Progetto di una bicicletta

B C

A 4

3 7

5

8

1 6

D

2

y O x

Figura 1: Coordinate dei nodi e degli altri punti d’interesse

2

2 Accelerazione

2.1 Carichi agenti

Considerando il baricentro fisso nel tempo, si inizia calcolando le reazioni

vincolari sulle ruote.

Inoltre si trascurano gli attriti: volvente, aerodinamico e dinamico sulla

ruota anteriore.

h

3 h

1 h

2

 H = F

rp



 −

V = (P h F h ) / h = 248.2 N

ra 1 3 2

 −

V = P V = 536.6 N

 rp ra

Affinchè la ruota posteriore sia in equilibrio si vengono a creare due reazioni

uguali e contrarie nella cerniera che collega la ruota al telaio.

L’equilibrio della ruota mette in evidenza anche la coppia pari a

F R = 27 907 N mm, dove R = 355.6 mm = 14 pollici è il raggio del cerchio

e si assume sia anche quello della ruota.

3

Sul pignone posteriore, dove è generata questa coppia, il momento avrà

verso opposto ed è corretto che sia contrario alla velocità angolare essendo

l’utilizzatore. Quindi un equilibrio ai momenti sulla puleggia condotta

permette di calcolare il tiro della cinghia nell’ipotesi di considerare solo il

lato teso: FR

T = = 996.7 N

r

2

infatti il raggio della puleggia condotta è r = 28 mm, mentre quello della

2

puleggia motrice è r = 84 mm.

1

Pertanto sul perno del telaio si scaricano sia la forza F sia il tiro T . Queste

due forze sono opposte all’asse x, quindi sul telaio agirà una forza, che è la

somma delle due, diretta positivamente in modo che il nodo sia in equilibrio.

Da un semplice bilancio di potenza si ottiene la coppia motrice:

r

1 = 83 722 N mm

M = M

m R r

2

Da qui si riesce pertanto a ricavare la forza da imporre al pedale come

frazione q del peso da scaricare per produrre M .

m

Infatti è nota la lunghezza del pedale b = 175 mm e si trascura il pedale in

levare. M

m

q = = 0.6096

Pb

A questo punto si è calcolato quanta forza bisogna scaricare sul pedale in

modo da generare la forza F e quindi l’accelerazione desiderata.

4

Si procede a calcolare le reazioni di manubrio, sella e pedale che equilibrino

il peso e l’inerzia, ipotizzando che la sella sia una cerniera e cioè garantisca

un vincolo anche in direzione orizzontale, grazie all’attrito.

b

3 F

V b

sella P 2 N

m

H

sella b

4

b

1 N

p α

m

Figura 2: Distribuzione di peso ed inerzia sugli elementi della bici

 − −

N = (P b qP b F b ) / b = 126.5 N

m 3 1 2 4



 H = F + N sin (α ) + qP sin (α ) = 271.1 N

sella m m p

 − −

V = P N cos (α ) qP cos (α ) = 250.4 N

 sella m m p

Si sono quindi ottenute le reazioni vincolari necessarie a manubrio, pedale e

sella per equilibrare peso ed inerzia. Per calcolare le forze che si scaricano

sul telaio si inverte il segno a queste reazioni vincolari appena trovate.

Inoltre, trasportando queste forze dal loro punto di applicazione al nodo del

telaio si generano momenti di trasporto. Il momento sul pedale è proprio la

fonte del moto, infatti non è assorbito dal telaio ma dalla cinghia di

trasmissione che a sua volta lo porta alla ruota posteriore.

5

Gli altri due momenti invece si scaricano sul telaio e concorrono quindi allo

stato di sforzo nelle aste.

L’immagine e la tabella seguenti sono alternative per mostrare i valori di

forze e momenti, dovuti a carichi esterni, applicati sul telaio.

-250.406292 59773.588328 -63.247813

-271.104158 109.548425

-23772.324181

1075.176 -913.620267 248.192695

536.607305 -471.145895

Figura 3: Rappresentazione dei carichi applicati ai nodi

H [N ] V [N ] M [N mm]

1 1 075.176000 536.607305 0

2 -913.620267 -471.145895 0

3 -271.104158 -250.406292 59 773.588328

4 109.548425 -63.247813 -23 772.324181

5 0 0 0

6 0 248.192695 0

7 0 0 0

8 0 0 0

6

2.2 Input e output

L’immagine seguente mostra i diagrammi delle azioni interne, dove il primo

schema definisce gli elementi e le convenzioni di segno.

