del sistema sono:
solve(denom(G(s)) = 0) => s = -10 ± 5i
La prima specifica riguarda un problema legato alla precisione statica del sistema. Per avere un errore finito alla rampa bisogna aggiungere un effetto integrale dato che la funzione di trasferimento ne è sprovvista, la funzione di anello sarà di Tipo 1. Ricordiamo che per rendere l'errore nullo bisognerebbe aggiungere un ulteriore effetto integrale con il rischio di rendere il sistema poco stabile.
Il controllore è così fatto:
C(s) = kC(s) + static(s)C(s)
Calcolo la funzione di anello non compensata
che stabilisce che il guadagno di Bode deve essere strettamente positivo per tutte le frequenze. Utilizzando il tag per gli esponenti, il tag per gli indici e il tagper andare a capo, il testo formattato con i tag html sarà il seguente:
che è pari alla cascata tra il controllore e la funzione di trasferimento dell'impianto: L(s) = C(s) * GnonComp(s)
staticL(s) = nonComp * 5625 * k / (4 * s^2)
Trovo il valore di k per il quale le specifiche statiche sono verificate, applico la definizione di errore di inseguimento:
1e d,rN lim s -> 0/ 1e
d,rN k = 1 / (1 + solve , k!k = 10^0 , 10)
Quindi scelgo un K poco più grande di 10 e analizzo la funzione di anello (non compensata) finora ottenuta:
k = 10.1 :dL(s) = nonComp * 56812.5 / (2 * s^2)
La funzione di anello è a fase minima e compatibile con il criterio di Bode.
Rappresentiamo attraverso matlab il diagramma di moduli e fase di L(s): nonComp
Notiamo che il diagramma dei moduli di L(s) è monotono decrescente, il guadagno di Bode è strettamente positivo e quindi, la pulsazione di attraversamento è unica.
La condizione necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità in retroazione è verificata, secondo il Criterio di Bode.
0.Om2) La seconda parte riguarda le specifiche dinamiche. Ci viene richiesto un picco di risonanza inferiore a 3 dB, per determinare il valore dellosmorzamento utilizzo una funziona di matlab smorz_Mr:d 0.3832 :d d$100:Ricavo il margine di fase garantito con questa approssimazione che è circaF d$100dm_garantito F 38.3200 (8)dm_garantitoIl margine di fase richiesto sarà maggiore di 38.32°w wUtilizzo l'approssimazione (in Media Frequenza) e scelgo una pulsazione di%c BWattraversamento di progetto che ricade all'interno dell'intervallo della banda passantew7 35 rad/s:% %cw 11.5 :dc_progettoAttraverso matlab valuto modulo e fase della funzione L s in corrispondenza dinonCompw :c_progettoModule_progetto 0.7239 : (non in dB)dPhase_progetto 182.7401 : (in gradi)dK wDetermino il valore che il margine di fase può raggiungere se rendo l'effettivac_progettopulsazione di attraversamento: 180-|phase_progetto| = -2.7401Il modulo risulta inferiore
all'unità e la fase è inferiore al margine di fase richiesto: mi occorre una rete anticipatrice.
L'amplificazione richiesta è: 1m d Module_progetto m 1.381406272 (9)d
L'incremento in fase richiesto è dato da: (aggiungo 1 per sicurezza): q = 180F K KPhase_progetto C1m_garantito q = 42.0601 (10)
Procedo con il calcolare la rete correttrice: utilizzo matlab per ricavare le due costanti di tempo, utilizzo la funzione generica e gli passo la l'amplificazione m ec_progettoq.
L'incremento in fase richiesto
I valori tau1 e tau2 sono entrambe positivi e posso procedere con la sintesi finale
t 0.0829 :d1
t 0.0024 :d2
La Rete Anticipatrice ottenuta è:
1 tCs$ 1s/dC :reteAnticipatrice
1 tCs$ 2C sreteAnticipatrice
1 sC0.0829 (11)
1 sC0.0024
Metto in serie C s e C sreteAnticipatrice static
C s/C s s :d $Cstatic reteAnticipatrice
C s 10.1 1 sC0.0829 (12)
s 1 sC0.0024
Determino la L(s) compensata:
L s/C s s :d $GL s 56812.5 1 sC0.0829 (13)
2s 1 s s s sC0.0024
C25 C20 C225Valuto, in modo grafico, che gli obiettivi di progetto siano stati raggiunti:Il margine di fase è maggiore di
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