Circuiti Elettronici di Potenza

1. Introduzione all'elettronica di potenza.

L’elettronica di potenza è una è un'area tecnologica, disciplinare, che sta prendendo sempre più piede perché

praticamente non esistono applicazioni dell'ingegneria dell'energia elettrica dove non ci siano convertitori elettronici

di potenza, perché la gestione e il controllo dei livelli di correnti e tensione viene fatta in maniera estremamente

agevole. Il benefit è che con lo sviluppo tecnologico, a parità di prestazioni, i dispositivi con sono sempre meno,

oppure a parità di costo i dispositivi sono sempre più performanti. Siamo ancora nello sviluppo di queste tecnologie

di elettronica di potenza e che entrano dappertutto, anche a livello abitativo, civile, industriale, e per tutte le cose

che riguardano energia elettrica.

2. Richiami e definizioni

Nello studio dei circuiti elettronici di potenza ci interessa della tensione e della corrente, o potenza istantanea, o

energia. Segnale, grandezza o forma d’onda li consideriamo sinonimi.

2.1. Grandezze periodiche

Parliamo di grandezza in funzione del tempo. L’andamento nel tempo e periodico quando la forma d'onda si ripete

nel tempo in modo identico e questa finestra temporale, durante la quale la grandezza poi si ripete identicamente

nelle finestre successive, si chiama periodo. Preso un istante di tempo generico, aggiungendo il periodo, ci

ritroviamo esattamente lo stesso valore della grandezza, così come aggiungere un multiplo intero del periodo.

Questo ci consente di focalizzarci su quello che succede all'interno di un solo periodo, perché quello che succede

negli altri periodi è identico. Per caratterizzare una grandezza non serve studiarla da è sufficiente caratterizzarla

±∞,

in un periodo. Tant'è che per individuare la grandezza all'interno del periodo di solito si usa l’angolo elettrico.

() = ( + ) = ( ± ) con = intero

2.2. Angolo Elettrico

Se il periodo corrisponde a o , si utilizza un angolo che rappresenta il tempo trascorso scalato da a

2 360° 0 360°.

Con una semplice proporzione possiamo descrivere la nostra grandezza in termini del cosiddetto angolo

: = : 2

elettrico (perché di solito stimiamo grandezze elettriche) L'individuazione dell’angolo elettrico ci

(

= ∙ 2)/.

consente subito di ricavare la pulsazione fondamentale che è la frequenza vista dal punto di vista angolare.

,

La frequenza è Se moltiplichiamo per otteniamo la pulsazione che si misura anch’essa in

= 1/. 2 = 2 ,

ma per non fare confusione la misuriamo in Possiamo sempre passare dal dominio del tempo al dominio

/.

dell'angolo. Ci consente di focalizzarci su un periodo, perché se vale in un periodo vale in tutti. Per questo spesso si

usa l’angolo elettrico. ∙ 2 2

= → = con = = pulsazione fondamentale

2 1

2.3. Valore medio

Valore medio: sia un valore arbitrario

1 1

()

= ̅ = () ; [() − ] = 0

Ci sono varie simbologie.

Quando si parla di grandezze periodiche ha senso parlare di valore medio, piuttosto che parlare di valor medio in

generale. Se la grandezza è periodica, a seconda della finestra nella quale calcoliamo valor medio, viene un valore

diverso. Quando parliamo di una grandezza periodica, il valore medio è riferito al periodo, non cambia. Se invece la

grandezza non fosse periodica, il valor medio dipende da dove si posiziona la finestra e da quanto dura. Si può dire

che il valor medio sia una proprietà intrinseca di una grandezza periodica, basta che lo calcoli sul periodo, non è

necessario che si specifichi a partire da che punto lo si calcola

Graficamente si può facilmente individuare il valore medio, basta tracciare una linea che rappresenta il valore,

dividendo le aree che stanno al di sopra di sotto della linea in modo da bilanciarle: l'area di sopra uguale a quella di

sotto. Per una grandezza periodica il valor medio è riferito al periodo.

Graficamente si può facilmente trovare bilanciando le aree sopra e sotto.

Graficamente è rappresentato dalla ordinata di bilanciamento delle aree (area [+] = area [-]).

