VELOCITÀ ANGOLORE: dθ/dt = ω0 cos(ωt+φ)
VELOCITÀ LINEARE: v = ds/dt = L dθ/dt = Lω0 cos(ωt+φ)
Lavoro. Potenza. Energia cinetica
Si definisce lavoro della forza F, compiuto durante lo spostamento del p.t.o dalla posizione A alla posizione B, la q.tà scalare:
Il lavoro è l'integrale di linea della forza, ossia è dato dalla somma dei infinitimi contributi infinitesimi
dW = F・ds = Fτ ds
Si possono presentare tre casi, F forma con ds un angolo:
- minore di π/2 ⇒ lavoro motore
- maggiore di π/2 ⇒ lavoro resistente
- pari a π/2 lavoro nullo
Quando F è effettivamente la somma di n forze F1, ..., Fn per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro W
e risulta W = Σi Wi:
Il lavoro eseguito è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.
Possiamo affermare che W = 0 quando non agisce alcuna forza oppure agiscono forze la cui risultante è nulla e ortogonale alla traiettoria.
Lavoro. Potenza. Energia cinetica
Si definisce lavoro della forza F, compiuto durante lo spostamento del punto dalla posizione A alla posizione B, la q.ta scalare:
Il lavoro è l'integrale di linea della forza, cioè è dato dalla somma dei infiniti contributi infinitesimidw = F · dsτ = Fτ ds
Si possono presentare tre casi, F forma con ds un angolo:
- minore di π/2 ⇒ lavoro motore
- maggiore di π/2 ⇒ lavoro resistente
- pari a π/2 ⇒ lavoro nullo
Quando F è effettivamente la somma di n forze F1, ..., Fnper ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro We risulta W = Σ Wi
Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.
Possiamo affermare che W = 0 quando non agisce alcuna forza oppure agiscono forze la cui risultante è nulla o ortogonale alla traiettoria.
La POTENZA corrisponde al LAVORO PER UNITÀ DI TEMPO
P = dW/dt = F. dc/dt = F.v = F.v
Questa è la POTENZA ISTANTANEA che è in generale variabile
durante il moto e che caratterizza la RAPIDITÀ DI
EROGAZIONE DEL LAVORO.
La POTENZA MEDIA è il rapporto W/t dove è lavoro
totale diviso il tempo
L'ENERGIA CINETICA
Differenziando la definizione relativa al lavoro infinitesimo
associato allo spostamento di tal punto così si legge tra
la variazione infinitesima del modulo della velocità
e il lavoro.
dW = F ds = m a r ds = m dv/dt ds = m v dv
BWA = ∫ m v dv = 1/2 m vB2 - 1/2 m vA2 = EK,B - EK,A = ΔEK
Il lavoro è pari alla variazione della quantità 1/2 m v2 che è
detta ENERGIA CINETICA.
Differenziando la definizione di quantità di moto otteniamo
EK = 1/2 m v2 p = mv
EK = p2/2m => p = √2mEK
lavoro della forza peso
BWA = ∫ F . ds = ∫ F . |ds| = m · g · rAB = mg ( rB - rA )
ma rAB sull'asse Z ha componenti zB - zA
W = -(mg zB - mg zA) = -(EP,B - EP,A) = - ΔEP
└────────────────────────────┘
ENERGIA POTENZIALE
DELLA FORZA PESO
EP = mgz
Lavoro di una forza elastica
Il lavoro della forza elastica F lungo l'asse x vale:
W = ∫AB -k xi dxi = -k ∫AB x dx = ½ k xA2 - ½ k xB2 = -ΔEp
Energia potenziale elastica
Lavoro di una forza di attrito radente
W = ∫AB Fad ds = ∫AB -μa N vi ds = -μa∫AB N ds
Sempre negativo!!
Dunque resistente
Dipendente del percorso S
Questo lavoro dipende dai percorsi
Forze conservative
Nella forza peso e nella forza elastica il lavoro dipende solo dagli estremi delle posizioni A e B e non dal particolare percorso che li congiunge mentre nella forza d'attrito dipende dalla traiettoria. Le forze del primo tipo sono forze conservative e per calcolare il loro lavoro è sufficiente qualsiasi percorso che congiunge B ad A.
∫AB (F·ds)I = ∫AB (F·ds)II = ∫AB F·ds
Il lavoro è pertanto esprimibile come differenza dei valori assunti in A e B ⇒ W = -ΔEp
Nota bene: per un percorso chiuso il lavoro è nullo.
Conservazione dell'Energia Meccanica
Se agiscono, in un sistema, solo forze conservative possiamo scrivere:
W = ΔEL = EK,B - EK,A W = -ΔEP = EP,A - EP,B
⇒ EP,A + EK,A = EP,B + EK,B
La somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un punto materiale che si muove sotto l'azione di forze conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva.
