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DIPENDE DALLA FREQUENZA(eccetto il cut off) e lo spettro è piatto 25Osservazioni: -1/2 -1 1/2J (ν, T )T J (ν, u ) ∝u < u > ∝T1) il fattore che compare nell'espressione di deriva dal fatto che e ->br brall'aumentare della temperatura, l'emissività specifica diminuisce12) l'esponenziale deriva dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Escludendo fenomeni di auto-assorbimento,e h ν/kTovvero supponendo che la nube sia totalmente trasparente alla sua stessa radiazione, possiamo vedere che ladistribuzione spettrale dell'emissione di bremsstrahlung termica è pressoché costante fino ad una certa frequenza ,oltre la quale lo spettro è smorzato dall'esponenziale. Definiamo il cut off il punto in cui l'emissione si attenua di unkTh ν /k T = 1 → ν =1/efattore . La frequenza di cut off, pertanto, si ricava ponendo . Oltre questacu t-of f hfrequenza,
l'andamento diventa di taglio esponenziale, andando rapidamente a zero. [NB) L'andamento spettrale per frequenze minori della frequenza di cut-off non è esattamente piatto ma viene leggermente modificato dal fattore di Gaunt]
ν ∝TNB) -> all'aumentare della temperatura, il cut off si sposta verso destra, cioè verso frequenze maggiori. Questo perché, è pur vero che all'aumentare della temperatura l'emissività specifica della nube diminuisce, ma aumenta l'energia dei fotoni e, quindi, la frequenza della radiazione elettromagnetica emessa -> all'aumentare della temperatura eh ν dell'energia degli elettroni, mi sposto in regioni in cui l'energia dei fotoni diventa consistente -> in tale regione ho pochi fotoni (bassa emissività specifica) che contribuiscono in maniera significativa a radiazione di alta frequenza.
La frequenza di cut off, in quanto osservabile, è
spesso usata per ricavare la temperatura delle nubi astrofisiche che emettono per Bremsstrahlung
Quindi, in generale, all'aumentare della temperatura:
- l'emissività specifica diminuisce
- il cut off (frequenza massima della radiazione emessa) si sposta verso frequenze maggiori.
J (ν, T )
Integrando l'emissività specifica su tutte le possibili frequenze (su tutto lo spettro) si ottiene
L'EMISSIVITÀ TOTALE (energia emessa per unità di tempo e di volume) di una nube di plasma in condizioni di equilibrio termico:
∞ 5 6dW 2π k T 2 π e∫ −1 −32 [erg s c m ]
J (T ) = = J (ν, T )d ν ≈ n n Z g¯ (T )br br e z f fd t d V 3m 3h m c 3e e0 ∞
dW ∫ −27 2J (T ) = = J (ν, T )d ν ≈2.4 × 10 T n n Z g¯ (T )
Numericamente br br e z f fd t d V 0 L og J (ν, T ) − L og ν
Essa rappresenta l'area sottesa alla curva. Si noti che, a differenza
dell'emissività specifica, che DECRESCE al crescere della temperatura, l'emissività TOTALE è DIRETTAMENTE proporzionale alla temperatura. T > T Consideriamo due diverse temperature . Si ha che 2 1 26J (ν, T ) < J (ν, T ) 2 1 -> J (T ) > J (T ) 2 1 ν (T ) > ν (T ) cu t-off 2 cu t-off 1 Difatti, all'aumentare della temperatura, l'emissività specifica diminuisce (cioè la curva si abbassa) e la frequenza di cutoff si sposta verso destra -> questo fa sì che l'area sottesa alla curva aumenti. - L'energia irradiata nell'unità di volume e di tempo, ad una particolare frequenza, (emissività specifica) è maggiore a basse temperature -> perché a basse temperature l'energia degli elettroni è "simile" ed ci sono tanti elettroni che contribuiscono a quella particolare frequenza e, di fatti, a basse temperaturel'intensità dell'emissione luminosa.suaemissività specifica ma aumenta l'energia totale emessa (diminuisce il numero di fotoni emessi ad una particolare frequenza ma si ha emissione di fotoni anche a frequenze maggiori -> la loro energia, estremamente grande, riesce a compensare alla diminuzione del numero dei fotoni a frequenze minori -> l'energia totale emessa aumenta)
NB) La radiazione emessa per bremsstrahlung da un plasma astrofisico NON è polarizzata poiché, a seguito del moto casuale degli elettroni, la radiazione emessa da ciascuno di essi ha una direzione del vettore polarizzazione diversa da quella degli altri elettroni. La radiazione emessa da ciascun elettrone è polarizzata, ma la radiazione emessa dall'intero plasma astrofisico no.
ESEMPIO: Consideriamo un elettrone che si muove con una velocità di 3u = 10 km/s. Calcolare la frequenza della radiazione emessa nell'ipotesi che l'elettrone irradi tutta la sua energia cinetica in una singola interazione.