2.3.1. Proprietà del valor medio: per grandezze isofrequenziali (periodo )

Il valore medio è un operatore lineare. Il valore medio della somma di due grandezze periodiche è uguale alla somma

dei valori medi. Il valore medio di una grandezza moltiplicato per una costante è la costante moltiplicata per il valore

medio. Il valor medio di una combinazione lineare è la combinazione lineare dei valori medi.

Il valore medio del prodotto non è il prodotto dei valori medi.

() () () () () () () ()

+ = ̅ + ; = ̅ ; + = ̅ +

Se avessimo il periodo diviso in sottoperiodi ( tali per cui la loro somma restituisce il periodo di calcolo

, , …)

del valor medio, possiamo calcolare il valore medio pesando tutti i valori medi in ciascuno di questi intervalli. Il

valore medio è un’area, quindi dobbiamo calcolare l'area sottesa alla funzione.

Dividiamo in tanti intervalli, anche di ampiezza diversa. Se conosciamo il valore medio in un certo intervallo, basta

che quel valore medio lo moltiplichiamo per la durata dell'intervallo e troviamo e l'area, poi le sommiamo tutte.

Infine, dividiamo per il periodo complessivo.

Il valor medio complessivo è una media pesata dei valori medi, dove il peso è il rapporto tra la durata dell’intervallo e

la durata del periodo complessivo sul quale calcolo il valor medio.

Se il nostro periodo fosse diviso in sottoperiodi anche di ampiezza diversa:

= + + ⋯ + =

( ) ( ) ( )

̅ + ̅ + ⋯ + ̅

() ( )

̅ = = ̅ con =

Valore medio complessivo = media pesata valori medi. Il peso è .

2

2.4. Valore efficace

Valore efficace: Sia un valore arbitrario. Definizione analoga utilizzando la variabile angolare

().

Il valore efficace assomiglia un po’ al valor medio, ma vuole esprimere un concetto diverso. Vuole esprimere quanto

la grandezza è diversa da indipendentemente dal fatto che sia positiva o negativa, infatti nella definizione c’è il

0

quadrato. Conta il valore a prescindere dal segno.

È la radice quadrata della media dei quadrati nel periodo.

Se lo applico ad una grandezza periodica, non importa l’istante iniziale di calcolo, ma l’importante è calcolarlo in un

periodo o in un multiplo del periodo. Comunque spostiamo la finestra di calcolo del nostro valore efficace, viene lo

stesso. Non è lineare come il valor medio perché c’è il quadrato.

1 1

() () ()

= = = ; [ − ] = 0

Bisogna focalizzarsi sul fatto che c’è il quadrato, quindi non è lineare.

Preso un segnale periodico che varia tra e di periodo (es. onda quadra). Spesso si avrà a che fare con egnali

1 −1,

costanti a tratti o approssimabili come tali. Il valore medio è Stessa cosa se fosse un segnale sinusoidale. Il valore

0.

efficace si calcola facendo il periodo si semplifica, alla fine è La parte positiva e la

(−1)

1 = 1, = 1, = 1, 1.

√1

parte negativa pesano esattamente nello stesso modo, è come se fosse un segnale costante Ma il valor medio è

1. 0.

Se un segnale ha valore efficace nullo, vuol dire che il segnale è sempre nullo, perché comunque si discosta da il

0

valore efficace viene diverso da Non si riesce a bilanciare con una parte negativa perché non c’è, è un valore

0.

sempre positivo.

Il valore efficace della sinusoide è legato al valore massimo (ampiezza della sinusoide) con la = /√2.

√2:

Si dimostra mettendo al posto di una grandezza sinusoidale.

()

Nel grafico il segnale nero è un segnale periodico, quando ne si fa il quadrato diventa quello verde, e poi se ne

()

calcola il valore medio, che è il quadrato del valore efficace. La sua radice è il valore efficace.

2.4.1. Proprietà del valore efficace

Il valor medio coincide con il valore efficace quando la grandezza è costante, e corrispondono al valore della

grandezza stessa.

