Probabilità

Metodi matematici

• Statistica descrittiva = descrizione e sintesi dei dati (media, mediana, moda, deviazione standard)
• Statistica inferenziale = tecniche per inferire estrarre conclusioni dai dati osservati.

Definizione classica (Laplace)

La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti ugualmente possibili.

P(E) = ^{numero casi favorevoli a E}/_{numero casi possibili}

Definizione frequentistica (Von Mises)

La probabilità di un evento E è il limite della frequenza relativa alle prove in cui l'evento si verifica, quando il numero delle prove tende ad infinito: P(E) = lim_n→∞ (n(E)/n)

Definizione soggettivista (De Finetti, Savage)

La probabilità soggettiva di un evento E è una misura del grado di fiducia che l'individuo ha nel verificarsi dell’evento E.

Per rendere la definizione operativa è necessario pensare P(E) come la somma che si scommetterebbe su E, per vincere 1 se E si verifica, 0 se non si verifica.

Definizione assiomatica (Kolmogorov)

Un elemento comune alle tre definizioni: l'aspetto matematico. Nelle 3 definizioni, P(E) è:

• 0 ≤ P(E) ≤ 1, se E è l'evento certo, P(E) = 1
• P(E∪F) = P(E) + P(F) se E e F sono due eventi disgiunti, altrimenti P(E∪F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) proprietà di additività

Spazio campionario S = insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento. Evento E = sottoinsieme dello spazio campionario S

∅ = evento impossibile, S = evento certo.

Dati due eventi E e F, si possono definire:

• E∪F unione: si verifica se almeno uno tra E e F (o entrambi), contiene i risultati che sono in E o in F
• E∩F intersezione: si verifica se si verificano E e F, contiene i risultati che sono contemporaneamente in E e in F
• E' evento complementare a E: si verifica se E non si verifica, non si verifica E se non si verifica E
• E⊂F: E contiene e uniti i risultati che sono in E ma non in F

Da moderna teoria della Probabilità si fonda sull'importanza assiomatica:

• Proprietà algebriche
  • Commutativa E∪F = F∪E, E∩F = F∩E
  • Associativa E∪(F∪G) = (E∪F)∪G e E∩(F∩G) = (E∩F)∩G
  • Distributiva E∪(F∩G) = (E∪F)∩(F∪G)
• Legge di De Morgan
  • (∪E) = ∩E', (∩E) = ∪E

Definizione Assiomatica di Probabilità

Dati uno spazio campionario S e una famiglia di eventi E, una misura di probabilità P è una funzione che soddisfa i seguenti assiomi:

(i) P (A) ≥ 0

(ii) P (S) = 1

(iii) Siano (E_i)_i∈I una successione di eventi a due a due incompatibili allora P(⋃ _i∈I E_i)= ∑ _i∈I P(E_i)_{[additività numerabile]}

In particolare, da (iii) segue che

P⋃(E_i) = P(E₁) + P(E₂)+···+P(E_n)(additività finita)dim se E₁ ∩ E₂ ··· ∩ E_n = ∅

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) se A ∩ B = ∅

P(E ∪ F) =P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

Sapendo che P(F ∩ E^˜) = P(F ∩ E^c) = P(F) − P(F ∩ E)=> P(F) − P(F ∩ E) = P(F ∩ E^c)

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) − P(E ∩ F)

P(¬P(E)) = P(¬E) quindi P(E ∩ F) = P(E) + P(F) − P(F ∩ E)

La generalizzazione della somma a un numero n di eventi si chiama principio di inclusione-esclusione

Esempio:Da uno studio risulta che il 10% degli studenti della LSE suonano un strumento nel tempo libero, il 20% pratica sport, il 5% studia una lingua straniera. Inoltre, il 5% suona e pratica sport, il 3% suona e studia una lingua e il 2% studia una lingua e pratica sport. L’1% fa le tre cose. Scegliendo a caso uno studente della LSE, si calcoli la probabilità che

1. faccia almeno una di queste attività;
2. non ne faccia alcuna;
3. studi una lingua o suoni uno strumento ma non pratichi sport.

1) P(M U F U L) = P(M) + P(F) + P(L) − P(M ∩ F) − P(M ∩ L) − P(F ∩ L) + P(M∩L∩F);

2) P(E^c) = P(S) − P(E) = 1 − P(M U F U L) = 1 − 0,26 = 0,74

3) P(M U L − F) = P(M U L) − P((M U L) ∩ F)

Come si calcolano? M ∪ (U ∪ L) ∩ F = ∅ incompatibili

P(M U L − F) = P(M U L) − P(F ∩ (M U L) = P(M U L − F)

P(M U L − F) = 0,26 − 0,02 = 0,24

Probabilità uniforme

Se S è uno spazio campionario assomma finito, # (S)=N e S={s₁, s₂, s₃, e gli N eventi elementari sono equiprobabili, allora

P(A) = #A/#S

Esempi:

1. Qual è la probabilità che lanciando due dadi si ottenga 7 sommando i due risultati?
2. Qual è la probabilità che lanciando tre dadi il risultato più basso sia 1?

