Appunti Probabilità - parte 2

Variabili Aleatorie

Sia dato un esperimento con esito incerto e sia Ω l'insieme dei possibili risultati; al volere sperimentare non è interessante sapere il preciso risultato sperimentato ω ∈ Ω ma piuttosto già interesa sapere quanto vale un numero X che descriva o rieassuma il risultato sperimentale → voglio sapere X(ω)

Esempio

Lancio una moneta 2 volteΩ = {TT, TC, CT, CC}Alto, sperimentale interessa la va. X="# totale di testeX | {TC} = 1 X | {TT} = 2

La variabile aleatoria X è una funzioneX: Ω → R

• dominio
• codominio

Im X : {0, 1, 2} → valori aggiunti della funzione

Esempio

Lancio 2 dadiΩ = n° elem: 36

Mi interessa X = somma 2 numeri usciti; X : Ω → R Im X : {2, ..., 12}

Esempio

Lancio ripetutamente una moneta; definisco la v.a. Y: = n° del lancio in cui esce T per la prima volta

Ω = insieme delle possibilità sequenza (lunghezza infinita)

• CTTC... → 2
• TCTTTC... → 1
• CCCTC → 4

Y: Ω → R

Im Y: {1, 2, 3, ...}

Esempio

Scelgo un italiano a caso; mi interessa v.a. Z: = altezza della persona

Ω = insieme di tutti gli italiani

|Ω| = 60 milioni

• R
  • 1.70 m
  • 1.65 m

Z: R → [30 cm; 2 metri]

Logica della definizione rigorosa

Per avere svariate nuove v.a. dobbiamo poter calcolare la prob. di alcuni insiemi che ci interessano, ad esempio:

• P(X ≤ x ∈ A), P(X ≤ t), P(X ≤ θ), etc: ci interessa calcolare P(X ∈ B)

∀ B ⊆ R. Per far questo occorre che {X ∈ B} sia un evento della σ-Algebra.

Def Rigorosa

Dato uno spazio di prob. (Ω, Y, P), una v.a. X è una funzione X: Ω → R, t.c. ∀ V ⊆ R, deve valere che ∀ x ∈ B {ω ∈ Ω: X(ω) ∈ B} ∈ Y

Def alternativa rigorosa

Dato uno spazio di prob. (Ω, Y, P), una v.a. X è una funzione X: Ω → R t.c. ∀ t ∈ R, ∀ x ∈ B {ω ∈ Ω: X(ω) ≤ t} ∈ Y

X è una v.a. se posso calcolare P(X ≤ t) = F_X(t), ∀ t ∈ R

Esempio

Lancio una moneta 2 volte; trovare la densità e la f.d. della v.a. "X: differenza tra n° di T e n. di C"

X: Ω → R

Im X: {-2, 0, 2}

P(X = 0) = P({TC, CT}) = 2/4

P(X = 2) = P(TT) = 1/4

P(X = -2) = P(CC) = 1/4

Fx(t) = P(X ≤ t), t ∈ R

• t < -2: 0
• -2 ≤ t < 0: 1/4
• 0 ≤ t < 2: 3/4
• t ≥ 2: 1

Esempio

Sia X una v.a. con la seguente f.d.

• t < 0: 0
• 0 ≤ t < π: 1/5
• π ≤ t < 2π: 2/5
• t ≥ 2π: 1

Guardando i punti di salto capisco i valori della v.a. X → Im X: {0, π, 2π}

Le masse di probabilità sono segnali ai salti.

• P(X = 0) = 1/5
• P(X = π) = 2/5 - 1/5 = 1/5
• P(X = 2π) = 1 - 3/5 = 2/5

Come faccio a calcolare il valore atteso di \( y = g(x) \)?

I modo:

Faccio la media ponderata di \( y_1, \ldots, y_m \) assumendo come pesi le loro probabilità:

\( p(y_j) = p(y_j \vert y=y_j) = \frac{p(y_j \cap X=x_1)}{p(y_j)} + \ldots + \frac{p(y_j \cap X=x_n)}{p(y_j)} \)

ma devo conoscere (aver calcolato) la dist. di \( Y \)

II modo:

Punto i valori \( x_i : g(x_i) = y_j \) e faccio la media ponderata con le probabilità

\( p(X=x_i \vert X=x_j) \) \(\cdots\) \( p(X=x_n) \)

Proposizione

(dimostriamo l’equivalenza dei due modi)

Sia \( X \) una v.a. discreta. Il valore atteso di \( y = g(x) \), se X è variabile finita, lo puoi calcolare in 2 modi equivalenti:

1. \( E(y) = \sum_{j=1}^{m} y_j \cdot p(y=y_j) \)
2. \( \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \cdot p(X=x_i) \)