Anche per il valore efficace vale quella proprietà vista per il valore medio. Supponiamo di dividere il periodo in tanti

intervalli di tempo, anche di durata diversa (magari perché la grandezza è lineare a tratti). Il quadrato del valore

efficace può essere ottenuto con una media pesata dei quadrati dei valori efficaci nei singoli intervalli. Da questo si

ricava il valore efficace della grandezza facendo la radice. Il peso è sempre il rapporto tra l’intervallo di tempo e il

periodo complessivo. = + + ⋯ + =

( ) ( ) ( )

+ + ⋯ +

() () ( )

= ; = con =

3

2.5. Analisi armonica, sviluppo in serie di Fourier

Una qualsiasi grandezza periodica può essere espressa come una somma di sinusoidi con frequenza multipla della

fondamentale.

Anche una forma d'onda periodica con degli spigoli (es. rettangolare) può essere espressa con una serie infinita di

armoniche. Le hanno la frequenza fondamentale (la prima armonica) alla stessa frequenza del segnale periodico,

cioè ha lo stesso periodo. Tutte le altre armoniche hanno periodo o frequenza multipla. La seconda armonica ha

frequenza doppia, la terza tripla, ecc …, tutti multipli interi del periodo della fondamentale. L’armonica

fondamentale è la prima forma d’onda che serve per ricostruire la nostra forma d'onda periodica qualsiasi.

L’altro termine che si mette in evidenza è il valor medio . Con delle sinusoidi non si può ottenere un valore medio,

è Se abbiamo una grandezza periodica che ha un valore medio diverso da bisogna aggiungerlo. Questo termine

0. 0,

è come se rappresentasse una sinusoide di periodo infinito, l’indice di armonica sarebbe l’armonica e si chiama

0

anche componente continua. È il limite per il periodo che tende ad infinito di un’anomica che diventa un valore

numerico costante. Al valor medio aggiungiamo la somma delle sinusoidi che vanno a ricostruire il segnale.

Calcolato il valor medio come riportato in precedenza, rimane da trovare la componente alternata. Una grandezza

alternata è una grandezza che ha valor medio nullo.

Quindi una nostra grandezza periodica può essere descritta da una componente continua (valore medio), e una

componente alternata, a valore medio nullo, che può essere espressa come somma di sinusoidi a frequenza pari la

frequenza fondamentale, doppia, tripla, fino ad infinito. Il termine è l'ordine di armonica che va da ad Non è

1 ∞.

detto che queste armoniche, però possono esserci, e arrivano fino ad infinito.

() = + cos() + sin()

Dal punto di vista pratico non si riesce ad andare all’infinito. Nella realtà succede che, nei segnali periodici,

l'ampiezza di queste armoniche decresce all'aumentare dell'ordine dell'armonica, quindi è sufficiente rappresentare

il segnale con armoniche. Dopo l'ampiezza ( ) dell’armonica tende a diventare Quindi

5 − 10 − 15 , 0.

tronchiamo lo sviluppo e possiamo rappresentare un segnale che è sinusoidale con tante sinusoidi, ma non infinite.

L'ordine dell'armonica moltiplica la pulsazione fondamentale Più il segnale è lontano dalla

= 2/ = 2.

forma d’onda di una sinusoide, quante più armoniche presenta il suo sviluppo in serie di Fourier. Le armoniche

successive alla fondamentale sono quelle che distorcono il segnale.

L’ideale sarebbe avere grandezze costanti o perfettamente sinusoidali. La distorsione armonica introduce delle

perdite addizionali, dei rumori in senso elettrico ed acustico, nelle macchine elettriche (che funzionano con

l’armonica fondamentale) generano delle coppie armoniche, quindi perdite. Tutto quello che non è sinusoidale alla

frequenza fondamentale è un disturbo. Come tutto ciò che non è costante è un disturbo se il sistema è in continua.

Nella realtà le armoniche non sono in generale né , né . Sono delle sinusoidi che hanno un angolo di fase che

sin cos

pare a loro. Ogni armonica è caratterizzata dalla frequenza (ordine di armonica), dall’ampiezza e dalla fase. Servono

due grandezze per individuare un’armonica.

Con questa espressione posso pensare di scomporre una sinusoide generica nella parte e nella parte . Si

sin cos

può vedere bene se rappresentata come fasore. Il vettore del sull'asse reale e il vettore del sull'asse

cos sin 4

immaginario, e in generale in angolo compreso tra I coefficienti e rappresentano l’ampiezza della

0 − 90°.

componente in e in .

sin cos

() = + cos( − ) ; = + ; = arctg

L'espressione compatta dello sviluppo in serie di Fourier di una sinusoide generica, che a una frequenza multipla

rispetto all'armonica fondamentale, e un angolo di fase generico .

