Probabilità

PROBABILITÀ

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PROBABILITÀ

Effettuando questo studio ci proponiamo di dare questo significato allo studio della caratteristica tipica macroscopica sulla popolazione di partenza. In particolare, lo studio di questi aspetti permette di regolare in maniera più appropriata una certa convenienza affinché non si riproponga. Bisogna sempre tenere presente che sulla base di tali stime possiamo migliorare la scelta di cosa fare e cosa no. Questo viene applicato agli aspetti fertili e in forma tale da giocare l'architetto che popolarità non venga applicato a degli eventi casuali desiderati.

Una volta scelto un evento si deve definire un insieme di possibili esiti e questi esiti vengono chiamati eventi.

Distinguono EVENTI ELEMENTARI da EVENTI NON ELEMENTARI.

EVENTO ELEMENTARE: è uno e uno solo il possibile esito tra tutti gli esistenti.

EVENTI NON ELEMENTARI o EVENTI PROPRI o EVENTI COMPOSITI: rappresentano in verità una collezione di n esiti elementari.

ESEMPIO n.1: Un esperimento è il disturbo di un dado di un lato. Consideriamo il modello di un dado poco ben scientifico con le facce 2 2 e ciascuna faccia 2 4. L'importante è di immaginare su questa immagine possono avere da 1 a 6 facce. 1 2 (6)

Un esperimento desiderato invoca la scelta di un insieme di due possibili esiti coincidono e può succedere un qualunque di queste facce.

Determinasi evento elementare: quell'insieme delle comitive una qualsiasi faccia o modalità dei casi ritenendo tra le facce con le quali si sta parlando uno dei possibili esiti già possibili standard 2 6.

Questi possibili esiti già possibili standard 2 6.

L'insieme che contiene tutti i possibili esiti elementari o possibili esiti associati all'esperimento che vengono chiamati lo spazio degli eventi o Ω.

Ω = { [1], [ ], [ ] }, { [ ], [1], [ ] }

Gli eventi elementari sono una qualunque possibilità delle facce.

EVENTO PROPRIO (O COMPRATO O NON ELEMENTARE): una qualunque degli eventi che possano essere composti dagli eventi elementari.

ESEMPIO:

Chiamiamo E₁ (l'eventuale costiera e uno intatto chiaro perché è possibile trovarsi questa casuale. E₁ = { [ ], [1], [ ], [3], [ ] }

A = vera composizione di eventi elementari.

Quindi si parte ciò che si rischia. Quanto lo lancio il dado e mi escono questa 2 facce sono gli esiti su cui lo scommettitore scommette.

DIFFERENZA TRA EVENTI

A-B oppure A \ B

viene generato un evento che contiene tutti gli elementi di A che non sono anche contenuti in B.

ESEMPIO:

A = {w₁, w₂, w₃}

B = {w₂, w₃}

A-B = {w₁}

A \ B = A ⋂ (A ⋃ B)^c

La differenza non gode dello proprietà commutativa:

A-B ≠ B-A

Nel nostro esempio: B-A = {

PROPRIETÀ PRINCIPALI DELL'INTERSEZIONE E DELL'UNIONE

Proprietà distributive dell'unione rispetto all'intersezione:

A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione:

A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

A ⋂ B = A ⋃ B

A ⋃ B = A ⋂ B

La negazione dell'intersezione tra due eventi può essere calcolata come l'unione delle negazioni.

La negazione dell'unione può essere calcolata come l'intersezione delle due negazioni.

Con tutte queste proprietà dell'insegnistica possiamo accorgerci degli elementi dello spazio campione

generale che quella variabile ha precedentemente ottenuto, si conserva come l'unione di tutte le possibilità

offerte da tale evento, in senso subunitario.

Come questo esempio, consideriamo:

A = Ω, P = {tutti gli elementi di Ω, in senso

sommarista, i cui dati possono essere sostituiti, tramite una misura di probabilità ->

P

contiene tutti i possibili eventi generati dallo

spazio campione

Una volta definito l'esperimento totale, lo spazio campione connesso a tale esperimento contiene

e di tutti gli eventi possibili B, Ω. Allora questa coppia (Ω, S) sarà definita come:

SPAZIO PROBABILMENTE

S

verbale di una misura di probabilità associata a tutti i possibili eventi che possono essere

generati dal nostro esperimento casuale.

