Processi per deformazione plastica,Tecnologia meccanica

Ingegneria gestionale - Università degli Studi di Palermo

Capitolo 1: Introduzione ai materiali e ai processi

Come sappiamo, le leghe Fe-C sono le più utilizzate per le attività ingegneristiche. Le fibre di carbonio sono infatti caratterizzate da elevata resistenza e leggerezza, proprietà di notevole importanza. Altri materiali utilizzati sono quelli polimerici, anch’essi molto leggeri, ma soprattutto di facile lavorazione e inerzia chimica.

Il loro utilizzo è limitato dalle temperature di esercizio (non possono superare 100-200 °C); inoltre non godono di notevoli proprietà meccaniche, ad eccezione dei polimeri cristallini o rinforzati. Un buon compromesso tra leggerezza, buone proprietà meccaniche e resistenza alle temperature si ottiene con le leghe di titanio o alluminio.

Le prime godono di elevatissime prestazioni meccaniche (in termini di resistenza, duttilità, leggerezza), tuttavia, ad alte temperature, riscontrano notevoli reattività con gli altri materiali. Le leghe di alluminio invece, sono utili per caratteristiche quali resistenza alla corrosione, duttilità; il loro svantaggio risiede nella bassa temperatura di fusione e nelle basse caratteristiche meccaniche se confrontate con leghe ferrose come gli acciai. Quest’ultimi restano infatti i principali metalli utilizzati nell’industria manifatturiera, per il loro perfetto connubio tra facilità di fabbricazione ed elevate prestazioni meccaniche. Inoltre l’acciaio si presta efficacemente ai trattamenti termici e all’aggiunta in lega di altri elementi chimici.

Fenomeni di deformazione plastica

Il fine dell’analisi dei fenomeni che intervengono nelle lavorazioni per deformazione plastica è quello di stabilire l’influenza di ciascuno dei parametri operativi sulla meccanica del processo deformativo. È perciò necessario conoscere le leggi che governano il comportamento dei materiali solidi soggetti a deformazione plastica. Queste sono generalmente ottenute facendo riferimento ad uno stato di sollecitazione unidirezionale eseguendo prove unificate di compressione o trazione.

I risultati di queste possono rappresentarsi in un diagramma tensioni nominali-deformazioni convenzionali (diagramma ingegneristico). Le deformazioni, dette anche ingegneristiche, sono così definite: dove L è, istante per istante, la lunghezza del tratto utile del provino, ed L₀ la lunghezza iniziale. Le tensioni nominali sono invece calcolate tramite il rapporto tra il carico richiesto alla macchina di prova per vincere la resistenza alla deformazione del materiale e la sezione iniziale del provino: σ_n = P/A₀.

Analizzando il diagramma a fianco può individuarsi una prima fase in cui il comportamento del materiale è elastico (legame proporzionale tra σ ed e); successivamente si ha un breve tratto in cui le deformazioni sono ancora elastiche e reversibili, ma cade la linearità tra ascissa ed ordinata, ed infine si riscontra il tratto plastico, ove si perde anche la reversibilità delle deformazioni, che divengono permanenti.

Approfondendo il tratto plastico, notiamo che in un primo momento, il carico richiesto per deformare il provino cresce al procedere della deformazione. In questa fase la sezione si riduce uniformemente con la deformazione, nel rispetto della condizione di invariabilità del volume.

Nel tratto a quest’ultimo successivo invece, il grafico diventa decrescente, e fisicamente si assiste al fenomeno chiamato localizzazione delle deformazioni con conseguente formazione di una sezione contratta verso la sezione centrale del provino. Riducendosi la sezione resistente, il carico richiesto per la deformazione diminuisce all’aumentare della deformazione, e tale circostanza si mantiene invariata sino alla rottura.

Nel diagramma si possono individuare tutte le tensioni caratteristiche dei fenomeni sopracitati: tensione limite di proporzionalità σ_p in corrispondenza della fine del tratto elastico, tensione di snervamento σ₀ generalmente poco più alta di σ_p (dopo la quale inizia il tratto plastico), e infine tensione di rottura σ_R, corrispondente alla tensione massima desumibile dal diagramma.

