Probabilità - Distribuzioni, Rette di Regressione, Vettore Aleatorio

La varianza è: +∞ 2 ()

() = ∫ ( − ℙ())

−∞

La funzione di ripartizione è: () ()

= ( ≤ ) = ∫

La funzione di sopravvivenza è: () ()

= 1 − = ( > )

La funzione di rischio è: () ∀ > 0: ℎ() ≥ 0

′ ()

() +∞

′

())

ℎ() = =− = −(ln = {

() ∫ ℎ() = +∞

() ()

−∞

La probabilità che X assumi un valore x: ()

( = ) = − lim ()

−

→

La funzione caratteristica è:

() () ()

= ℙ( = ∫ () =

)

=+

ℝ

Il momento r-esimo è: ()

(0)

)

= ℙ( =

- Uniforme: ~

[,]

0 , ∉ [, ]

1

()

= {

, ∈ [, ]

− +

ℙ() = 2 2

( − )

() = 12

0, <

−

() , ≤ ≤

= {

−

1, >

- Beta: ~ ()

,

0 , ∉ [0,1]

()

= {

−1 −1

(1 − ) , ∈ [0,1]

Dove k è Γ( + )

= Γ() − Γ()

Con la proprietà che Γ( + 1) = Γ()

ℙ() = +

() = 2

( (

+ ) + + 1)

- Esponenziale: ~()

0 , < 0

()

= {

−

, ≥ 0

1

ℙ() =

1

() = 2

0, < 0

()

= {

−

− + 1, ≥ 0

1, > 0

()

= {

−

, ≤ 0

Nota: la distribuzione esponenziale e quella geometrica godono della proprietà di

ASSENZA DI MEMORIA

()

=

−

- Normale: ~()

1 1 2

− 2

() =

√2

ℙ() = 0

() = 1 2

−

()

= 2

Ha proprietà: −

() ()

( ≤ ≤ ) = ∫ () = − = ∫ () = (− ≤ ≤ −)

−

- Normale non standard: ~ ()

, 2

1 1 −

− ( )

() = 2

√2

ℙ() = 2

() = 2 2

−

()

= 2

− −ℙ()

= =

Con √() () = ()

,

ℙ() = 0 e () = 1

−

() ()

= = ( )

,

- Lognormale:

= ~()

(0,

= +∞)

0, ≤ 0

(ln )

()

= {

(ln ) = , > 0

- Gamma: ~ ()

,

0, ≤ 0

()

= { −1 −

, > 0

Γ()

ℙ() =

() = 2

()

= ( )

−

()

~ = ()

Nota: 1,

Vettore Aleatorio: = ( , , … , )

1 2

Se è composto da variabili aleatorie:

- Discrete:

), ( )) ) )

( = ) = (( = … , = ⇒ ( = … ( =

1 1 1 1

) )ℙ( ) )

ℙ() = ℙ( , , … , = ℙ( … ℙ( = ∑ ( = )

1 2 1 2

∈

Le marginali sono: ( = ℎ) = (( = ℎ) ∧ ⋁( = ))

- Continue:

() ( )

= , … , ⇒ ( ) … ( )

… 1 1

1 1

Le marginali sono: () ()

= ∫ …

2

1 −1

ℝ

) ( )

ℙ( = ∫

1 1 1 1

1

∁ 1

Retta di regressione:

Retta di regressione di Y su X: = +

Dove

= − =

Retta di regressione di X su Y: = +

Dove

= − =