Appunti Probabilità - parte 2

Variabili aleatorie

Sia dato un esperimento con esito incerto e Ω l'insieme dei possibili "risultati". A volte lo sperimentatore è interessato a sapere il preciso risultato sperimentale ω ∈ Ω, ma piuttosto gli interessa sapere quanto vale un numero X che descrive o riassume il risultato sperimentale → vale sopra Ξ(ω).

Esempio

Lancio una moneta 2 volte
Ω = {TT, TC, CT, CC}
Allo sperimentatore interessa la v.a. X = "# total di teste"
X(TC) = 1 X(TT) = 2
Ω   →   R
TT   →   2
TC   →   1
CT   →   1
CC   →   0

La variabile aleatoria X è una funzione
X: Ω → R
|Im X|: {0, 1, 2} = valori assunti dalla funzione

Esempio

Lancio 2 dadi
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ...(6,6)}
R ← 2, 3, 4, ..., 12
Mi interessa X = somma 2 numeri usciti;
X: Ω → R ; |Im X| = {2,...,12}

Variabili aleatorie

Sia dato un esperimento con esito incerto e Ω l'insieme dei possibili risultati; a volte lo sperimentatore non è interessato a sapere il preciso risultato sperimentale ω ∈ Ω ma piuttosto gli interessa sapere quanto vale un numero X che descriva o riassuma il risultato sperimentale → vale sapere X(ω).

Esempio

Lancio una moneta 2 volte
Ω = {TT, TC, CT, CC}
Allo sperimentatore interessa la v.a X = *n° totale di teste
X(TC) = 1   X(TT) = 2

La variabile aleatoria X è una funzione
X: Ω → R
dominio → codominio
Im X = {0, 1, 2} → valori assunti dalla funzione

Esempio

Lancio 2 dadi
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3),...(6,6)}
Ω → R
X = somma 2 numeri usciti
Im X = {2,...,12}

Esempio

Lancio ripetutamente una moneta; definisco la v.a. Y: n° del lancio in cui esce T per la prima volta
Ω: insieme delle possibili sequenze (lunghezza infinita)
CTTC...TCTTTC...CCCTCT
Y: Ω → R
Im Y = {1, 2, 3, ... }

Esempio

Scelgo un italiano a caso; mi interessa v.o. Z: altezza della persona
Ω = insieme di tutti gli italiani
|Ω| = 60 milioni
1.70 m
1.65 m
Z: R → [30 cm; 2 m]

Logica della definizione rigorosa

Per dare una v.a., dobbiamo poter calcolare la probabilità di alcuni insiemi che ci interessano, ad esempio: P(X ≤ x) = P(X ≤ t), P(X ∈ B), ecc.; ci interessa calcolare P(X ∈ B) ∀ B ⊂ R. Per far questo occorre che X^-1(B) sia un evento della Β-Algebra.

Definizione rigorosa

Dato uno spazio di probabilità (Ω, ℑ, P), una v.a. X è una funzione X: Ω → R tale che ∀ B ⊂ R, deve valere che è sottoinsieme controimmagine X^-1(B) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ ℑ

Definizione alternativa rigorosa

Dato uno spazio di probabilità (Ω, ℑ, P), una v.a. X è una funzione X: Ω → R tale che ∀ t ∈ R sottinsieme {X ≤ t} = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ t} ∈ ℑ

Variabili aleatorie discrete

Definizione

Una v.a. è detta discreta se può assumere o un numero finito di valori o un'infinità numerabile di valori.

Studio variabile discreta

Lancio una moneta equilibrata 3 volte; definisco la v.a. X = n° totale di T.
X: Omega → R
Im X = {0, 1, 2, 3}
Im X = 4 ⇒ Discreta
X(omega) = numero = |Altra Dicitura: Controimmagine
Immagine di X

Considero gli eventi:
P(X = 3) = P(TTT) = 1/8
P(X = 2) = P(TTC, CTT, TCT) = 3/8
P(X = 1) = P(CCT, TCC, CTC) = 3/8
P(X = 0) = P(CCC) = 1/8

Riassumo tutto con una funzione detta Densità di Probabilità Discreta
rho(k) = P(X = k) = {1/8, k=0, 3/8, k=1, 20, altrimenti}

N.B. Σ_k∈ImX rho(k) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1

P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X = 1) ∪ (X = 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = ³/₈ + ³/₈ = ⁶/₈

Def ∀k ∈ ℝ, 0 ≤ P(k) ≤ 1 P(k) = 0 tale che Σ_{k ∈ S} P(k) = Σ_{k ∈ S} P(X = k) = 1

Esercizio

S: