3. Lavoro, potenza, energia

Lavoro, Potenza, Energia: Formulario

• Lavoro di forze costanti: L = F_x ∆s = F · s · cosθ
• Lavoro forza peso: LAB = mg (y_B - y_A)
• Lavoro forza elastica: LAB(ϕ) = 1/2 K (x_A² - x_B²)
• Lavoro forza d'attrito: LAB = -μd · N |AB| → forza non conservativa
• Lavoro forza centripeta: LAB = 0 perché FL ⊥ s → forza ⊥, lavoro nullo
• Potenza media: LAB/∆t = P_m
• Potenza istantanea: P(t) = F · v
• Teorema delle forze vive: LAB(y) = ∆T = T_B - T_A = 1/2 m v_B² - 1/2 m v_A²
• Energia potenziale (delle F conservative): LAB = U_A - U_B = -∆U
• Superfici equipotenziali (U = cost)
• Conservazione dell'energia meccanica (per ambi soggetti a f. cons.)
• T + U = E = cost → ΔU = ΔT = Δ(T + U) = ΔE = 0

ENERGIA POTENZIALE / FORZE CONSERVATIVE

FORZA CONSERVATIVA: il lavoro compiuto per passare dalla posizione A a quella B dipende solo dalle posizioni dei due punti e non dalla linea che li congiunge.

Un POTENZIALE di una forza conservativa è una funzione che dipende dalle coordinate del punto, tale che la differenza dei suoi valori in A e in B è uguale al lavoro compiuto dalla forza per passare da A a B.

FORZA PESO: → _U = m·g·h   (U=0 se h=0)

FORZA ELASTICA (k cost): → _U = ½ kx²   (U=0 se x=0)

FORZA COST. → _U = Fx   (U=0 se x=0)

FORZA GRAVITAZ. → _U = -GMm_1/r   (U=0 se r=∞)

• L_AB = U_A(x_A,y_A,z_A) - U_B(x_B,y_B,z_B) = -ΔU
• L_AB = T_B-T_A= -ΔT

Sembrano ≈

- Se in un punto è soggetto a una forza conservativa ed effettua un circuito chiuso allora:

∫_A^B F·ds = ∫ F·ds = 0

NB Una forza → CONVERSATIVA se si può trovare una funzione delle posizioni _U +c. U_A-U_B = LAB compiuto dalla F per passare da A a B A percorso = ++A,B

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI e LINEE DI FORZA

• SUP. EQUIPOTENZIALE: luogo dei punti in cui _U assume lo stesso valore U(x,y,z) =c0

• Al variare della costante si ottengono sup. equipotenziali con i tracci di U

• La forza in un punto P è ↑ alla sup. a cui appartiene P ed è diretto verso punti con _U viste che le forze sono 1 alle sup. si possono tracciare linee in ogni punto in cui il vettore forza risulta 1 -> LINEE DI FORZA che alle sup. equipotenziali

• ESEMPI DI SUP. EQUIPOTENZIALI:

• Forza peso → _U = m·g·y → mg y = cost → y = cost (piani orizzontali → &subdiar;≈&Para;)
• Forza elastica → _U = ½ kx² → X = cost → piani 1 all'asse x
• Forza gravitaz. / elettrostatica → _U = -/r; r = cost (sfere con centro nella massa M attirante e linee di forza radiali)

1. Un ascensore m=400kg è in movimento tramite un motore collegato a una fune. Parte da fermo e in t=3s raggiunge V₁=1,8m/s e resta a v=cost. per t=5s. Trovare la tensione, lavoro e Pm nei 2 moti.

   MOTO UNIF. ACCELERATO

   v(t)=V₀+a·t   a= v(t)/t = 0,6 m/s²

   s(t)=S₀+V₀t+1/2 at²=2,7 m

   F_T=m·a   T= m(g+a) = 1040 N

   L_T = F_T·S = 28 KJ   Pm = L/ΔT=9,3 kW

   MOTO UNIFORME

   s(t)=S₀+V₀t=9m   P=T·((s/Δt)=9,3KWm·g = 980 N

   L= F·s = 88,2 KJ   Pm = L/ΔT = 17,64 kW

2. Su un piano α=30° è trascinata una cassa m=20kg tramite un motore con P=250W che fa muovere la cassa con v = 7,2 km/h. Calcolarne la tensione della fune e μd.

   F(t) = F/v   F= P/v = 250/(7,2/3,6) = 125 N

   P+A+N+T = M g = 0

   x) T= A= m·g·senα=0   T= m·g·cosα/μd = μd·m·g·senα=0 → μd = 0,16

   y) N= m·g·cosα

3. Un blocco m=1000kg è trascinato su un piano inclinato di α=30° con μ=cost.=0,5 tramite un motore collegato a un cavo μB=0,3. Trovare le F, il loro lavoro, e la P del motore.

   T+ N+ A+P= M·g =0

   x) T= A= m·g·senα

   y) N= M·cosα

   N=8 ft.10³N   P=9,8 ft.10³N   A=2,5 ft.10³N

   T=μd·N+m·g·senα=7,4.10³N   s=5 m

   L_ABno   L_AB=- (mg(4g-8g)/d) -m g.y@   - mg.s·(senα) = 24,5.10³ J

   L_AB1=5. 37;10³→  (A_M:V.v)- 8.7.10³ J =3,7 kW

   L_AB = μd·N·s= 12,5.10³