Due dadi eguali vengono lanciati ripetutamente. Qual è la probabilità che il risultato “somma 5” arrivi prima di “somma 7”?

Un’urna contiene n palline di cui una è speciale. Si fanno k estrazioni senza remissione. Qual è la probabilità di aver estratto la pallina speciale?

Poker: Una mano di poker è formata da 5 carte scelte dallo 52 del mazzo di carte francesi. Calcolare la probabilità di avere i seguenti “servizi”:

• scala (reale/simple);
• colore;
• trolley;
• full;
• coppia doppia.

Indipendenza

Due eventi E e F si dicono indipendenti se la realizzazione di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro, e se P(F)≠0, E è indipendente da F se P(E|F)=P(E)

Gli eventi E ed F sono indipendenti se P(E∩F)=P(E)P(F)

• L'indipendenza tra due eventi è una relazione simmetrica!
• Non ci permette di includere il caso di due eventi tra loro incompatibili

- Quando E e F sono indipendenti, anche i loro complementi lo sono

Attenzione a non scambiare incompatibilità con indipendenza!

Tre eventi E, F, G sono indipendenti se P(E∩F∩G)=P(E)P(F)P(G)

P(E∩F)=P(E)P(F) P(F∩G)=P(F)P(G) P(G∩F)=P(G)P(F)

• NON sono sufficienti a garantire l'indipendenza dei 3 eventi.

Generalizzando n eventi E₁, E_n si ha la seguente

DEF Gli eventi E₁ E₂ E_n si dicono indipendenti se per ogni K ∈ {2, ..., n} e per ogni scelta di {i₁, i_k} si ha P(E_i1 ∩ E_i2 ∩ E_ik) = ∏ P(E_i), i ∈ {i₁, i_k}

Indipendenza condizionale

DEF Sia F un evento non trascurabile. E₁, E₂ sono indipendenti condizionalmente a F se per ogni K ∈ {2, ..., n} e per ogni scelta {i₁, ..., i_k} → P(E_i ∩ E_k | F) = ∏ P(E_i | F)

Indipendenza rispetto P(•|F)

Geometrica

In una successione di prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p, siamo interessati alla prova in cui si realizza il primo successo ⇒ la v.a. X che indica la prova del primo successo assume valori {1, 2,...} p(X = k) = P(1 successo alla k-esima prova) = p(1-p)^k-1.

La variabile geometrica di parametro p, X~Ge(p) p∈(0,1) è una v.a. discreta che assume valori {1, 2,...} funzione di densità p(k) = p(1-p)^k-1, k ∈ N.

E(X) = ¹∕_p Var(X) = ^1-p∕_p²

Ora, da un’urna con N palline, di cui m bianche e N-m nere, se ne scelgono n a caso, senza riposizione. m ‘palline bianche estratte’.

Def. La variabile ipergeometrica X, di parametri N, n, m X~IG(N, n, m) con m≤N, n≤N è una v.a. discreta che assume i valori X = {max(0, n-(N-m)), ..., min(n, m)}

con p(k) = ^{(m_k)(N-m_n-k)}∕_(Nn) funzione di densità. E(X) = np Var(X) = np(1-p)(1 - ^n-1∕_N-1).

Supponendo che n e N siano molto grandi rispetto a n, si può pensare che l’estrazione senza riposizione non sia molto diversa da quella con riposizione. Si può dimostrare che l’ipergeometrica può essere ben approssimata dalla binomiale di parametri p = m/n e n.

Funzione generatrice dei momenti

Def. La funzione generatrice dei momenti (F.g.m.) di una v.a. X per t ∈ ℝ, è definita come _{ϕX(t) = E[e^tX] = ∑ e^tkpX(x).} ϕ_X(0) = 1

da f.g.m. identifica di distribuzione della X. Il momento k-esimo di X si trova calcolando la derivata k-esima della f.g.m e valutandola in t=0. _{(ϕX(0) = E(X^k).}

Se esistono, si possono calcolare E(X) = ϕ'_X(0) e Var(X) = ϕ''_X(0) - (ϕ'_X(0))².

_{*se esiste per -h}