Processi Aleatori

20/01/2022

PROCESSI STOCASTICI

• caratterizzazione temporale toro
• supponiamo di avere una sorgente

→ regole certo: se a priori

"in un processo reale una la trasmissione ↔ non ho riduzione dell'incertezza ⇒ non avrebbe senso e non ne avrei bisogno "

• SEGNALI ALEATORI
• aleatorietà riguardo il fenomenorispetto a qualcosa

L'INSIEME DEI SEGNALI EMESSI DALLA SORG. ALEATORIAÈ IL PROCESSO ALEATORIO

REALIZZAZIONI

X;_ALEATORIETÀ

PROCESSO ALEATORIO > X(t;ω)

se fisso ω ho un segnale preciso → realizza. del segnaleARRIVO AD UN SEGNALE CERTO

se fisso un valore nel tempo

X(t₀;ω)

⇒ L'INSIEME DEI VALORI TEMPORALI È L'INSIEME DELLE POSSIBILIDETERMINAZIONI DELLA V.A.

DETERMINAZIONE: t e ω FISSI

⇒ V.ALEATORIA È SUL VERTICALE

SULL'ORIZZ: REALIZZ. PROCESSO ALEAT.X(t;ω)

DEFINIZIONE - PROCESSO ALEATORIO

Dato uno spazio di probabilità (Ω, ℱ, P) e un sottoinsieme I⊆ℝ, si definisceprocesso aleatorio e si indica con

X(t;ω)

una funzione reale X definita sullo spazio T×Ω

X: T×Ω → ℝ

tale che per ogni t∈T, X(t,ω) sia una variabile aleatoria

CASO SEMPLICE - CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DI UN PROCESSO ALEATORIO

t = t₁, t₂, t_n

STATISTICA DI ORDINE N

Dx₁,x₂ = xₙ (x₁,x₂ ... xₙ | t₁,t₂ ... tₙ)

Px₁,x₂ = xₙ (x₁,x₂ ... xₙ | t₁,t₂ ... tₙ)

Si definisce gerarchia di ordine N l'insieme di tutte le statistiche fino all'ordine N

MEDIE TEMPORALI

Hp: x(t) segnale di potenzax(t) = f[x(t)]x(t) = f[x(t+T)]

media temporale del 1° ordine

f²(x(t)) = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f²(x(t)) dt

→ ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) dt → x²(t) = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) dt

→ ∫_-Δt/2^Δt/2 x²(t) dt = P_x

media temporale 2° ordine

f[x(t), x(t + τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f[x(t), x(t + τ)] dt

→ f[x(t), x(t + τ)] = x(t) x(t + τ)

→ f[x(t), x(t + τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t)x(t+τ)dt = P_xx(τ)

calcolo

• x=2
• y=z-2+1

ottengo

a che

• x=2
• y=z-2+1

ni ha

• 0 <= 2-y < 5/2
• z <= 5/2

1. x=5
2. altrive

quindi:

• P_Z,2(Z,{,1})=k(z,2)
• 0 con

svolgi poi h(z) (-2/) F_Z,2(Z,2)_q,(Z,0)

per ottenere dalla funzione acquista

• P_Z,2(z) dovessi

1. (Z < ^})P_Z,2(--,-,-,.)](
2. P_i
3. k d(0=k[-z+5/2]

P_Z,2(Z)

• Soddisfa la condizione di normalizzare

P_Z,2(Z)=3/2

• per z/2, 1questo è z+1

P_X,2

con O <= z <= 5

P_i(P_i)

z con x/2 dx

1. P_Z,2(Z)
2. =k[3/2, 3/2]

u⁽¹¹⁾_x1x2(τ) = e^-β/2 cos(α|τ|+φ) = ρ_x1x2(τ)

u⁽¹¹⁾_xx(τ) = x₁x₂:cos(α|τ|+φ + ψ) = cos(2παβ(τ+t) + φ)

A cos(2παβ(τ+t) + φ) = p²/π

∫∫ ρ_x1x2(x₁, x₂; τ) dx₁ dx₂ = ∫∫ cos[(t+τ)φ]dφ = φ/2

∫∫₀^∞ cos(α|τ|+φ) dτdφ = (φ/2) + const.