Posso ragionare con la forma compatta, dove c’è l’ampiezza dell'armonica e la sua fase , oppure con la forma

binomia, dove non ho la fase, ma ho due ampiezze e , per ogni frequenza.

2.5.1. Calcolo dei coefficienti

Calcolo dei coefficienti: fissato arbitrariamente l’istante di riferimento , con

= 1, 2, … , ∞

2 2

= () cos() ; = () sin()

In termini di angolo elettrico, il coefficiente sarebbe trasformandolo in angolo, il periodo è quindi

2/ = 2,

rimane È volte il valor medio di quello che c’è dentro all’integrale. È i valor medio perché compreso tra e

1/. 2

del valore della nostra grandezza periodica per il . Se la grandezza la moltiplico per il , ottengo

+ , cos sin

l'ampiezza . Bisogna moltiplicare per l’ordine dell’armonica che voglio calcolare.

Da dove salta fuori il 2? = → ÷ ( + 2)

Fissando l’angolo si ha:

= = −

1 1

= () cos() ; = () sin()

Ci sono delle formule trigonometriche che ci consentono di scrivere il prodotto di e come somma di e

sin cos sin

delle differenze degli argomenti (formule di Werner).

cos 1 1

[cos( [1

sin() sin() = − ) − cos( + )] sin = − cos 2]

2 2

1 1

[cos( [1

cos() cos() = − ) + cos( + )] cos = + cos 2]

2 2

1 [sin(

sin() cos() = − ) + sin( + )]

2

Abbiamo il prodotto tra e nelle e , perché il termine è lo sviluppo in serie di Fourier della

sin cos ()

grandezza. Il segnale scritto come somma di sinusoidi viene moltiplicato per una sinusoide. Allora l’integrale diventa

una somma di prodotti di sinusoidi, alcune in altre in , ci sono tutte e tre le combinazioni. Inoltre, sono

sin cos

moltiplicate armoniche anche a frequenza diversa, perché le contiene tutte.

()

Supponiamo di voler calcolare l'ampiezza del termine in per una certa armonica cioè . Prendiamo il segnale

cos ,

e lo moltiplichiamo più un segnale ad una frequenza volte maggiore. Ci ritroviamo termini del tipo

()

e

cos() cos() sin() cos().

Nei prodotti vediamo che, quando le frequenze sono diverse, e faccio la differenza tra le due

cos() cos()

frequenze, viene fuori una frequenza diversa da zero. Facenodne l'integrale nel periodo, questo viene Stessa cosa

0.

quando vado a fare la somma, il valor medio è L’unico caso in cui non viene è quando le due frequenze sono le

0. 0

stesse. Allora, se sono uguali, quando faccio la differenza viene cos(0) = 1.

È l'unico caso in cui quando faccio l'integrale non viene ma verrà il coefficiente che c’è davanti. Il che ci

0, 1/2, 2

vuole davanti all’integrale serve per mandare via questo qua.

1/2

Alla fine, il risultato dell’integrale è l'ampiezza del termine in , perché avrà una sua ampiezza che viene fuori

cos

dall’integrale, l’1/2 va via col e rimane solamente l’ampiezza . Solamente quando la frequenza è la stessa che

2

voglio andare ad estrarre. 5

Riassumendo: ho il segnale con il contenuto armonico, lo moltiplico per l'armonica di cui voglio trovare ampiezza, e

faccio il valor medio. Automaticamente vanno via tutte le armoniche che non sono quella che voglia estrarre. Quella

che voglio estrarre salta fuori con un coefficiente quindi la moltiplico per

1/2, 2.

Tutti i termini in contenuti nel segnale periodico non li estraggo perché presentano la somma e la

sin sin() cos()

differenza all’interno di un , quindi quando la frequenza è la stessa ( la differenza fa e Tutti

sin = ), 0 sin(0) = 0.

i termini il vanno via come valor medio. Tutti i termini in vanno via, e rimane solo il termine in c