Probabilità 2

Derivate Parziali

1) \( f(x,y) = e^{x+y} \)

2) \( f(x,y) = \sin(2x) + y \cos(x) \)

3) \( f(x,y) = \sqrt{1+x+x^2+y^2} \)

4) \( f(x,y) = \log(e^{xy} + x \sen(y)) \)

1. \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = e^{x+y} \)
2. \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = e^{x+y} \)

1. \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \cos(2x) \cdot 2 - y \sen(x) \)
2. \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 0 + \cos(x) = \cos(x) \)

4) \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{1}{e^{xy} + x \sen(y)} (y e^{xy} + \sen(y) ) \)

4) \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{1}{e^{xy} + x \sen(y)} (x e^{xy} + x \cos(y) ) \)

3) \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{1}{2} (1+x+x^2+y^2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (1+2x) \)

\(\mathcal{D}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

\(\mathcal{D}[c f(x)] = c \cdot f'(x) \)

\(\Box \sen(x) = \cos x \)

\(\Box \cos(x) = -\sin x \)

\(\mathcal{D}[\ln(x)] = \frac{1}{x} \)

Derivate Parziali

1. f(x,y) = e^x-y

2. f(x,y) = sin(2x) + ycos(x)

3. f(x,y) = √1+x+x²+y²

4. f(x,y) = log(e^xy + xsen(y))

1. ∂f(x,y)/∂x = e^x-y

   ∂f(x,y)/∂y = -e^x-y

2. ∂f(x,y)/∂x = 2cos(2x) - ysen(x)

   ∂f(x,y)/∂y = 0 + cos(x) = cos(x)

3. ∂f(x,y)/∂x = 1/(2√1+x+x²+y²) . (1 + 2x)

   ∂f(x,y)/∂y = y/√1+x+x²+y²

4. ∂f(x,y)/∂x = 1/(e^xy + xsen(y)) (ye^xy + sen(y))

   ∂f(x,y)/∂y = 1/(e^xy + xsen(y)) (xe^xy + xcos(y))

D[f(g(x))] = f'(g(x)) g'(x)

D[c f(x)] = c f'(x)

D[sen(x)] = cos x

D[cos(x)] = -sin x

D[ln(x)] = 1/x

Esercizi Assegnati

1. lim_{(x,y)→(0,0)} ^x2y/_x⁴+y² NON ESISTE

2. lim_{(x,y)→(0,0)} ^x4+y2/_x NON ESISTE

3. lim_{(x,y)→(0,0)} ^sin2(x4)/_x⁴+y² = 0

4. lim_{(x,y)→(0,0)} ^x3+9/_x²+y⁴ = 0

5. lim_{(x,y)→(2,1)} ^{(4-1)2sin(πx)}/_{(x-2)²+(y-1)²} = 0

Soluzioni

1. lim_{(x,y)→(0,0)} ^x2y/_x⁴+y² =

Dominio: x⁴+y² ≠ 0 → y² ≠ x⁴ → y ≠ ±x²

Studia il limite

1^a RESTRIZIONE y = x²

1. f(x,x²) = ^x2x2/_x⁴+x⁴ = ^x4/_2x⁴ = ¹/₂

2. lim_{(x,y)→(0,0)} ^x4/_x⁴+y² = ¹/₂

2^a RESTRIZIONE y = -x²

1. f(x,-x²) = ^x2[-x2]/_{x⁴+(-x²)²} = ^-x4/_2x⁴ = ^-1/₂

1) lim_{(x,y)→(0,0)} (x⁴)/(x⁴ + y²) = 1/2

→ Essendo i due limiti diversi → ≠ lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y)/(x⁴ + y²)

2) lim_{(x,y)→(0,0)} (x² + y²)/x

Dominio è ℝ² \ {x = 0}

y = √x

y = -√x

lungo le rette il limite è nullo, se

invece mi avviano con le f.i. √x il limite è 1.

3) lim_{(x,y)→(0,0)} (sin²(xy)/(x² + y²)) = 0

{ x = ρcos(θ)

y = ρsin(θ) }

sin²((xy)/(x² + y²)) = sin²(((ρ²cos(θ)sin(θ))/ρ²))

≤ sin²((ρ²)/(2ρ²))

#3 0 ≤ (sin²(xy)/(x² + y²)) ≤ sin²((ρ²)/(2ρ²))

lim_ρ→0 (sin²((ρ²)/(ρ²))) = 0

→ per il Teorema dei Carabinieri lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0

lim_ρ→0 (sin²((ρ²)/(ρ²)))\* = 0

lim_ρ→0 (sin²((ρ²/2)))2/(2/ρ²)

ado che ho sen