100

4

3 4

6

7

80 7

5

3 8

60

2 5 8 9 N

40

1 6

1 2 20

0

-50 0 50 100 150

-100 -50 0 50 100

120

100

80

60

T

40 M

20

Nelle pagine successive sono riportati i file di input e output, in cui va

osservato che per coerenza si sono messe tutte le grandezze in Newton e

centimetri.

Riguardo all’input l’unica nota è per i tubi doppi per i quali si sono presi i

valori di sezioni e momenti d’inerzia e si sono raddoppiati.

7

Accelerazione a= 0.1 * g

TUTTE LE MISURE SONO IN CM

numero di vincoli a terra

numero di nodi 3

8 tabella dei vincoli a terra

tabella dei nodi nodo,direz

nodo,x,y 1,2

1,-45.36315,37.92989 6,1

2,0,29.36123 6,2

3,-17.69135,87.73944

4,43.6947,87.73944 numero di asservimenti

5,49.19305,70.23512 0

6,64.05526,37.92989 tabella degli asservimenti

7,46.21543,79.71454 master,slave,direzione

8,54.95193,51.9014 numero di nodi caricati

numero di elementi 11

9 tabella dei carichi

tabella di incidenze nodo,direzione,forza

elem,nodo1,nodo2,sez,mat 1,1,1075.176

1,1,2,2,1 1,2,536.607305

2,2,3,4,1 2,1,-913.620267

3,1,3,1,1 2,2,-471.145895

4,3,4,3,1 3,1,-271.104158

5,2,7,5,1 3,2,-250.406292

6,4,7,6,1 3,3,59773.588328

7,7,5,2,1 4,1,109.548425

8,5,8,2,1 4,2,-63.247813

9,8,6,1,1 4,3,-23772.324181

6,2,248.192695

definizione sezioni numero di elementi caricati

(non serve per l'input) 0

1: D=21.3, s=2.0 (doppi) tabella dei carichi

2: D=26.9, s=2.0 (doppi) elem,Px,Py1,Py2,&Tsup,&Tinf

3: D=33.7, s=2.0

4: D=33.7, s=2.5 numero di vincoli elastici a terra

5: D=33.7, s=3.0 0

6: D=42.4, s=4.0 tabella dei vincoli

nodo,direzione,rigideza

numero di sezioni

6 numero di vincoli elastici interni

proprietà delle sezioni 0

num,area,inerzia,altezza,taglio tabella dei vincoli

1,2.42,1.142,0.2,0.0 nodo1,nodo2,direzione,rigidezza

2,3.12,2.44,0.2,0.0

3,1.99,2.51,0.2,0.0 numero di cedimenti vincolari

4,2.45,3.00,0.25,0.0 0

5,2.89,3.44,0.3,0.0 tabella dei cedimenti

6,4.83,8.99,0.4,0.0 nodo,direzione,cedimento

numero di vincoli inclinati

numero di materiali 0

1 tabella di inclinazione

proprietà dei materiali nodo,angolo(gradi),parametro,rig/ced

num,young,poisson,alpha,pp

1,7000000.0,0.34,23.5e-6,2.7

OUTPUT – Misure in Newton e centimetri

-----------------------------------------------------

Coordinate nodali:

-----------------------------------------------------

Nodo X[L] Y[L]

1 -4.53631e+01 +3.79299e+01

2 +0.00000e+00 +2.93612e+01

3 -1.76913e+01 +8.77394e+01

4 +4.36947e+01 +8.77394e+01

5 +4.91930e+01 +7.02351e+01

6 +6.40553e+01 +3.79299e+01

7 +4.62154e+01 +7.97145e+01

8 +5.49519e+01 +5.19014e+01

-----------------------------------------------------

Incidenze degli elementi:

-----------------------------------------------------

Elemento Nodo 1 Nodo 2

1 1 2

2 2 3

3 1 3

4 3 4

5 2 7

6 4 7

7 7 5

8 5 8

9 8 6

-----------------------------------------------------

Spostamenti nodali:

-----------------------------------------------------

Nodo Ux[L] Uy[L] Rz[rad]

