Appunti Statistica e Probabilità

Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Introduzione

La statistica è la disciplina che studia i metodi per condurre analisi quantitative su fenomeni variati, abituali o ripetuti. Si riconduce l'insieme di tali metodi e lo studio delle molteplicità di manifestazioni dei fenomeni.

Indichiamo i fenomeni con le lettere maiuscole (X, Y, W, A, B) e le relative manifestazioni con le corrispondenti minuscole (x, y, w, a, b,...)

• X: titolo studio
• W: numero esami sostenuti
• A: peso

Le manifestazioni possono essere divise in tipologie:

• Attributi o categorie (es. x₁ = nome titolo, x₂ = laurea, x₃ = liceo classico)
• Numeri interi (es. x₁ = 1, x₂ = 2;...)
• Numeri reali, eventuale dotati di punti di numero (es. x₁ = 70.5, x₂ = 62.2)

Ai fini della descrizione quantitativa, è necessario indicare le unità su cui il fenomeno si manifesta, dette unità statistiche (individui, esotati di topo, regioni regionale, o altri enti).

Il complesso delle unità statistiche costituisce una popolazione statistica, indicato con P.

Il numero delle unità costituenti una popolazione statistica è indicato con N ed è detto numerosità o dimensione della popolazione. Una popolazione è detta finita (se N è finito) o infinita (N moltiplicante giungla). Talvolta la dimensione di P pur essendo finita, è talmente elevata che ai fini dell'analisi è conveniente purarla infinita.

La statistica è detta descrittiva se descrive e sintetizza in modo opportuno il comportamento di un certo fenomeno sui soggetti ove è stato osservato.

È detta inferenziale se indica i metodi che permettono di estendere i risultati ricavati dall'osservazione di un numero limitato di unità di popolazione, detto campione, l'insieme dei risultati dell'analisi dei dati campionari all'intera della popolazione.

L'analisi grafica e inferenza statica: esaminare un'intera popolazione richiede molte info e budget si decide allora di esaminare un sottoinsieme il più possibile rappresentativo, cioè deve essere un'immagine a scala ridotta di P. La rappresentatività del campione può essere garantita selezionando le unità senza alcun criterio predefinito, senza ragione da poterne o privilegiare una parte piuttosto che un altro. È la casualità del campione ad essere garanzia della sua rappresentatività.

L'inferenza statistica avviene invece in condizioni di incertezza; la correttezza dei risultati è garantibile solo con le tecniche di statistica descrittiva.

Alla base della statistica inferenziale vi sono elementi di teoria della probabilità.

- Differenza

A-B = A∩B

A\B = {x | x∈A ∧ x∉B}

Proprietà:

• * non gode della commutatività
• * se A=∅ → A\B = A
• * se B⊆A → A\B = ∅
• * se B⊄A, A\B è detta differenza propria (complemento di B rispetto A)

La differenza è equivalentemente definita mediante intersezione e complemento

A\B = A∩B

- Prodotto cartesiano

A×B insieme delle coppie ordinate (a,b) con a∈A e b∈B

A×B = {(a,b) | a∈A , b∈B}

card(A) = m , card(B) = m → card(A×B)= m ⋅ m

Proprietà:

• * A×A = A²
• * {A_i}^m_i=1 → A₁×A₂×...×A_m=×_i=1^mA_i = {(a₁, a₂, ..., a_m) | a_i∈A_i ∀_{i∈{1,...,n}}}

Teoria delle Probabilità

Verrà adottata l'impostazione assiomatica di Kolmogorov, che lascia irrisolto l'aspetto significato del concetto di probabilità, evitando l'obbligo di scelta di una delle definizioni seguenti.

Introduciamo gli elementi fondamentali della teoria della probabilità:

Esperimento Casuale

È un esperimento condotto sotto aspetto del caso, ma uno sperimentando alla quale non possiamo una parte delle circostanze che determinano il risultato.

Da un esperimento casuale è noto il solo ambito del possibile, cioè i possibili risultati che esso restituirà. Il risultato è noto soltanto dopo l'esperimento.

Es.: E₁: lancio dado E₃: estrazione carta dal mazzo

E₂: lancio moneta E₄: estrazione pallina da un'urna

Sperimentio Deterministico (Non Casuale)

Caratterizzati dall'analisi approfondita del risultato, che è prevedibile con certezza perché l'insieme delle circostanze che determinano il risultato è noto.

Nel caso degli esperimenti casuali, ciascuno dei possibili esiti è detto (Esito)Evento Elementare.

Viene indicato con W. Essi possono essere un numero finito o formare un'infinità numerabile o non.

L'insieme che raccoglie gli eventi elementari e che descrive l'ambito del possibile di un esperimento casuale è detto spazio degli eventi casuali (spazio campionario) e viene indicato con S. (Spazio degli Esiti)

Gli eventi elementari sono:

• Necessari: almeno uno di essi deve verificarsi dopo l'esperimento
• Incompatibili: l'accadere dell'uno preclude l'accadere degli altri (non si possono manifestare più eventi elementari)

Probabilità evento incluso in un altro:

    ∀ E, F ∈ _Ω tale che E ⊆ F →

         P(E) ≤ P(F)

               ponendo F = E ∪ (F \ E) e E ∩ (F \ E) = ∅ si ha

      P(F) = P(E ∪ (F \ E)) = P(E) + P(F \ E)

      →

   P(E) = P(F) - P(F \ E)               P(E) ≤ P(F)

Probabilità totali:

    ∀ E, F ∈ _Ω  

         P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

                         ponendo E ∪ F = E ∪ [F ∖ (E ∩ F)] e E ∩ [F ∖ (E ∩ F)] = ∅ si ha

      P(E ∪ F) = P { E ∪ [F ∖ (E ∩ F)]} = P(E) + P(F ∖ (E ∩ F))

                       ponendo F = (E ∩ F) ∪ [F ∖ (E ∩ F)] e (E ∩ F) ∩ [F ∖ (E ∩ F)] = ∅ si ha

      P(F) = P[(E ∩ F) ∪ (F ∖ (E ∩ F))] = P(E ∩ F) + P(F ∖ (E ∩ F))

      __________________________________________________________

            P[F ∖ (E ∩ F)] = P(F) - P(E ∩ F)

            Sostituendo il secondo risultat0 nel primo:

      P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

   Se E ∩ F = ∅ → P(E ∩ F) = 0

              l'unione equivale al loro sommarsi.

Generalizzazione delle probabilità totali considereando E, F, G ∈ _Ω

   P(E ∪ F ∪ G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E ∩ F) - P(E ∩ G) - P(F ∩ G) + P(E ∩ F ∩ G)

La probabilità di almeno di un evento si ottiene sommando le probabilità dei singoli eventi; sottraendo l'intersezione di ogni coppia di eventi possibili; riunendo segni ternari di eventi, e così via fino a sommare l'intersezione di tutti gli n eventi con segno (-1)ⁿ⁺¹

La terna (Ω, _Ω, P) è detto SPAZIO PROBABILISTICO