Lezioni, Statistica e Calcolo delle Probabilità

Probabilità condizionata

P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) quindi P(E ∩ F) = P(F) · P(E|F)

Regola di moltiplicazione

P(E₁ ∩ E₂ ∩ E_n) = P(E₁) · P(E₂|E₁) · P(E₃|E₁ ∩ E₂) · P(E_a|E₁ ∩ E₂ ∩ E₃) ... · P(E_n|E₁ ∩ ... ∩ E_n−1).

Formula delle probabilità totali

Data una partizione F₁, ..., F_n di Ω con P(F_i) > 0 ∀i = 1, ..., n e E evento di Ω allora → P(E) = P(E|F₁) · P(F₁) + P(E|F₂) · P(F₂) + ... + P(E|F_i) · P(F_i) = ∑_{i = 1}^m P(E|F_i) · P(F_i)

Dimostrazione

➔ E = (E ∩ F₁) ∪ (E ∩ F₂) ∪ (E ∩ F₃) ∪ ... ∪ (E ∩ F_n)

P(E) = P(E ∩ F₁) + P(E ∩ F₂) + P(E ∩ F_n) = P(E|F₁) · P(F₁) + P(E|F₂) · P(F₂) + ... + P(E|F_n) · P(F_n)

Teorema di Bayes

Data una partizione F₁, F₂, ..., F_n di Ω con P(F_i) > 0 ∀i, dato un evento E con P(E) > 0 allora vale → P(F_h|E) = P(E|F_h) · P(F_h) / P(E)

Dimostrazione

➔ P(F_h|E) / P(E) = P(E ∩ F_h) / P(E) = P(E|F_h) · P(F_h) / P(E)

Probabilità condizionata

P(E|F) = _{P(E ∩ F)} / _P(F) quindi P(E ∩ F) = P(F) · P(E|F)

Regola di moltiplicazione

P(E₁ ∩ E₂ ∩ E_n) = P(E₁) · P(E₂|E₁) · P(E₃|E₁ ∩ E₂) · P(E₄|E₁ ∩ E₂ ∩ E₃) … · P(E_n|E₁ ∩ … ∩ E_n-1).

Formula delle probabilità totali

Data una partizione F₁, …, F_n di Ω con P(F_i) > 0 ∀i = 1, …, n e ∀ evento di Ω allora P(E) = P(E|F₁) · P(F₁) + P(E|F₂) · P(F₂) + … + P(E|F_i) · P(F_i) = ∑_i=1^m P(E|F_i) · P(F_i)

Dimostrazione

➔ E = (E ∩ F₁) ∪ (E ∩ F₂) ∪ (E ∩ F₃) ∪ … ∪ (E ∩ F_n)

P(E) = P(E ∩ F₁) + P(E ∩ F₂) + P(E ∩ F_n) = P(E|F₁) · P(F₁) + P(E|F₂) · P(F₂) + … + P(E|F_n) · P(F_n)

Teorema di Bayes

Data una partizione F₁, F₂, ..., F_n di Ω con P(F_i) > 0 ∀i, dato un evento E con P(E) > 0 allora vale ➔ P(F_h|E) = _{P(E|Fh) · P(Fh)} / _P(E)

Dimostrazione

➔ _P(Fh|E) / P(E) = _{P(E ∩ Fh)} / P(E) = _{P(E|Fh) · P(Fn)} / P(E)

Indipendenza

P(E ∩ F) = P(E) · P(F) se sono indipendenti.

Interpretazione - se sono indipendenti allora: P(E|F) = _{P(E ∩ F)} / _P(F) = P(E)

Indipendenza condizionata

Definiamo un evento fisso F, allora P_F(E) = P(E|F) ∀ E evento.

Eventi si dicono ind. condizionatamente se P_F(E₁ ∩ E₂) = P_F(E₁) · P_F(E₂).

Prove Bernoulliane

Ho due possibilità P = successo 1 - P = q: insuccesso

Dato n = {ξ₁, ξ₂, …, ξ_n} → ω = (k: ξ_k = 1 ⋂ E_k) ∩ (k: ξ_k = 0 ⋂ E_k^c) a cioè: P(ω) = Π_{αk = 1} P(E_k) · Π_{αk = 0} P(E_k^c) = p^a (1-p)^b { a: ✕ successi b: ✕ insuccessi }

Spazio probabilità di Bernoulli

P(B_n) = _{(n ⋂ k)} P^k(1-p)^n-k.

Se si verificano k successi e n è il ✕ delle prove.

Variabili aleatorie

Dato (Ω, ; P) e una VA x è una funzione x: Ω → Ω tale che {x ≤ x} ϵ, ∀ x ϵ ℝ. Con Ω finito e numerabile.

Funzione di ripartizione

F_X(x) = P(X ≤ x) ∀ x ∈ ℝ

Proprietà generali

• F è monotona non decrescente
• F è continua da destra
• lim_{x → +∞} F_X(x) = 1
• lim_{x → -∞} F_X(x) = 0