Probabilità Condizionata

E: il lancio di un dado equilibrato

A: prob. di questo E si punta a grad. pari

• compaiono: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Eventi possibili:

• A: {2, 4, 6} - scelto numero pari
• B: {1, 3, 4, 5, 6} - scelto numero > 3

Determinare la misura del probabilità per i 2 eventi:

P(A) = n. casi favorevoli ad A / m(Total) = m(A) / m(Ω) = 3/6 = 0.5

P(B) = n. casi favorevoli b / m(Total) = m(B) / m(Ω) = 4/6 = 0.6

P(A ∩ B) indica il contemporaneo

Sappiamo calcolare la probabilità dell'evento A tenendo in considerazione il fatto che B si è verificato Aggiorniamo il nostro background col fatto che B si è verificato Rettificando il rapporto combinato: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6}

Rettifica: con casi possibili:

• A: {2, 4, 6} → A*: {4, 6}

P(A|B) = m(A ∩ B) / m(B) = m(A) ∩ m(B) / m(A)

Proprietà dell'intersezione dei 2 eventi Probabilità evento congiuntamente

• P(A ∩ B) / P(B)

Verifica postuma della probabilità!!

Risultato

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)

se sono dipendenti

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) se sono indipendenti

Esercizio 1

Lanci di un dado

Evento A: "esce il n° 6" con a volontà

Evento B: "esce almeno un 6"

Per un dado la P(6) = 1/6

A)

Si tratta di eventi tra cui indipendenza.

La probabilità dell'intersezione dei 4 eventi è data dal prodotto delle singole probabilità:

P(6 ∩ 6 ∩ 6 ∩ 6) = P(6) × P(6) × P(6) × P(6) = 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/1296

B)

P(nessun 6) := P(6̅) × P(6̅) × P(6̅) × P(6̅) = 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = (5/6)⁴

Probabilità del no complemento

P(B) = 1 - P(nessun 6) = 1 - (5/6)⁴

= 1296 - 674/1296

STATISTICA

28-04-2021

Ripetiamo l'esercizio di ieri.

Sull'intera popolazione abbiamo che i Malati di una certa patologia (M) sono il 10%, mentre i Sani (S) e i Non Malati (NM) sono il restante 90%.

M = 10 %

S = M = 90 %

Eseguo un Test Diagnostico che può dare ovviamente due esiti: positivo (cioè ci si aspetta della patologia) e negativo (cioè non ci si aspetta). Il test può essere positivo (|+) sui sani nel 20% e sui malati nel 90% dei casi e negativo (|-) sui malati nel 10% dei casi. Quindi:

• + sui M = 20%.
• - sui M = 10%.

Mi interessa poi andare a calcolare la probabilità relativamente a un sottinsieme della popolazione totale: che i soggetti positivi al test appartengano anche alla sottopopolazione dei malati. Questo significa essere in grado di determinare il valore di quella che chiamiamo probabilità condizionale, cioè l'esito che può essere in questo caso attribuito alla scelta congiunta positiva al test positivo. Il test può dare due esiti (positivi o negativi).

Quindi, riorganizziamo le cose in termini di probabilità. Esprimiamo il tutto partendo dall'intera popolazione per la P(M) = 0,10 e P(|M^-)= 0,90.

Abbiamo detto: percorriamo esclusivamente una sottopopolazione. Se estraggo solo dalla sottopopolazione dei soggetti sani, ho la probabilità del 20% che il test sia positivo. Quindi, P(+|M^-)= 0,20 = probabilità di riuscire positivo |condizionalmente all’atto di essere sano.

Da qui deriviamo che la probabilità del suo complemento, cioè la probabilità di riuscire negativo al test | condizionalmente al fatto di essere sano 0 pari allo 0,80.

P(-|M^-)= 1-0,20 = 0,80.

Poi abbiamo la probabilità di risultare negativo al test sapendo che il soggetto è un risultato malato, cioè un falso negativo, e tale è 10%.

P(-|M) = 0,10 = probabilità di riuscire negativo | condizionalmente all’aver la fato di essere malato.

Da qui deriviamo che la probabilità del suo complemento, cioè la probabilità di risultare positiva al test | condizionatamente al fatto di essere malato è pari al 0,90.

P(+|M) = 1-0,10 = 0,90.

Questi sono i dati. Ora: qual è la probabilità di estrarre dall'intera popolazione un soggetto che è risultato positivo al test?

Formalizziamo questo quesito isolando il punto d’induzione del caso e compariamo l’evento (+), positivo al test.