Dim

\( \Im X = \{ x_1, \ldots, x_n \} \)

\( \Im y = \{ y_1, \ldots, y_m \} \)

Parto dal secondo membro ed arrivo al primo membro

\( \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \cdot P(X=x_i) = \sum_{x_i = 1} x: g(x_i)=g_1 + \sum_{xi=1} x: g(xi)=g_2 + \ldots + \sum_{xi=1} x: g(xi)=g_m \)

\( = y_1 \cdot \sum_{xi=1} x: g(xi)=g1 \) \( \cdots \) \( + y_m \cdot \sum_{xi=1} x: g(xi)=g_m \)

\( = y_1 \cdot P(Y=y_1) + \ldots + y_m \cdot P(Y=y_m) \)

\( = \sum_{j=1}^{m} y_j \cdot P(Y=y_j) \)

Proposizione

Var(aX + θ) = a²Var(X)

La varianza non è un operatore lineare.

La varianza è invariante per traslazione.

Dim

Definisco Y_α = aX + θ, per definizione:

Var(Y) = E[(Y - E(Y))²]

= E[(aX + θ - E(aX + θ))²]

= E[(aX + θ - aE(X) - θ)²]

= E[(a(X - E(X)))²]

= a²E[(X - E(X))²]

= a²Var(X)

Esercizio

P(X = 1) = 2/3

P(X = 2) = 1/3

Calcoliamo E(1 - 2X) e Var(1 - 2X)

Svolgimento

E(1 - 2X) = 1 - 2E(X) = 1 - 2 Σ k.P(X = k) = 1 - 2[1.2/3 + 2.1/3] = 1 - 8/3 = - 5/3

Var(1 - 2X) = 4Var(X)

= 4(E(X²) - (E(X))²)

= 4(Σ k²P(X = k)) - 16/9

= 4[1.2/3 + 2².1/3] - 16/9 = 4[2.16/9] = 8/9

Calcoliamo:

E[-X] = -E(X) = -5/3

Var[-X] = Var(X) = 2/9

Esperimenti Bernoulliani

Sono esperimenti costituiti da una sequenza di prove bernoulliane, ovvero di prove che godono delle seguenti proprietà:

1. Ogni prova può avere 2 possibili esiti (li chiamiamo successo ed insuccesso)
2. I risultati delle varie prove sono indipendenti
3. La probabilità di successo è la stessa per tutte le prove (chiamiamo p la prob. di successo e 1 - p la prob. di insuccesso)

Esempio

1. Ripetuti lanci di una moneta
   • Successo = Testa → p = 1/2
   • Insuccesso = Insuccesso → 1 - p = 1/2
2. Ripetute estrazioni con reimmissione da un'urna con 3 palline bianche e 1 pallina rossa
   • Successo = Esce bianca → p = 3/4
   • Insuccesso = Esce rossa → 1 - p = 1/4
3. Ripetuti lanci di un dado
   • Successo = "Esce 1"
   • Insuccesso = "Esce ≠ 4"

Problema 1

Si effettua una sequenza di n prove bernoulliane. Qual è la prob. che, su n prove, si ottengano in tutto k successi?

Esempio

Lancio una moneta 5 volte. Qual è la prob. che in tutto esca 3 volte Testa?

Diciamo che Prob(Testa) = p

P(3T e 2C) = p

P(3T e 2C) = p^3(1-p)^2

P(3T e 2C) = C(5,3)p^3(1-p)^2 = 5! / 3!2! = 10

Esercizio

T ~ geom(p)

P(18 ≤ T ≤ 26) = P(T ≥ 18) - P(T ≥ 26)

= p(T > 17) - p(T > 26)

= (1 - p)¹⁷ - (1 - p)²⁶

Def. Rigorosa

Uno va. X è detta ass. continua se esiste una funzione ƒ a valori non negativi tale che la funzione di ripartizione di X è data da:

F_X(t) = P(X ≤ t) = ∫_-∞^tƒ(u)du

Proprietà Affinché ƒ sia una densità

• ƒ non negativa, cioè ƒ(x) ≥ 0 ∀ x
• ∫_-∞^+∞ƒ(x)dx = 1

Oss. 1

La definizione rigorosa tratta la funzione di ripartizione. Da essa si possono ricavare le probabilità degli intervalli limitati.

P(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a) = ∫_a^bƒ_udu = ∫_-∞^bƒ_udu - ∫_-∞^aƒ_udu = ∫_a^bƒ_udu

Oss. 2

Riflessione sul termine "densità": la ƒ_X non rappresenta la prob. del punto x; è solo la funzione che integra su un intervallo ti dà la prob. dell'intervallo.

Oss. 3

Mentre con le va. discrete ƒ_X è la densità, con va. assolutamente continue sarebbe più corretto dire che ƒ_X è una densità.