Processi di radiazione (bremsstrahlung, sincrotrone, compton), Appunti esame Processi di radiazione & MHD

1

PROCESSI DI RADIAZIONE

RADIAZIONE di UNA PARTICELLA CARICA ACCELERATA

La derivazione rigorosa della radiazione prodotta da una particella carica accelerata parte dalle equazioni di Maxwell e

dalla scrittura dei potenziali ritardati per il campo elettrico e magnetico in un punto distante r dalla carica accelerata.

⃗ ⃗ ⃗

j

ρ

E B

Si parte dalle Equazioni di Maxwell in presenza delle sorgenti per i campi e ( e ) che, nel sistema CGS, hanno la

e

forma: ⃗ ⃗

[1] ∇ ⋅ E = 4πρ [2] ∇ ⋅ B = 0

⃗ ⃗

e

⃗ ⃗

1 ∂ B 4π 1 ∂ E

⃗

[3] ∇ × E = − [4] ∇ × B = − j +

c ∂t c c ∂t

Si introducono: ⃗ ⃗ ⃗

⃗

A = A ( r,

⃗ t) B = ∇ × A

- Il potenziale vettore tale che ⃗

⃗ 1 ∂ A

E + = − ∇ϕ

ϕ = ϕ( r,

⃗ t)

Il potenziale scalare tale che

- c ∂t ⃗ ⃗

E B

Tali potenziali non sono univocamente determinati: infatti i campi e risultano essere invariati per le

TRASFORMAZIONI di GAUGE:

⃗ ⃗ 1 ∂ψ

A → A + ∇ψ ϕ → ϕ − ψ

; dove =funzione scalare.

c ∂t ⃗ 1 ∂ϕ

∇ ⋅ A + = 0

ψ

Si sceglie in modo tale che sia soddisfatto il Gauge di Lorentz: c ∂t

Sotto queste condizioni si ha che i due potenziali soddisfano le equazioni:

2

1 ∂ ϕ 4π

2

∇ ϕ − = − ρ

e

c ∂t c

2 2 ⃗

⃗ 2

1 ∂ A 4π ⃗

2

∇ A − = − j

c ∂t c

2 2

Le soluzioni di queste equazioni sono i POTENZIALI

RITARDATI: ⃗ ⃗

⃗ 3

( )

r ⃗ − r′ d r′

| |

∫

ϕ( r,

⃗ t) = ρ r′ , t − ⃗

e c r ⃗ − r′

| |

Vol ⃗ ⃗

⃗

⃗ 3

( )

1 r ⃗ − r′ d r′

| |

∫ ⃗

A ( r,

⃗ t) = j r′ , t − ⃗

c c r ⃗ − r′

| |

Vol P = P( r,

⃗ t) r ⃗

I potenziali sono calcolati nel punto posto ad una distanza dall’origine del sistema di riferimento;

⃗

⃗

∫ 3

3

q = ρ d r′ d r′

l’integrale, invece, è effettuato sull’intera distribuzione di carica dove è l’elemento di volume posto

e

⃗

r′

ad una distanza dall’origine del sistema di riferimento. ⃗

r′

r ⃗ t

Il valore dei potenziali nel punto all’istante dipende dalle caratteristiche della sorgente che si trova nel punto

t′ t′ t

all’istante precedente . (tempo in cui valuto la sorgente) precede (tempo in cui calcolo i potenziali) solo per un

⃗ ⃗

r′ r′

r ⃗

intervallo di tempo necessario alla luce per viaggiare da a . Il senso è che l’informazione del punto

⃗

(caratteristiche della distribuzione di carica) si propaga alla velocità finita della luce e, pertanto, i potenziali calcolati nel

⃗ r ⃗ − r′

| |

r′ t = t′ +

r ⃗

punto sono influenzati dalle condizioni del punto solo ad un tempo ritardato c

POTENZIALI DI LIÉNARD-WIECHART : potenziali elettrodinamici di una particella carica che percorre un’arbitraria

traiettoria dipendente dal tempo. ·

⃗

u = r ⃗ (t)

r ⃗ = r ⃗ (t)

Consideriamo ora una carica q che si muove lungo una traiettoria con una velocità . La posizione

0

0

della carica lungo la traiettoria è parametrizzata dal tempo t. r ⃗

Si ha che la distribuzione di carica e la densità di corrente, in un punto generico di osservazione (posizione della carica

ad un tempo t) sono date da:

ρ ( r,

⃗ t) = qδ( r ⃗ − r ⃗ (t))

e 0

⃗

⃗

j( r,

⃗ t) = q u (t)δ( r ⃗ − r ⃗ (t))

0 2

Cioè alla particella carica puntiforme possiamo associare una densità di carica ed una

⃗ ⃗

j( r,

⃗ t) = j(r , r , r , t)

“quadricorrente” ( è un quadrivettore) che costituiscono rispettivamente un campo scalare e un un

x y z

campo vettoriale a valori nelle distribuzioni (-> le loro componenti sono elementi nello spazio delle distribuzioni e non

nello spazio delle funzioni) a causa della presenza nella sua espressione della delta di Dirac.

