Principi di elettromagnetismo

CAMPO ELETTROSTATICO

Esistono varie interazioni tra i corpi in natura, la 1^a ad essere stata scoperta e studiata è l'interazione gravitazionale, dalla legge di Newton

F = G   m₁ m₂ / r²

Un'altra interazione fondamentale è quella elettrica. Un aspetto particolare di questa interazione è la forza elettrica. Dopo varie osservazioni si arrivò alla conclusione che ci sono due tipi di materiali: i conduttori, che si caricano per strofinio e sono capaci di mantenere carica elettrica.

I conduttori che mantengono la carica dopo averli elettrizzati.

Si è dedotto che esistono due tipi di cariche: positive e negative, che costituiscono l'elemento elettrico, costituenti elementari della materia ed i protoni e gli elettroni.

Nel SI l'unità di misura della carica elettrica è il Coulomb (C).

La legge di Coulomb stabilisce l'intensità della forza che si esercita fra due cariche q₁, q₂ di piccole dimensioni poste nel vuoto a distanza r.

F = 1 / 4πε₀   q₁ q₂ / r²

dove ε₀ = 8,85 · 10^-12 C²/ N m² costante dielettrica del vuoto

Se q₁ q₂ > 0 repulsiva

Se q₁ q₂ < 0 attrattiva

La forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza

K = 1 / 4πε₀ = 8,98 · 10⁹ Nm² / C²

Le forze elettriche agenti su una carica q₀ dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori. Vige cioè il principio di sovrapposizione.

La forza elettrostatica su una carica puntiforme q₀ risultante dalle n forze esercitate da un sistema discreto di cariche puntiformi q_i si ottiene

F = Σ F_i = q₀ Σ   q_i / 4πε₀ r_i0²

Il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di cariche fisse E è definito come la forza elettrostatica risultante F che agisce su una carica di prova q0 posta in P, divisa per la carica q0 stessa.

E = F / q0

campo elettrostatico

N

C

Il campo E_i prodotto da una carica Q di piccole dimensioni (puntiforme) in un punto P che dista dA da Q è:

E_i = [q / (4πε₀ε)] x (1 / r²)

carica puntiforme

Il campo elettrostatico E_s in un punto P prodotto da un sistema discreto di cariche un'utilizzando il principio di sovrapposizione è:

E_s = Σ_i[q_i / (4πε₀ε)] x (1 / r²)

sistema cariche

Il campo E_c in un punto P prodotto da una distribuzione continua di carica è espresso dall'integrale vettoriale:

E_c = (1 / 4πε₀) ∫(dq / r²) x r̂

cariche continue

Proprietà generali del campo E, descritte dalle linee di forza del campo:

1. Per un punto passa una sola linea di forza
2. Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sui quelle negative
3. Le linee di forza si addensano nei dintorni dei punti in cui il campo E è maggiore

CAMPO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME

IL LAVORO DELLA FORZA PER UNO SPOSTAMENTO DENEL CAMPO DELLA CARICA PUNTIFORME q FISSATA IN O È:

A=∫_A^B E·de= ∫_A^B q0q/4πε₀ z² de = q0q/4πε₀ z² dz/z²

PER CUI A=∫_A^B q0q/4πε₀ z² dz/z²

L'UNICA VARIABILE PRESENTE È z PER CUI:

L=∫_A^B E·de= ∫_A^B q9/4πε₀ z² q dz/z² = ∫_A^B q/4πε₀ dz/z²

IL LAVORO CORRISPONDENTE È QUINDI

L= q0 [ q/4πε₀ z(1/z_B - 1/z_A) ]

ABBIAMO VERIFICATO CHE IL LAVORO NON DIPENDE DAL PERCORSO.

LA DIFFERENZA DI POTENZIALE DI UN CAMPO GENERATO DA UNA CARICA È:

V_B - V_A = [ q/4πε₀ z_B ] [ q/4πε₀ z_A ]

LA VARIAZIONE DELL'ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA È:

U_e(B) - U_e(A) = q0q/4πε₀ z_B - q0q/4πε₀ z_A

FISSANDO V(∞)=0 Z→∞ POSSIAMO TROVARE IL POTENZIALEELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME

V(z) = - ∫∞ E·dρ = -9/4πε₀ z

La Legge di Gauss

Presa una superficie dS si definisce il flusso di campo E attraverso la superficie dS

dΦ(E) = E ⋅ m̂ dS = E_m dS ⋅ E_m dS

Sommiamo gli infiniti contributi:

Φ(E) = ∫ E ⋅ m̂ dS

Se la superficie è chiusa il flusso si scrive ∮ E ⋅ m̂ dS in questocaso è convenzionale orientare la normale verso l'esterno, i contributi positivirappresentano un flusso di E uscente dalla superficie; quindi è orientatocome m̂, quelli negativi puntano verso l'interno. Quindi: Φ(E) è entrante,pertanto se il flusso di una superficie è chiusa vuol dire che il flusso entranteè uguale a

La Legge di Gauss stabilisce che: il flusso del campo elettrico

è prodotto da un sistema di cariche attraverso una superficie

chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche

contenute all'interno della superficie divisa per ε₀.

Φ(E) = ∮E ⋅ m̂ dS = 1/ε₀ [Σq_i]_int

Nel nostro caso di distribuzione di carica continua si ha:

Φ(E) = ∮E ⋅ m̂ dS = 1/ε₀ ∫ dq

Unificando queste due abbiamo Φ(E) = ∮E ⋅ m̂ dS = Q_int/ε₀

Se consideriamo una superficie sferica di raggio r concentrata a

una carica puntiforme q il campo E risulta in ciascun punto della

sua costante e circonduciamo essa, per cui:

Φ(E) = ∮E ⋅ m̂ dS = q/4πε₀z dS = q/4πε₀z

Il risultato è vero anche se uno dei due punti sta sulla superficie, che risulta essere una superficie equipotenziale.

Dato che la superficie del conduttore è equipotenziale, il campo è in un punto esterno prolungano al conduttore e a alla superficie del conduttore indipendentemente dalla forma il valore di E₀ si ricava applicando la legge di Gauss ad un cilindro retto di basi S e S₀ laterale di aria trascurabile rispetto a dS₀ con una base contenuta all'interno del conduttore, in cui E = 0 e l'altra in prossimità del conduttore all'esterno, dove il campo elettrostatico è normale alla superficie.

Si vede che il modulo del campo elettrostatico è maggiore dove φ è maggiore dove il raggio di curvatura della superficie è minore.

Un conduttore carico isolato da altri conduttori ha dunque una distribuzione superficiale di carica tale che il campo elettrostatico all'interno sia zero avvicinando un conduttore, carico o scarico, ad un altro corpo carico, ovvero, introducendo in un campo elettrico esterno E, il campo elettrostatico all'interno non sarebbe più nullo ma sarebbe dato da E. Questo dal provoca un movimento di elettroni che, se spostano per azione del campo E esterno ed E si accumulano a un zona della superficie, uscendo sul resto della superficie, un eccesso di carica positiva ma questa zona si crea un campo elettrostatico indotto E_I che contrasta il movimento degli elettroni e si raggiunge l'equilibrio quando E + E_I = 0.