Potenza ed energia

Proprietà di conservazione delle potenze

Ep i 10W 01 a1g = − = − ⇒ = >E Ep E i 9W p 9W 02 2g 2 aProf. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005Proprietà di conservazione delle potenzeIn qualsiasi circuito la somma delle potenzegenerate uguaglia la somma delle potenzeassorbite (conservazione dell’energia).= = >Ep E i 10W 01g 1= = = >R R 2i p vi Ri 1W 0a+ + = − = − ⇒ = >E Ep E i 9W p 9W 02 2E E g a21 2 + =E E Rp p p1 2g g aProf. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005Ri + =+ + E E Rp p p1 2g g aE E1 2Mentre per un bipolo passivo la potenzaassorbita è sempre positiva, per un bipolo attivola potenza generata può essere sia positiva chenegativa.Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica -

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Conservazione delle potenze: teorema di Tellegen

Consideriamo due circuiti

    1   3
N' ------
    I   II
    R4  3R
    2   3
    2

    R   R4
    5   E
    I   I
    +   G
    I   5
    1   6
    4
N'' ------
    4

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Indichiamo rispettivamente con i', i'',…, i' e v', v'1 2 b 1 2,…, v' le correnti e le tensioni di N' e con i'', i'',…, b 1 2i'' e v'', v'',…, v'' le correnti e le tensioni di N''.b 1 2 b2 31 32 Adottiamo su ogni lato64 di G la convenzione5 dell'utilizzatore.

G

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Il termine v'i'2 - v'i'31 k k32 64 viene detto potenza virtuale5 assorbita dal lato k-esimo di G.1G E' possibile considerare4 anche il termine: v'i'k k

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Si dimostra che se le i', i',..., i' soddisfano le1 2 bLKC per G e le v'', v'',..., v'' soddisfano le LKT1 2 bper G, la somma delle potenze virtuali assorbite da ciascun lato del grafo è uguale a zero, ovvero: b∑ =v'i''0kk=k 1

E' evidente che risulterà pure: b∑ =v''i'0k k=k 1

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m bb ∑ ∑ gen∑ ass == p pv i 0kk k k= = = +k 1 k 1 1h m

Esso esprime un principio di conservazione dell’energia.

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Principio di reciprocità

Due circuiti N' e N'', aventi lo stesso grafo orientato, i'i' costituiti da un generatore di f.e.m. e da resistori lineari passivi, in cui il generatore sia per N' sul lato a e per N'' sul lato b soddisfano la seguente relazione (di reciprocità):

i''Ri'' bka i ' i ' '=b av'' E''a b+ E ' E ' 'k=1,..., N r a b

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I due circuiti N' e N'' hanno lo stesso grafo orientato (differiscono solo per la posizione del generatore di f.e.m.).

N' N'' i'i' i''RbRa i'' bkk av'E' b v'' E''a a b+ k=1,..., N +k=1,..., Nr r

Consideriamo su tutti i lati la convenzione dell'utilizzatore.

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Si può applicare il teorema di Tellegen utilizzando le tensioni di N' e le correnti di N'' e viceversa:

N' N∑r+ + =E ' i ' ' v ' i ' ' v ' i ' ' 0i' a a k k b bi' bRa =1kk v'E' b N∑ra = + =+ E ' i ' ' R i ' i ' ' 0k=1,..., N r a a k k k=1kN'' N∑r+ + =E ' ' i ' v ' ' i ' v '

' i ' 0b b k k a ai''Ri'' =bk 1kav'' NE'' ∑ra = + =b E ' ' i ' R i ' ' i ' 0+k=1,..., N r b b k k k=1k

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Sottraendo membro a membro:

N N∑ ∑r r+ − − =E ' i ' ' R i ' i ' ' E ' ' i ' R i ' i ' ' 0a a k k k b b k k k= =1 1k k= −E ' i ' ' E ' ' i ' = 0a a b be quindi:

i ' ' i ' E ' E ' '= =a b a bE ' ' E ' i ' i ' 'b a b a

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E ' E ' 'i ' ' i ' == a ba b i ' i ' 'E ' ' E

' b ab aIl rapporto tra l'effetto (la corrente) e la causa (ilforzamento) del circuito N' è pari al rapporto tral'effetto (la corrente) e la causa (il forzamento) delcircuito N''.Dimensionalmente si tratta dell’uguaglianza tradue conduttanze o due resistenze.

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Espressioni alternative:

Il rapporto fra l'effetto (la corrente) e lai ' ' i '= causa (il forzamento) della rete N' è pari ala b rapporto fra l'effetto (la corrente) e la causaE ' ' E 'b a (il forzamento) della rete N''.

Il rapporto fra la causa (il forzamento) eE ' E ' '= l'effetto (la corrente) della rete N' è pari ala b rapporto fra la causa (il forzamento) ei ' i ' 'b a l'effetto (la corrente) della rete

N''.E ' i '=a b

Il rapporto fra i forzamenti delle due reti N'