δ

La di Dirac ha la proprietà di localizzare istante per istante la posizione della carica e possiamo ad essa associare il

significato di “densità di un punto”. {

∞ ↔ r ⃗ = r ⃗

0

δ( r ⃗ − r ⃗ (t)) =

Infatti, dalla definizione impropria della delta di Dirac: 0 0 ↔ r ⃗ ≠ r ⃗

0

Cioè, associamo alla carica puntiforme (che possiamo approssimare ad una distribuzione di carica avente volume

⃗

j( r,

⃗ t)

V → 0 ρ ( r,

⃗ t)

) una densità di carica ed una densità di corrente che saranno NULLE per tutti i punti NON

⃗

e r ⃗ = r

occupati dalla particella, e nel punto si avrà

0

∫ ∫ 3

q = qδ( r ⃗ )d r ⃗ = lim ρ ( r,

⃗ t)d r ⃗

e

V→0

⃗ ⃗

∫ ∫ ⃗ 3

q u = q u (t)δ( r ⃗ )d r ⃗ = lim j( r,

⃗ t)d r ⃗

V→0

r ⃗ t t′ t′

I potenziali, calcolati nel punto all’istante dipendono dalle caratteristiche della particella al tempo precedente ( è

t′ t

detto TEMPO RITARDATO in quanto “noi lo percepiamo ritardato” seppur precede ), quando la particella occupa la

⃗

r′ = r ⃗ (t′

) δ

posizione . Introducendo la di Dirac i potenziali ritardati diventano:

⃗ ⃗

0

⃗ 3 ( )

d r′ r ⃗ − r′

| |

∫

ϕ( r,

⃗ t) = ρ ( r′ , t′

) δ t′ − t + d t′

⃗

e c

r ⃗ − r′

| |

⃗ ⃗

⃗

⃗ 3 ( )

1 d r′ r ⃗ − r′

| |

∫ ⃗

A ( r,

⃗ t) = j( r′ , t′

) δ t′ − t + d t′

⃗

c c

r ⃗ − r′

| |

Inserendo le definizioni di densità di carica e di corrente, gli integrali di volume diventano integrali sul tempo lungo la

traiettoria: ( )

r ⃗ − r ⃗ (t′

)

1 | |

∫ 0

ϕ( r,

⃗ t) = q δ t′ − t + d t′

r ⃗ − r ⃗ (t′

) c

| |

0

⃗

⃗ ( )

r ⃗ − r ⃗ (t′

)

q u (t′

) | |

∫ 0

A ( r,

⃗ t) = δ t′ − t + d t′

c r ⃗ − r ⃗ (t′

) c

| |

0

⃗

r ⃗ (t′

) = r′

dove 0 P = P( r,

⃗ t)

NB: è come se l’osservatore “vedesse” la particella in quando essa ha già oltrepassato tale punto -> i

P = P( r,

⃗ t)

potenziali misurati in non dipendono quindi dalle caratteristiche “attuali” della particella (la quale è già

andata “oltre”) ma dalle caratteristiche della particella ad un tempo “precedente”, quando la particella occupava un punto

⃗

P′ = P′

( r′ , t′

)

“precedente” .

⃗ ⃗

r ⃗ − r ⃗ (t′

) = R (t′

) → r ⃗ − r ⃗ (t′

) = R (t′

) = R(t′

)

| | | |

Ponendo 0 0

I potenziali diventano ( )

1 R(t′

)

∫

ϕ( r,

⃗ t) = q δ t′ − t + d t′

R(t′

) c

⃗ ( )

⃗ q u (t′

) R(t′

)

∫

A ( r,

⃗ t) = δ t′ − t + d t′

c R(t′

) c

δ t′ = t

Si noti che l’argomento della di Dirac si annulla per un valore del tempo ritardato dato da

ret

c (t − t ) = R(t )

.

ret ret R(t′

)

t′ → t′

′ = t′ − t +

Cambio di variabile c

1 ·

d t′

′ = d t′ + R(t′

)d t′

c 3

⃗ ⃗

2

R (t′

) = R (t) ⋅ R (t)

Si consideri ora l’identità: · · ·

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

·

2R(t′

) R(t′

) = R (t) ⋅ R (t) + R (t) ⋅ R (t) = 2 R (t) ⋅ R (t)

t′

derivando rispetto a si ha:

⃗ ⃗

da cui si ricava che

· ·

⃗ ⃗

R (t) 1 R (t)

·

R(t′

) = ⋅ R (t) d t′

′ = d t′ + ⋅ R (t)d t′

. Allora

R(t′

) c R(t′

)

⃗ · ·

⃗ ⃗

u = r ⃗ (t) → r ⃗ (t′

) = u (t′

)

R (t′

) = r ⃗ − r ⃗ (t′

)

Dalla definizione e tenendo presente che si ha che

0 0

0

· ⃗ ⃗

R (t′

) = − u (t′

) [vettore velocità, tangente in ogni punto alla traiettoria]

⃗

R

̂

n =

Introducendo il vettore unitario [esprime la direzione del punto di osservazione, cioè la direzione del punto

R

P = P( r,

⃗ t) , rispetto alla posizione della carica, in cui calcolo i potenziali].

1 ⃗

̂

d t′

′ = [1 − n(t′

) ⋅ u (t′

)]d t′

Pertanto l’incremento può essere scritto c

1

d t′ = d t′

′

⃗

da cui si ricava che 1 ̂

[1 − n(t′

) ⋅ u (t′

)]

c

Allora i potenziali diventano:

1 1

∫

ϕ( r,

⃗ t) = q δ(t′

′

) d t′

′

⃗

R(t′

) 1 ̂

[1 − n(t′

) ⋅ u (t)]

c

⃗

⃗ q u (t′

) 1

∫

A ( r,

⃗ t) = δ(t′

′

) d t′

′

⃗

c R(t′

) 1 ̂

[1 − n(t′

) ⋅ u (t)]

c R(t′

)

δ t′

′ = 0 t′ = t = t −

La funzione può essere integrata se , cioè se rec c

Si ottengono i Potenziali di Liénard-Wiechart:

q

ϕ( r,

⃗ t) = R(t )κ

ret ret

⃗

⃗ q u

A ( r,

⃗ t) = cR(t )κ

ret ret

Tali potenziali differiscono dal caso statico per due motivi:

1 ⃗

̂

κ = 1 − n(t′

) ⋅ u (t′

)

1) La presenza del termine ret c ⃗ κ

u = 0 → κ = 0

Nel caso elettrostatico, infatti, la particella è ferma . Il termine diventa predominante a velocità

ret

ret

relativistiche, tendendo a concentrare i potenziali in uno stretto cono nella direzione di avanzamento della carica (effetto

⃗ ⃗

̂

n(t′

) ⋅ u (t′

) u

beaming) -> il prodotto scalare proietta i potenziali lungo la direzione della velocità della particella.

k = 0 → ∄

t

2) Le quantità devono essere tutte valutate ad un tempo ritardato [nel caso elettrostatico i potenziali

ret ret

ritardati -> nel caso elettrostatico, i potenziali sono statici e non cambiano in funzione del tempo]. La principale

conseguenza del ritardo è che rende possibile alla particella irradiare.

−1

R

Si noti che i potenziali decrescono approssimativamente come di modo che se si differenziasse, per calcolare i

⃗ ⃗ −2

E B R

campi e , si troverebbe che questi decrescono come , se la differenziazione agisse esclusivamente sul fattore

R(t′

)

−1 t′ = t = t −

R . Ma la presenza del ritardo, cioè del termine , introduce nell’espressione dei potenziali un

rec c ⃗ ⃗ −1

R(t′

) E B R

altro fattore e questo fa sì che, differenziando, si trovi che i campi e decrescono come -> in qualche

modo, la presenza del ritardo “smorza” la decrescita dei campi ed è proprio questo che permette all’energia della

radiazione di fluire a distanze infinte 4

⃗

CAMPO DI RADIAZIONE ⃗ ⃗

u ⃗

β = k = 1 − u ⋅ β

Poniamo, per semplificare la notazione, e

c ⃗

r (t )

t

Differenziando i potenziali, noti il tempo ritardato e la posizione ritardata della particella, si calcolano i campi

0 rec

rec

P = P( r,

⃗ t)

nel punto : ⃗ ( )

·

⃗ ⃗

2

⃗ ⃗ ⃗ [ ] [ ]

̂

(

n− β )(1 − β ) q 1 ̂ ̂

q n × (

n− β ) × β

E ( r,

⃗ t) = E ( r,

⃗ t) + E ( r,

⃗ t) = +

R θ k R c k R

3 2 3

⃗ ⃗

̂

B ( r,

⃗ t) = n × E ( r,

⃗ t)

t

Al tempo la particella si trova in un qualche punto della sua

traiettoria, ma solo le condizioni al tempo ritardato determinano

r

i campi nel punto al tempo t.