Altre grandezze importanti sono l’allungamento percentuale a rottura A% e la strizione percentuale a rottura S%:

• A% = [(L - L₀) / L₀] × 100
• S% = [(A₀ - A) / A₀] × 100

La differenza tra σ_p e σ₀ è spesso talmente tanto piccola da poter approssimare il diagramma in due soli tratti e considerare unicamente il valore di σ₀ come quello che divide il tratto elastico lineare da quello plastico. Alle tensioni nominali e deformazioni convenzionali, possiamo affiancare rispettivamente le tensioni e deformazioni reali, definite come segue:

• σ_r = (P / A)
• ε_r = ln(L / L₀)

Dove A è l’area della sezione reale del provino (variabile istante per istante); la seconda relazione può ricavarsi integrando tra la lunghezza attuale L ed L₀ la relazione dε=dL/L. Tra le grandezze nominali e quelle reali sussistono le seguenti relazioni:

• σ_r = σ_n (1 + ε)
• ε_r = ln(1 + ε)

Essendo ε > 0 si noti come la tensione reale risulta sempre maggiore di σ_n. L’applicazione delle grandezze reali comporta alcuni vantaggi: innanzi tutto queste, godendo delle proprietà logaritmiche, possono essere sommate, e sono inoltre in grado di fornire una rappresentazione fisica più adeguata.

L'incrudimento e il flusso plastico

Pertanto da ora in poi, parlando di tensioni e deformazioni, faremo riferimento a quelle reali (medesima considerazione vale per il diagramma delle prove). Se il legame lineare in campo elastico tra tensioni e deformazioni è espresso dalla nota legge σ=Eε, nel campo plastico le due grandezze sono invece legate dalla relazione σ = Cεⁿ, dove C ed n sono due costanti caratteristiche del materiale. L’esponente n è detto indice di incrudimento e rappresenta la resistenza offerta dal materiale nel subire ulteriori deformazioni dopo lo snervamento. Si dimostra che il valore di n è pari al valore della deformazione nel punto di strizionamento.

Il limite fondamentale della prova di trazione sta nel fatto che la rottura si verifica spesso per valori contenuti della deformazione, lasciando la possibilità di studiare solo piccoli range di ε. A ciò si può ovviare con una prova di compressione. Tuttavia è difficile realizzare tale prova con uno stato tensionale monoassiale. A tale scopo si perviene approssimativamente inserendo un apposito lubrificante, che limiti sufficientemente gli attriti che si generano tra i piatti della pressa ed il provino, eliminando così le tensioni tangenziali che altrimenti si desterebbero durante la prova. Se ciò viene realizzato efficientemente, la prova di compressione fornisce risultati più completi ed esaurienti rispetto a quella di trazione.

Influenza della temperatura sulle deformazioni

La legge fornisce un’adeguata rappresentazione del comportamento dei materiali in campo plastico unicamente per processi a freddo. La temperatura infatti, influenza notevolmente le caratteristiche meccaniche dei materiali, e lo studio di queste richiede dunque un approccio differente qualora non si lavori a temperatura ambiente.

Le prove di trazione effettuate a temperatura crescente, mostrano una sostanziale riduzione della tensione di snervamento e di rottura, ed un aumento dell’allungamento percentuale a rottura: il materiale diventa via via sempre più duttile e tenace (e malleabile) e si rompe per valori più alti di deformazione.

Inoltre al crescere della temperatura si aggiunge un parametro che, a freddo, era trascurabile: la velocità di deformazione. Essa può così definirsi: v = V / L

Dove V è la velocità alla quale si muove la macchina di prova cui è fissato il provino. Il cambiamento delle caratteristiche meccaniche dei materiali metallici al variare della temperatura è legato principalmente a due fenomeni micro-strutturali: il riassetto e la ricristallizzazione (entrambi dovuti alla mobilità degli atomi all’interno del reticolo cristallino).

L’attivazione di questi fenomeni dipende dal raggiungimento di precise condizioni energetiche, e può avvenire mediante l’applicazione di deformazioni plastiche o avere origini termiche. Si parlerà di riassetto e ricristallizzazione dinamica nel primo caso, statica nel secondo.

Effetto Bauschinger

Vediamo ora cosa succede se un provino viene sottoposto a trazione e successivamente a compressione. Nel corso della prima fase, se viene superato il limite elastico, il materiale sarà certamente incrudito e la sua tensione di flusso plastico non sarà più σ₀, ma si potrà calcolare mediante l’espressione σ = Cεⁿ, essendo ε la deformazione subita sino a quel momento.