1 -6.44267e-01 +0.00000e+00 -7.06070e-03

2 -6.76572e-01 -1.67643e-01 -5.52746e-03

3 -4.73237e-01 -1.03412e-01 +1.78655e-02

4 -4.73836e-01 -2.69047e-01 -1.00430e-02

5 -5.54114e-01 -2.93880e-01 +3.37222e-03

6 +0.00000e+00 +0.00000e+00 +2.86282e-02

7 -5.40378e-01 -2.89951e-01 -6.49217e-03

8 -3.49327e-01 -2.28699e-01 +1.79452e-02

-----------------------------------------------------

Azioni alle estremità delle aste:

-----------------------------------------------------

Elem N1[F] T1[F] M1[FL]

N2[F] T2[F] M2[FL]

1 -2.60955e+02 -5.85793e+01 +4.85969e+03

-3.33137e+02 -4.40718e+02 -6.66543e+03

2 +5.09519e+02 +5.96002e+02 -1.13145e+04

+8.95691e+02 +7.13030e+02 +2.86110e+04

3 -2.34478e+03 +3.53590e+02 -4.85969e+03

-2.01933e+03 +1.72782e+02 +1.01367e+04

4 -1.35910e+02 +5.34728e+02 -2.10260e+04

-1.35910e+02 +2.04901e+02 +1.67549e+03

5 +3.91095e+02 -2.57834e+01 +4.64910e+03

+7.84002e+02 -3.86402e+02 -9.43675e+03

6 +6.15846e+01 +2.76627e+02 +2.54478e+04

-4.30681e+01 +2.43755e+02 +2.76364e+04

7 -7.69834e+02 -2.41816e+02 +1.81997e+04

-8.49688e+02 -2.66899e+02 +1.56723e+04

8 -8.49688e+02 -2.66899e+02 +1.56723e+04

-1.00413e+03 -3.15412e+02 +1.00772e+04

9 -8.81835e+02 -5.74572e+02 +1.00772e+04

-9.73124e+02 -6.34053e+02 +0.00000e+00

L’output è invece più interessante da analizzare. Qui dopo la tabella delle

coordinate e la tabella delle incidenze troviamo riportati gli spostamenti

nodali. Giustamente questi sono nulli nei nodi 1 e 6 nelle direzioni bloccate

dai vincoli e sono nell’ordine dei millimetri altrove.

Il file si conclude con la lista delle azioni interne all’estremità di ogni asta,

dove si può notare che la somma algebrica tra le azioni in uno stesso nodo

(corrispondente all’estremità di più aste) è esattamente pari alla forza o

momento applicati in quel nodo. Ad esempio è evidenziato che all’estremità

delle aste 1 e 3, in corrispondenza del nodo 1, i due momenti sono uguali e

opposti siccome il momento esterno in quel nodo è nullo essendoci il

carrello.

Oppure per gli elementi 4 e 6 si sa che nel nodo 4 in comune è presente il

momento di trasporto del manubrio. Infatti la differenza tra 25 447.8 N mm

e 1 675.49 N mm è pari proprio a 23 772.31 N mm (vedi figura 3).

Si constata anche che nel perno della ruota anteriore, dove si è

schematizzata la cerniera a terra e dove non ci sono momenti concentrati, il

momento è nullo. 10

3 Decelerazione

3.1 Carichi agenti

Ora cambia la condizione del moto e si passa a considerar la fase di frenata.

Le ipotesi che si assumono sono:

• attriti nulli (dinamico sulla ruota posteriore, aerodinamico, volvente)

• baricentro del sistema fisso

• forza sul pedale nulla, q = 0

• impianto frenante applicato alla sola ruota anteriore e solidale alla

forcella, su cui trasmette una forza tangente alla ruota

h

3 h

1 h

2

Allora l’equilibrio del sistema complessivo porta a scrivere:

 −F

H =

ra





V = (P h + F h ) / h = 402.54 N

ra 1 3 2

 −

V = P V = 382.26 N

 rp ra 11

Note le reazioni del terreno si studia la sola ruota anteriore.

Dall’equilibrio del momento rispetto al polo 6 si ottiene che la forza

frenante necessaria è F = F .

5 ◦

'

L’angolo è fisso e noto dalla geometria: vale θ 24.71 . Da q