Probabilità 2

Derivate Parziali

1. f(x,y) = e^x+y

2. f(x,y) = sin(2x) + y cos(x)

3. f(x,y) = √1 + x + x² + y²

4. f(x,y) = log (e^x+y + x sen(y))

∂f(x,y)/∂x = e^x+y ∂f(x,y)/∂y = e^x+y

∂f(x,y)/∂x = cos(2x) ⋅ 2 - y sen(x) ∂f(x,y)/∂y = 0 + cos(x) = cos(x)

∂f(x,y)/∂x = 1 / (e^x+y + x sen(y)) (y e^x+y + sen(y)) ∂f(x,y)/∂y = 1 / (e^x+y + x sen(y)) (x e^x+y + x cos(y))

∂f(x,y)/∂x = 1/2 (1 + x + x² + y²)^-1/2 ⋅ (1 + 2x) ∂f(x,y)/∂y = 1 / 2√1 + x + x² + y² ⋅ 2y = y / √1 + x + x² + y²

D[sen(x)] = cos x D[cos(x)] = -sin x

D[f(g(x))] = f'(g(x)) g'(x) D[c f(x)] = c f'(x) D[ln(x)] = 1/x

Esercizi Assegnati (Krek)

1. lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y) / (x⁴+y²) = NON ESISTE

2. lim_{(x,y)→(0,0)} x⁴ / (x⁴+y²) = NON ESISTE

3. lim_{(x,y)→(0,0)} (sin²θ) / (x⁴+y²) = 0

4. lim_{(x,y)→(0,0)} (x³+ y⁵) / (x²+ y⁴) = 0

5. lim_{(x,y)→(2,1)} [(4y-1)²sin(πx)] / [(x-2)² +(y-1)²] = 0

Soluzioni

1) lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y) / (x⁴+y²) =

Dominio: x⁴+y² ≠ 0 ➔ y² ≠ -x⁴ ➔ y ≠ ±x²

Dominio ∈ R² \{ y = x² e y = -x² }

Studio del limite

1^a RESTRIZIONE y = x²

f(x, x²) = x²(x²) / (x⁴ + x⁴) = x⁴ / 2x⁴ = 1/2

⇒ lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y) / (x⁴+y²) = 1/2

2^a RESTRIZIONE y = -x²

f(x, -x²) = x²(-x²) / (x⁴ + (-x²)²) = -x⁴ / 2x⁴ = -1/2

Esempio 2)

f: ℝ → ℝ

g: ℝ₊ → ℝ

z → √z

Quindi f(x) > 0 ∀x ∈ ℝ quindi f(ℝ) ⊆ ℝ₊

h(x) = g(e^x) = √e^x

Osserva NON fare f(g(z)) = e^√z

Esempio

f₁₀(x,y) = log(y √4 - x²)

g(z) = log z

h(x,y) = y √4 - x²

f₁₀(x,y) = g(h(x,y)) = g(y √4 - x²) = log(y √4 - x²)

→ h(x,y) ben definita cioè y e √4 - x² ben definite, inoltre

g(z) cioè il logaritmo deve essere definito

• 4 - x² ≥ 0
• y √4 - x² > 0

⟹ ^{4 - x2} { -2 ≤ x ≤ 2 }

(^* e un prodotto!)

• y > 0
• √4 - x² > 0

e sempre > 0 tranne quando x = -2 e x = 2

moltiplico per y che qui è > 0

→ il prodotto vale zero

→ il prodotto vale zero

• Determina il piano tang al grafico z = x² + y² nel pt (1,1)

• tang in (x₀,y₀) => z = f(x₀,y₀) + ∂f/∂x (x₀,y₀)(x-x₀) + ∂f/∂y (x₀,y₀)(y-y₀)

∂f(x,y)/∂x = 2x

∂f/∂x (1,1) = 2

∂f(x,y)/∂y = 2y

∂f/∂y (1,1) = 2

f(1,1) = 1² + 1² = 2

• tang in (1,1) => z = 2 + 2(x-x₀) + 2(y-y₀)

z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1)

= 2 + 2x - 2 + 2y - 2

= 2x + 2y - 2

Esercizio 2:

Eq tangente alla superficie f(x,y) = e^xsin(y) del pt generico (x₀,y₀) e poi nel pt. (1,π)

∂f(x,y)/∂x = sin(y)e^x

∂f/∂x (1,π) = e¹ sin(π) = 0

∂f(x,y)/∂y = e^x cos(y)

∂f/∂y (1,π) = e¹ cos(π) = 1

z = f(x₀,y₀) + ∂f/∂x(x₀,y₀)(x-x₀) + ∂f/∂y(x₀,y₀)(y-y₀)

z = e¹sin(π) + 0(x-x₀) + 1(π-y₀) = 0 + (π-y₀)