Probabilità

Metodi matematici

• statistica descrittiva = descrizione e sintesi dei dati (media, mediana, moda, deviazione standard)
• statistica inferenziale = tecniche per inferenze estrarre conclusioni da dati osservati (stima e da probabilita') e alla base del ragionamento statistico. In condizioni di incertezza, il punto di partenza sono i modelli di probabilita' che descrivono i dati.

Definizione classica (Laplace)

La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti ugualmente possibili.

P(E) = numero casi favorevoli a E / numero casi possibili

Definizione frequentistica (von Mises)

La probabilità di un evento E è il limite della frequenza relativa alle prove in cui l'evento si verifica, quando il numero delle prove tende ad infinito.

P(E) = lim n(E)/n n→∞

Definizione soggettivista (de Finetti, Savage)

La probabilità soggettiva di un evento E è una misura del grado di fiducia che l'individuo ha nel verificarsi dell'evento E.

Per rendere la definizione operativa si deve pensare P(E) come la somma che si scommetterebbe su E, per ricevere 1 se E verif..., 0 se E non si verif...

• (Le probabilità devono essere assegnate in modo coerente, non deve entrare un insieme di scommesse che porti ad una vincita positiva certa)

Definizione assiomatica (Kolmogorov)

Un elemento comune alle tre definizioni è l'aspetto matematico. Nelle 3 definizioni, P(E) è:

• 0 ≤ P(E) ≤ 1,
• se E è l'evento certo, P(E) = 1,

P(E∪F) = P(E) + P(F) {proprietà di additività} se E e F sono due eventi disgiunti, allora

La moderna teoria della Probabilità si fonda sull'importanza assiomatica degli eventi.

• Spazio campionario S = insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento
• Evento = sottoinsieme dello spazio campionario S
• ∅ = evento impossibile S = evento certo

Dati due eventi E e F possono definirne:

• E∪F unione => si verifica se E, F (o entrambi), contiene i risultati che sono in E o in F
• E∩F intersezione => si verifica se si verificano E e F, E∩F ⊆ F
• E' = evento complementare => si verifica se E non si verifica => E e NON si verifica
• Se F⊆E' contenente i risultati che sono in E ma non in F ⇒ si verifica se E e F'

Inoltre, data una successione di eventi di S, {En }, n≥1, si definiscono gli eventi:

• ∪nEn = l'elemento che si verifica se si verifica almeno uno degli En
• ∩nEn = l'elemento che si verifica se si verificano tutti gli eventi En

Due eventi E e F, per i quali E∩F = ∅ si dicono incompatibili (o disgiunti).

Proprietà algebriche

• commutativa: E∪F = F∪E, E∩F = F∩E
• associativa: E∪(F∪G) = (E∪F)∪G, E∩(F∩G) = (E∩F)∩G
• distributiva: E∪(F∩G) = (E∪F)∩(E∪G)

Legge di De Morgan

• (∪ E_i )' = ∩ E_i' ; (∩ E_i)' = ∪ E_i'

Metodi matematici

• statistica descrittiva = descrizione e riassunto dei dati (media, mediana, moda, deviazione standard ...)
• statistica inferenziale = tecniche per inferire e trarre conclusioni dai dati osservati. (sono per da probabilità è alla base del ragionamento statistico. In condizioni di incertezza, il punto di partenza sono i modelli di probabilità che descrivono i dati.

Definizione classica (Laplace)

La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché quest’ultimi siano tutti ugualmente possibili.

P(E) = _{numero casi favorevoli a E}/_{numero casi possibili,}

Definizione frequentistica (von Mises)

La probabilità di un evento E è il limite della frequenza relativa alle prove in cui l'evento si verifica, quando il numero delle prove tende ad infinito. P(E) = Lim_{n ϸ ∞} n(E)/n

Definizione soggettivista (De Finetti, Savage)

La probabilità soggettiva di un evento E è una misura del grado di fiducia che l’individuo ha nel verificarsi dell’evento E

Per rendere la definizione operativa, si deve pensare P(E) come la somma che si scommetterebbe su E, per ricevere 1 se E verifica e 0 se E non verifica.

(Le probabilità devono essere assegnate in modo coerente non deve esistere un sistema di scommesse che porti ad una vincita positiva certa)

Definizione assiomatica (Kolmogorov)

Un elemento comune alle tre definizioni è l’aspetto matematico. Nelle 3 definizioni , P(E) :

• 0 ≤ P(E) ≤ 1 ,
• se E è l’evento certo, P(E) = 1 ,

P(E∪F) = P(E) + P(F) proprietà di additività se E e F sono due eventi disgiunti, allora