Processi Aleatori

PROCESSI STOCASTICI

• caratterizzazione temporale
• supponiamo di avere una sorgente

segnale certo: se a priori

... in un processo reale avrà la trasformazione xx non avrebbe senso e non ne avrei bisogno

SEGNALI ALEATORI

aleatorietà riguarda il fenomeno rispetto a qualcosa

L'INSIEME DEI SEGNALI EMESSI DALLA SORG. ALEATORIA E IL PROCESSO ALEATORIO

RELAZZAZIONI

PROCESSO ALEATORIO → X(t;ω)

• se fisso ω ho un segnale preciso → realiz. del segnale
• q ARRIVO AD UN SEGNALE CERTO

se fisso un valore nel tempo → x(t;ω)

DETERMINAZIONE: t e ω FISSI

DEFINIZIONE - PROCESSO ALEATORIO

Dato uno spazio di probabilità (Ω, F, P) e un sottoinsieme T ⊆ ℝ, si definisce processo aleatorio e si indica con

X(t;ω)

una funzione reale X definita sullo spazio T × Ω

tale che per ogni t'∈T, X(t',ω) sia una variabile aleatoria.

Caso Semplice - CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DI UN PROCESSO ALEATORIO

• τ = ] t₁ t₂ ... t_n]

PROCESSI STOCASTICI

• caratterizzazione temporale τ
• supponiamo di avere una sorgente

segnale certo: se a priori in un processo reale non ho trasformazioni o non ho riduzione dell'incertezza => non avrebbe senso e non ne avrei bisogno

SEGNALI ALEATORI

• aleatorietà riguarda il fenomeno rispetto a qualcosa

L'INSIEME DEI SEGNALI EMESSI DALLA SORG. ALEATORIA E IL PROCESSO ALEATORIO

DETERMINAZIONE

REALIZZAZIONI ALEATORIETA

PROCESSO ALEATORIO ➔ X(t;ω) se fisso ω ho un segnale preciso -> realiz. del segnale ➔ ASCINO AD UN SEGNALE CERTO

se fisso un valore nel tempo ➔ X(t;ω) L'INSIEME DEI VALORI TEMPORALI E L'INSIEME DELLE POSSIBILI DETERMINAZIONI DELLA V.A. V.ALEATORIA E' SUL VERTICALE SULL'ORIZZ.REALIZZ.PROCESSO ALEAT.X(t;ω)

DETERMINAZIONE: t e ω FISSI

DEFINIZIONE - PROCESSO ALEATORIO

Dato uno spazio di probabilità (Ω,,P), e un sottoinsieme T⊆ℝ, si definisce processo aleatorio e si indica con X(t;ω) una funzione reale X definita sullo spazio T×Ω X: T×Ω → ℝ

tale che per ogni t'_j∈T, X(t',ω) sia una variabile aleatoria.

CASO SEMPLICE – CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DI UN PROCESSO ALEATORIO τ=^j t, t₂, ... t_n

x₁ D_x(x₁,t₁) P_x(x₁,t₁)x₂ D_x(x₂,t₂) P_x(x₂,t₂)x_N D_x(x_N,t_j) P_x(x_N,t_N)statistica di ordine 1D_x,i(x_i,t_i)i=1, 2,...,NP_x,i(x_i,t_i)statistica di ordine 2D_x,ij(x_xi,x_j,t_i,t_j)P_x,ij(x_i,x_j,t_i,t_j)∀ i,j i≠j

STATISTICA DI ORDINE N

MEDIE TEMPORALI

Hp: x(t) segnale di potenzax(t) f[x(t)]media temporale del 1^o ordine

∫^Tf[x(t)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f[x(t)] dtx ∫^Tf[x(t)]= x(t) = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) dt

∫^Tf[x(t)] = x²(t) ⇒ = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x²(t) dt = ρ_x

media temporale 2^o ordine

∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f[x(t),x(t+τ)] dt

∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = x(t)x(t+τ)∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t)x(t+τ) dt = ρ_xx(τ)

Media Temporale di Ordine N

Ē = lim(Δt -> ∞) (1/Δt) ∫ X(t)X(t+τ₁), X(t+τ₂), ..., X(t+τ+N)] dt

Medie d'Insieme

l²(X) = Eₓ - {l(X(t₁,ω))}_t₁ = Eₓ₁,ₓ₂{l(X(t₁), X(t₂))}

Valore quadratico medio