Il campo elettrico è costituito da due componenti: ⃗ 2

⃗ [ ]

̂

(

n− β )(1 − β )

q

E ( r,

⃗ t) =

1. CAMPO DI VELOCITÀ R k R

3 2

2

1/R

Decresce come ed è semplicemente una generalizzazione della legge di Coulomb per cariche in movimento: per

⃗ ⃗ ⃗ q

⃗ ⃗ ̂

u

β k = 1 − u ⋅ β → 1 n

c E ( r,

⃗ t) =

<< 1, cioè per << , si ha che e si ottiene legge di Coulomb .

R R 2

Il campo di velocità è il solo termine che contribuisce al campo elettrico quando la particella si muove con velocità

⃗

costante. In questo caso il campo elettrico punta sempre verso la direzione dell’ATTUALE posizione della particella,

̂

(

n− β )

indicata con . P = P( r,

⃗ t)

Questo deriva dal fatto che la distanza tra il punto in cui calcolo il campo e il “punto ritardato” (posizione

⃗

⃗ ̂ ̂

r (t ) (t − t )

R ( r,

⃗ t) = nR(t ) = nc (t − t )

della particella al tempo ritardato) è , dove è il tempo di

0 rec rec rec rec

propagazione della luce. ⃗

⃗

u (t − t ) = β c (t − t )

Nello stesso intervallo di tempo, la particella subisce uno spostamento rec rec

Così, la distanza tra il punto in cui calcolo il campo e la posizione attuale della particella è

⃗

̂

(

n− β )c (t − t )

ret ( )

·

⃗ ⃗

⃗ [ ]

q 1 ̂ ̂

n × (

n− β ) × β

E ( r,

⃗ t) =

2. CAMPO DI ACCELERAZIONE θ c k R

3 · ⃗ ̂

β

1/R n

Decresce come , è proporzionale all’accelerazione della particella ed è perpendicolare a .

⃗ ⃗ ⃗

A grandi distanze dalla carica accelerata sopravvive solo il campo di accelerazione

̂

E ( r,

⃗ t) B ( r,

⃗ t) = [

n × E ( r,

⃗ t)]

Campo di accelerazione e corrispettivo campo magnetico costituiscono il CAMPO

⃗ ⃗

θ θ θ

E = B

| | | |

DI RADIAZIONE di una carica accelerata: i loro moduli sono legati dalla relazione θ θ ⃗

E

NB) La radiazione emessa da una particella carica accelerata è POLARIZZATA: il campo elettrico della radiazione θ

· ⃗

̂ ̂

n × (

n × β )

non ha una direzione casuale ma ben definita da

⃗ ⃗ ̂

n

E B

Inoltre, - - costituiscono una terna destra di vettori mutuamente ortogonali.

θ θ La figura mostra geometricamente in che modo un’accelerazione può generare

1/R

un campo trasversale che diminuisce come .

Consideriamo una carica q, stazionaria, nell’origine O di un sistema di

riferimento inerziale S al tempo t=0. Supponiamo che la carica subisca una

Δu

lieve accelerazione (piccola variazione di velocità ) in un piccolo intervallo di

Δt

tempo

Dopo un certo tempo t, possiamo distinguere tra la configurazione del campo 5

r = c t

all'interno e all'esterno di una sfera di raggio centrata nell'origine di S, ricordando che i disturbi elettromagnetici

vengono propagati alla velocità della luce nello spazio libero.

Configurazione delle linee di campo elettrico:

- Al di fuori della sfera, il campo è radiale e punta verso la posizione O in cui la particella sarebbe stata se non ci fosse

stata accelerazione, in quanto, a questa distanza, l’”informazione” che la particella è stata accelerata non si è ancora

propagata non potendo questa viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce-> per un osservatore posto ad

R > c

una distanza la particella non ha ancora subito un’accelerazione ed è ancora in quiete: pertanto, genera un

2

1/R

campo Coulombiano che decresce come .

- All'interno di questa sfera (nei punti interni l’informazione relativa alla perturbazione del campo è già giunta) le linee di

campo sono ancora radiali ma centrate nell'origine di un nuovo sistema di riferimento che è solidale con la carica in

movimento -> il campo all’interno del raggio punta verso la direzione reale della particella. R = c t

Dall’immagine si può vedere che la zona di transizione tra i due campi, delimitata dalla sfera di raggio , si

cΔt

propaga verso l’esterno identificando un sottile guscio di spessore . In questo guscio sferico esiste una componente

E

del campo elettrico trasversale che collega i due campi radiali situati all’esterno e all’interno della sfera: tale

θ

componente del campo elettrico è molto più intensa rispetto ai due campi radiali, in quanto le linee di campo sono più

fitte E 1/R

Ulteriori argomenti geometrici possono essere usat