Probabilità Parte 2

Distribuzione campionaria

p(X = k) = P(l = k) = 0,2 o 0,4. La probabilità degli eventi possono riflettere lo distrib. della media di statistico.

Statistica campionaria

• Media campione: X̅ = 1/m Σ Xi
• Varianza campione: s²(x) = Σ/m^i (Xi - X̅)²
• Max campione (X(m)=max(X1, X2, Xn))
• Min campione (X(1)=min(X1, X2, Xn))
• Intervallo di variabile campionaria A = X(m) - X(1)

-

propabizione

-

x _i p(ξ)

1 0,2

2 0,3

3 0,5

immaginiamo di estrarre con sostituzione tutti i campioni di dimensione n = 2

statistico media campionaria

(variabile casuale)

x - x _i²

x se

1 0,2

1,5 0,2

2 0,3

2,5 0,3

3 0,5

x = 1/2 Σ

p(x) = Σ/2

E(X) = Σ/2

VAR(X) x²/2Σ

0,6

-

μ=2,3

(2,1²)3(1²)3

1

TRA range and stata-frequently citata mu dovute a sco copopogone ni vuotp, la medics composione dello popodione cotrocs de pole derse ceonymenia

VAR(x)

(Ta media commponionale e lo mediosa crerea o towli campione)

(signo²) 2

E(X)=FΣ

Per (x) - propessione

t compovari suio mede (E(x)

Per me oaste coo meio E(x)

(1, 0(0)

E(X) = 1

-

variancia dello popolazione

VAR(X) estrarr coo medox del che differe intensa

E(X) =

(1-0,0) + 1.5(0,2)+2(0,2), t 5(0,3)+3 0,3(0,2)2.3

Attorno vuio il ca del popadizione

excre ci aquoco a *n

definiamo la media campionaria standardizzata.

il risultato del teorema considera che successione di v.c. standardizzate , convergono in distribuzione alle ciò è la media campionaria che converge in altra distribuzione.

Libro

Concetto di successioni di variabili casuali

di variabili casuali per cui distribuzione è

variabili.

È di utilizzata esistono nel le convergenze forme di convergenza e è indicato ,tothta

la convergenza in distribuzione che mette in relazione la funzioni distribuzione

si portano di funzione della funzione delle successioni

una successione f ( x ) f ( x ) distribuzione

1. a cui variabili casuali X se per distribuzione
2. di continuo sintono è to una per di punti f ( x )

Lim F ( x ) = F ( x )

allo teorema numero il due

do convergenza in distribuzione al di top del teorema del limite centrale

Siano ( X ₁, X ₂, X_n ) variabili gaussiane indipendenti e i.i.d con tempo ( i, n, inv n ) distanza

frazionata e proporzione funzioni di con media n non sufficientemente in prossimità lì la variabili casuali

n / varianza casuali data la media casuali il valore derivata con media { n / x ( x_i per cada

la media campionaria con media Δ n / polinomiale.

s.: Ho che le v.c. z_n = ( x_m - μ) σ /√ n ψ

converge in distribuzione a quindi teorema do v.c normale standardizzazione ) / v.c alla

Il teorema si può confrontare caso considerando la somma di X₁ , n variabili casuali. X₁ ^* ... μ ( ∑ ( x_i ))

in esempi ( ( br/> E ( s_n ) = μ d ) c< ( ( < - μ ) V ( s_n ) == ( n* g * n /√ ( varianti / m ( √ n / μ (Δ²) m cotta del dettato definizionie quadratico ) /

1. stima puntuale
2. stima intervallare
3. verifica di ipotesi

3 ob dei inferenza statistica

si ha una popolazione e si è interessato a un parametro che è incognito

Popolazione parametro incognito

1. stima puntuale: da come risu estoto e farebbe immem
2. stima intervallare: da come risulato (è un intervallo di .bobb) attorno da stima puntuale

3. il problema della verifica dei ipotesi:

- x eo verifica di ip è parte da cui assumzione

si formula affermzione suo q:

consiste nel osservare un complione e se evn quei se ho mio ip è vero o no. ed ip. che da % di studmuator (θ ≡ 0.5) extrage quei complione

e lo percentuel (θ = 0,31) eo verifico di ip o parametro o........ se ip è vero o ....

Quando accu ... è possibile e osservare tutta è cintro della popolazione, i parametri sono generalmente vgetto (anguardia) le problema consiste nel trovare una funzione dell audi complimoni che fornisca una buona approssimazione dei parametro ignoto tale problema è noto come stima puntuale dei parametri

X~N

μ, σ²

La popolazione è una variabile quantitativa

Parametro μ (media di X)

La media campionaria è uno stimatore:

X̄ = ΣX_i / n

Lo medio campionario è uno stimatore corretto della media della popolazione:

E(X̄) = μ

MSE(T̄) = VAR(T̄) + [E(T̄) - μ]²

Siccome lo medio campionario è corretto, dunque:

MSE(T̄) = VAR(T̄) = σ² / n

VAR(X̄) = σ² / n

Deve σ̄² = VAR(X)_n = S² / n

lim_n→∞ WSE(X_n) = σ² / n = 0

È consistente

La popolazione è una variabile Bernoulli

X ~ Be(π)

b E(X) = π

VAR(X) = π(1-π)

X̄ = n / m ̄ media campionaria è uno stimatore

E(X̄) = π

È uno stimatore corretto

VAR(X̄) = π(1-π) / m

lim_m→∞ 9(1-π) = 0

Dobbiamo avere la consistenza

Popolazione quantitativa X_i~(n;μ,σ²)

Come lo stimo?

Introdurci uno stimatore della varianza:

S² campionaria corretta = Σ(X_i-X̄)² / n-1

La diff. dello varianza per n

Uno stimatore corretto della varianza della popolazione X_i

Se il livello di confidenza è maggiore di 0,95 allora

\(\overline{X} - \dfrac{X - \mu}{\sigma} \le -1,96\) e \(\dfrac{X - \mu}{\sigma} \le 1,96\).

quindi ero

\(\overline{X} + z_{\dfrac{\alpha}{2}} \sqrt{\dfrac{(X - \overline{X})}{n}}\)

VEDI ESEMPIO dei voti:

• n = 100
• \(\overline{X} = 9,1\)

DEVIAZIONE STANDARD:

\(d cuore X = \dfrac{9,1 - 9}{100} = 0,03\)

l'intervallo dei confidenza:

• \(\alpha = 0,95\)
• \(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = 1,96\)

\(0,1 \pm 1,96 \cdot (0,03)\)

l'intervallo dei confidenza è:

\(0,1 \pm 0,0588\)

\(0,042\—0,1588\)

\(M = 1000\) \(\overline{X} = 9,1\)

\(\dfrac{\sigma}{d \frac{0,03}{1000}} = 0,00105\)

\(0,1 \pm 1,96 \cdot 0,00033 = 0,00186\) aumento la precisione

E(T) = E[₁/ⁿ Σ₁ⁿ X_i] =

= 1/_n ΣE(X_i) = μ

= (1_n)^2 [ΣV(X_i) + ΣΣCov(X_iX_j)]

= σ²(1 - 1_n) = (n - 1_n) σ² ≠ σ²

= 1_n Σ (X_i - &x̄;)²

S² = T 1_(n-1)

S² = 1_n+1 Σ(X_i - X̄)²

E(S²) = E T n 1_(n-1) E(1) = n_(n-1) n-1_n σ²