Nel caso in cui l'elettrone appartenga ad una popolazione di particelle all'equilibrio, la velocità "tipica" è di 10 km/s/termico. Per calcolare la temperatura del plasma, possiamo utilizzare la relazione: T = (v^2 * m) / (3 * k) Dove: T = temperatura del plasma v = velocità tipica m = massa dell'elettrone k = costante di Boltzmann 1) Calcolo della frequenza della radiazione elettromagnetica emessa. Nell'ipotesi che l'elettrone irradi tutta la sua energia cinetica in una singola interazione, l'energia del fotone emesso è data da: E = (1/2) * m * v^2 Da cui si ricava che la frequenza della radiazione elettromagnetica emessa è (REGIONE INFRAROSSA): f = E / h NB) Tale frequenza è la massima frequenza possibile (derivata dalla completa conversione dell'energia cinetica in energia elettromagnetica) - è la frequenza di cut-off. 2) Calcolo della temperatura del plasma. Possiamo usare la relazione per calcolare la temperatura: T = (h * f) / k (E' la temperatura tipica di una regione HII) ESEMPIO: È interessante determinare la frequenza di cut-off.off per un plasma freddo (regioni HII) e per un plasma caldo (IGM negli ammassi di galassie).kTHII = 1014ν (HII) = 2.08 × 10× T ≈ 10 Hz -> le regioni HII hanno frequenza di cut-off di emissione cut-off HII per bremsstrahlung appartenente all'infrarosso -> dal radio all'infrarosso il numero di fotoni emessi è costante con la frequenza (spettro piatto) e decresce esponenzialmente per ν > 10 Hz.
kTIGM = 1018ν (IGM) = 2.08 × 10× T ≈ 10 Hz -> il mezzo intergalattico ha frequenza di cut-off cut-off IGM appartenente ai RAGGI X -> dal radio ai raggi X lo spettro è piatto e decresce esponenzialmente per ν > 10 Hz.
L'emissione di bremsstrahlung del gas del mezzo intergalattico è visibile nella banda ottica.
TEMPO DI RAFFREDDAMENTO
La bremsstrahlung termica è un meccanismo di perdita di energia per il plasma.irradiata complessivamente dal plasma. Il tempo di raffreddamento può essere calcolato utilizzando la seguente formula: Tempo di raffreddamento = Energia termica del plasma / Perdita radiativa per bremsstrahlung In questo caso, l'energia termica del plasma è la quantità di energia disponibile nel plasma, mentre la perdita radiativa per bremsstrahlung è l'energia elettromagnetica dei fotoni che viene irradiata e persa dal plasma. Utilizzando i tag HTML, il testo formattato sarebbe il seguente:
energia in quanto parte dell'energia cinetica degli elettroni (equindi dell'energia termica del plasma all'equilibrio termodinamico) viene irradiata (e quindi persa) sotto forma di energia elettromagnetica dei fotoni. Poiché è l'energia cinetica degli elettroni a determinare la temperatura di un plasma all'equilibrio termico, maggiori sono le interazioni per bremsstrahlung, maggiore è la perdita di energia cinetica degli elettroni e maggiore è il processo di "raffreddamento" del plasma.
Il TEMPO DI RAFFREDDAMENTO è definito come il rapporto tra l'energia termica del plasma e la perdita radiativa per bremsstrahlung -> ho un certo budget di energia (energia termica del plasma), ne spendo una certa quantità (emissione radiativa), quanto può durare la bremsstrahlung termica? NB) per durata non si intende la durata della singola collisione, ma per quanto tempo la bremsstrahlung viene irradiata complessivamente dal plasma.
“attivata” perché gli elettroni continuano ad avere sufficiente energia per irradiare -> dopo un intervallo di tempo pari al tempo di raffreddamento, gli elettroni non hanno abbastanza energia (cioè il plasma è troppo freddo) e la bremsstrahlung non può attivarsi nuovamente.
3 (n + n )k TthE e ztot 2brt = = [sec] tempo necessario affinché il plasma converta cooling J (T ) 2.4 × 10 T n n Z g¯ (T )−27 2br e z f f completamente l'energia termica in energia radiativa.
NB) Il budget totale di energia che ho a disposizione è l’energia cinetica posseduta sia dagli elettroni che dagli ioni. Se un elettrone è ormai passato nei pressi di uno ione, la sua energia cinetica è stata già convertita in energia termica: esso è fermo, non fa bremsstrahlung. Tuttavia se nelle sue vicinanze passa un protone, posso mettermi nel sistema di riferimento del protone rispetto al quale l'elettrone
sarà in moto: l'elettrone può fare il bremsstrahlung. Ciò che conta nel processo è infatti la velocità relativa: l'elettrone, che si muove rispetto al protone, viene decelerato dal campo di attrazione coulombiana e perde energia -> emissione. All'equilibrio termico devo considerare che elettroni e protoni siano alla stessa temperatura (non la stessa velocità in quanto questa dipende dalla massa: protoni, di massa maggiore, hanno velocità più basse) quindi, nel calcolo dell'energia totale, devo considerare entrambi i contributi. 28n ≈ nNei plasmi astrofisici (predominanza di idrogeno) si ha :z eth 11 3E 3n k T 1.8 × 10 6 × 10tot ebr = T -> Tt = ≈ [sec] [yr]cooling n ḡ n ḡJ (T ) 2.4 × 10 T n Z ḡ (T
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