Quale sarà adesso la tensione di compressione che è necessario applicare affinché su di esso si abbia una deformazione plastica di compressione? Guardando la figura a fianco si immagini di effettuare la prova di trazione fino al punto A. La nuova tensione di flusso plastico a trazione sarà pari al valore σ_*. Scaricando ed effettuando una prova di compressione si possono fare allora due ipotesi circa il valore della tensione di flusso plastico a compressione: la prima prevede che gli effetti prodotti dall’incrudimento si manifestino in modo isotropo a compressione (incrudimento isotropo) e dunque il valore cercato sarà σ_* (punto B); la seconda ipotesi invece (incrudimento cinematico) ammette che il materiale sia caratterizzato da un dominio di elasticità costante (σ₀; -σ₀), che si sposta rigidamente seguendo il punto rappresentativo dello stato tensionale (punto C).

In realtà sperimentalmente si è osservato che lo snervamento a compressione avviene per un valore di tensione compreso nell’intervallo B-C (punto D): l’incrudimento provocato da un certo tipo di sollecitazione produce i suoi effetti anche quando il materiale viene successivamente sottoposto ad una sollecitazione opposta, pur non seguendo un modello completamente isotropo. Questo effetto viene detto effetto Bauschinger, dal nome del suo primo osservatore.

Teorie sulla plasticità

Abbiamo osservato il problema della plasticità unicamente nel caso di sollecitazione monoassiale. Nella pratica però, è più frequente che un solido sia soggetto ad uno stato tensionale triassiale. Ricerchiamo dunque gli stati tensionali che provocano l’inizio di flusso plastico per solidi soggetti a sollecitazioni triassiali.

La prima teoria circa questa indagine fu quella di Galileo, secondo cui lo stato plastico di un solido è individuato dalla massima tensione positiva: se questa raggiunge il valore della tensione di scorrimento il materiale subisce deformazione plastica. Naturalmente ciò non è corretto in quanto non tiene conto dell’effetto delle altre tensioni positive, ed esclude del tutto che le compressioni possano plasticizzare un materiale.

Successivamente si corresse la teoria di Galileo inserendo le massime tensioni negative, ma tale teoria non teneva comunque conto di tutto lo stato tensionale di un solido. Una teoria innovativa fu quella di Tresca, secondo la quale lo scorrimento plastico si verifica quando la massima sollecitazione tangenziale raggiunge un valore limite, calcolabile riferendoci al caso della trazione monoassiale.

Se abbiamo su un solido uno stato tensionale triassiale, e vale σ₁ < σ₂ < σ₃, la tensione tangenziale massima vale τ_max = (σ₃ – σ₁) / 2. Dunque la condizione sarà: τ_max ≤ τ₀ oppure σ₃ – σ₁ ≤ 2τ₀. Per cui finché risulta verificato che τ_max ≤ τ₀, il materiale non subirà deformazioni plastiche.

Nelle condizioni più generali, nelle quali non è noto l’ordine delle tensioni principali, la condizione di Tresca si traduce in sei equazioni che racchiudano tutti i possibili casi:

• σ₁ - σ₂ ≤ 2τ₀
• σ₂ - σ₃ ≤ 2τ₀
• σ₃ - σ₁ ≤ 2τ₀
• σ₂ - σ₁ ≤ 2τ₀
• σ₃ - σ₂ ≤ 2τ₀
• σ₁ - σ₃ ≤ 2τ₀

Facendo riferimento ad un sistema triassiale che ha per assi le tre tensioni principali, ciascuna equazione di cui sopra rappresenta nello spazio una faccia laterale di un prisma esagonale di altezza infinita: tutti i punti all’interno della superficie di plasticità così formata rappresentano stati tensionali tridimensionali che non porteranno il solido sollecitato a plasticizzare.

Un immediato difetto di questa rappresentazione sta negli spigoli del prisma: ove si incontrano due piani, quale delle due equazioni va considerata? Inoltre se il valore medio è vicinissimo a quello più alto, secondo Tresca non avrebbe comunque effetto. Questi due difetti sono il motivo per cui questa teoria è valida solo per alcuni materiali.

Tuttavia, essendo la superficie di plasticità di Tresca aperta, essa non limita gli stati di trazione o compressione idrostatici: sperimentalmente è risultato vero che gli stati tensionali idrostatici non portano mai il materiale a deformarsi, bensì questo si rompe saltando il campo plastico.

Un ulteriore contributo alla teoria della plasticità fu dato dagli scienziati Beltrami ed Haigh, che ebbero, nello stesso momento, la stessa intuizione: invece di limitare le tensioni, occorre limitare l’energia elastica W; superato un certo limite di accumulazione il provino plasticizzerà. I due pervennero alle seguenti:

• W_e = (1/2E)(σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2ν(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁))
• W_p = (1/2G)(σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)²

La seconda equazione rappresenta un’ellisse nello spazio delle tensioni principali, come mostra la figura a fianco. La teoria di Beltrami-Haigh consente quindi di prendere in considerazione lo stato tensionale nella sua completezza (figurano anche le tensioni intermedie), inoltre una funzione di plasticità quadratica evita la presenza di spigoli. Tuttavia la superficie è chiusa, e dunque limita gli stati tensionali idrostatici.

Teoria di Von Mises

Partendo dall’intuizione di Beltrami e Haigh, il Von Mises formulò una teoria che completasse quelle a lui precedenti. Tenendo conto che in campo plastico non si ha variazione di volume (sperimentalmente verificato), egli propose che non tutta l’energia di deformazione elastica per unità di volume si dovesse prendere in considerazione, ma solo l’aliquota di energia correlata alla variazione di forma.

In termini di tensioni, egli scompose il tensore degli sforzi agenti sul provino in un tensore idrostatico, responsabile della variazione di volume, ed un tensore deviatorico, responsabile della variazione di forma. Solamente l’energia associata al tensore deviatorico dovrà dunque considerarsi per valutare l’instaurarsi di condizioni di deformazione plastica.

Scomponendo il tensore degli sforzi nella somma dei due sopracitati, e trovata l’energia associata al tensore idrostatico, Von Mises calcolò l’energia responsabile della variazione di forma scrivendo W_d = W - W_v. Uguagliando l’espressione di W_d trovata nel caso generale, con quella nel caso unidirezionale al limite di scorrimento (in cui dunque l’unica tensione è σ=σ₀) si perviene a:

• W_d = (1/6G)((σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)²)
• W_v = (1/2K)(σ₁ + σ₂ + σ₃)²

La precedente è la condizione di plasticità secondo Von Mises: il provino di indagine plasticizzerà se il primo membro supera il secondo. La stessa equazione, scritta in funzione di tensioni non principali, diviene:

• (σ_x - σ_y)² + (σ_y - σ_z)² + (σ_z - σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² + τ_zx²) = 2σ_y²

La rappresentazione nello spazio (σ₁, σ₂, σ₃) della condizione di Von Mises è data da una superfice cilindrica indefinita avente per asse la trisettrice del primo ottante, e aperta sia dal lato delle tensioni positive che dal lato di quelle negative (tale cilindro risulta circoscritto alla superficie di Tresca).

Naturalmente la condizione di Von Mises si riferisce alla prima plasticizzazione, oppure ad una plasticizzazione successiva ad una ricottura (unico processo che cancella la “memoria” del materiale riguardo le deformazioni plastiche); se il materiale è già incrudito, al posto di σ₀ andrà inserita la nuova tensione di flusso plastico. Si è osservato sperimentalmente che alcuni materiali rispondono meglio alla condizione di Von Mises, altri a quella di Tresca.

Nella teoria di Von Mises la deformazione plastica si raggiunge quando la tensione tangenziale raggiunge il valore limite τ₀ = 0,577σ₀, mentre nella teoria di Tresca ciò avviene quando τ₀ = 0,5σ₀. Sulla base di tale considerazione, per accertare quale teoria utilizzare per ciascun materiale, basterà fare una prova di trazione ed una di torsione e valutare il rapporto τ₀/σ₀: sceglieremo la condizione di Tresca o di Von Mises se il risultato sarà più vicino a 0,5 o 0,577 rispettivamente.

Esperimenti di Lode

Un’altra esperienza, finalizzata alla determinazione del criterio di plasticità più adeguato, fu condotta da Lode. Egli sottopose un provino tubolare di piccolo spessore a trazione assiale e pressione interna, sollecitazioni che generano uno stato tensionale tridimensionale. In tal modo è possibile far variare in un ampio range il valore della tensione intermedia, in modo da potere efficacemente valutarne l’influenza. Il Lode definì un parametro μ e scrisse le condizioni di Von Mises e Tresca in funzione di esso:

• σ₁ - σ₂ = μ
• σ₂ - σ₃ = μ

La condizione di Tresca, essendo indipendente dalla tensione intermedia σ₂, lo è anche da μ. Diagrammando (σ₃ – σ₁)/σ₀ in funzione di μ...