TASFORMAZIONI di PROCESSI

x(t) ————> z(t)

y(t) é(x(t), y(t))

z(t) é - z(t) = x(t) + y(t)²

P²:

z²(t) = [x(t) + y(t)]² = x²(t)² + y²(t) = (x²(t) + y²(t))

+ 2.2 x(t)y(t)²

arg (x) = (x²₁ + y²₁ √)

+ 2.2 x(t)y(t)

p₁ = x₁y₁:2x₁y₁

← x^-2₁ + y^-2₁ + x^-2₁

(t=0) x^-1₁ y^-1₁

x²(t) + y²(t) + 2(x(t)y(t))

∼ x, ∫x(t) = 0 === 〉 y²: ∼ y(t) : x∼(t) = 0

p₂ = x⁽¹⁾(t) x⁽¹⁾(t): y⁽¹⁾(t) = x + y

= p(x+x)

GERARCHIA DI ORDINE 4 – STATISTICA ORDINE 1 IN QUESTO CASO

f_z(z) = ?

f(z = x+y) ρ_x(x,y) P_z(Z) = ∫_−∞^∞ ρ_zx(z,x)dx

ζ_x = x ρ_zx(Z,x)

P_z(z) = ρ_x(t) × ρ_β(z)

nell'ipotesi di indp. statistica

∫QUARD β+αx₁ + αx₂ + ... + αwN

P₄(4):

ρ_y( 1 /(y / αw)

14/01/2022

_X intendi calcolare var ^{Y = ∑}_i=1 a_i var^x_i; sempre vero

σ_Y² = E_Y{(Y-μ_X)² } = E_Y { (∑_i=1ⁿ a_i(x_i-μ_X))² } = ∑_i=1 a_i² σ_X² + ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ a_ia_j E_X{(X_i-μ_X)(X_j-μ_X)}

+∑ E_X{(X_i-μ_X)_i=2 (X_j-μ_X)}

sempre vero

IPOTESI INDEPENDENZA STATISTICA

hp: v.a. X_i stat. indip.

statistica in dipendenza => IN CORRELAZIONE => E_X{(X_i-μ_{Xi)(Xj-μXj)} = 0}

σ_Y² = ∑ a_i² E_i { (x_i-μ_{Xi)} = ∑ ai² σXi² }}

PRODOTTO di PROCESSI ALEATORI

X(t) Y(t)

Z(t)

il prodotto di due processi aleatori stazionari ed ergodici è esso stesso un processo stazionario ed ergodico

Z(t) = X(t)Y(t)

_z(t) = x _ty_i

z(t) = x_i²x_i,j x_iⁿ y_i,j = x(t)y(t)

hp: x(t) ≠ x(t) stat. indipendenti

z(t) = x(t)y(t) = _ergodici x_i y_i

^fast

_fast

AUTOCORRELAZIONE

p_XX (τ) = p_XX (τ)p_YY (τ) STAT. INDIP

μ_ZZ² (τ) = μ_XX² (τ) μ_YY⁽¹¹⁾ (τ)

p_Z = ∫ _τ [Z²/2]_τ=0

POTENZA = AUTOCORR. IN ∅

ESERCIZIO

x(t) - y(t)

y(t) = x(t) + x²(t)

Se x(t) è un processo gaussiano staz. ed ergodico con u_x=0 e spettro di densità di potenza (psd) P_x(f) = rect₁₀(f)

P_y(f) = ?

ESERCIZIO 3

X(t) → (t) → Y(t)

a(t) = cos(2πf₀t + φ)   f₀ = Δw

P_x(f₃) = NO rect(u(f₃))

P_y(f_φ), P_v(f_φ), P_z(f_φ) = ?

• P_y(f₃) = {} {P_y(u(t)) = } {X₁ X₂ Δw₁ T = } {X₁ Y₁ Y₄ X₄ Y₁ T = X⁽¹⁾ Y⁽¹⁾ (t) = V₁ V₂}

P_v(f_φ) = {} P