Tale somma si chiama ENERGIA MECCANICA e in presenza di forze conservative vale perciò il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA: EM = EK + EP = costante
Quando agiscono sia forze conservative che non conservative il lavoro complessivo è dato dalla somma del lavoro delle forze conservative WC e quello delle non conservative Wnc:
W = WC + Wnc = EK,B - EK,A
EP,A - EP,B + Wnc = EK,B - EK,A
⇒ Wnc = EM,B - EM,A
In presenza di forze non conservative l'energia meccanica non resta costante e la sua variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative.
Relazione En. Potenziale - Forze
dW = F·ds = Fxdx + Fydy + Fzdz = -dEP
⇩momento uomo del lavoro ⇦ componente di una forza conservativa
∮ dW = -∮ dEP = 0
⇒ ∫AB dW = ∫AB (Fxdx + Fydy + Fzdz) = ∫AB dEP = - [ ∫AB (∂EP/∂x) dx + (∂EP/∂y) dy + (∂EP/∂z) dz ]⇄ derivate parziali
⇒ F = -grad EP = -∇EP la forza è l'opposto del gradiente dell'En. Potenziale
MOMENTO ANGOLARE
e MOMENTO di una FORZA
Consideriamo un punto materiale P che si muove in un sistema di riferimento inerziale: sia p=mv la sua q.tà di moto e scegliamo un punto O di riferimento.
Definiamo MOMENTO ANGOLARE o MOMENTO della Q.TA’ di MOTO del punto P rispetto al polo O il vettore
L = rp x p
Nota bene: Se si cambia il polo rispetto a cui fare il calcolo il momento angolare ha relazione diretta: L0 = L1 + r2 x p
Capiamo ora quale è l’asse attorno di opportune condizioni di L.
Consideriamo il prodotto della quantità L = dp/dt
rp x F L0 x dp/dt
Il primo membro dell’equazione è definito MOMENTO della FORZA F rispetto al polo 0.
Ovunque sia il punto sono applicate più forze: se un sistema e P0 : ΣF=I allora H = rP0 x r2
Nel caso particolare di un punto su un polo fisso nel sistema di riferimento mi equivale (rel. 5) rimane che
H = dL/dt
Avaler un qui sistema materiale in seguito ad un polo fisso come polo, il momento della forza poniamo agente su un punto materiale è pari al:
derivata rispetto al tempo del momento angolare del p.to
materiale stesso. Questa conclusione prende il nome di
TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE
Nota bene: il momento angolare di un p.to materiale
rimane costante nel tempo se il momento delle forze è
nullo
0 <-> dL/dt = 0
Nota bene: per produrre una variazione finita del momento
angolare di un p.to materiale, occorre l'azione, per un
certo tempo, del momento di una forza:
t ∫0 Ṫ dt = ΔL
Se la forza viene applicata al p.to per un tempo
molto breve è praticamente costante e risulta:
t ∫0 (ℓ₀p × F)dt = ℓ₀p × t ∫0 F dt = ℓ₀p × I = ΔL
Questo è detto TEOREMA DEL MOMENTO DELL'IMPULSO: la
variazione del momento angolare è uguale al momento
dell'impulso applicato al p.to.
FORZE CENTRALI
Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà:
- un qualsiasi p.to lo sua direzione passa sempre per un p.to fisso, detto centro della forza
- il modulo e f.ne soltanto della distanza dal centro stesso
La presenza di una forza,f.ne della posizione, che agisce in una certa regione dello spazio, costituisce una modifica dello spazio stesso e stabilisce quello che si chiama un campo di forza.
Questo campo agisce su ogni particella che si trova in esso.
Il concetto di campo venne introdotto da Faraday nello studio dell'elettromagnetismo.
In un campo di forze centrali, il momento della forza rispetto al centro è sempre nullo. Questo perché r x F perciò L = costante.
In un tempo dt il raggio vettore OP spazza l'area infinitesima dA la quale è approssimabile ad un triangolo di base OP⋅dθ e altezza OP e quindi area
dA = ½ OP⋅dθ
Punto precedente
dA/dt = ½ r² dθ/dt
detta velocità areale la quale esprime la rapidità con cui viene spazzata l'area
dal vettore OP.
Risulta così:
dA⁄dt = 1⁄2m
in quanto nel moto circolare il momento angolare vale:
L = mr² df⁄dt
Pertanto possiamo affermare che la traiettoria di un
pto che si muove in un campo di forze centrali giace
su un piano fisso passante per il centro ed è percorsa
in modo tale che la sua velocità areale rimanga
costante.
Questo è alla base della II LEGGE DI KEPLERO e
portò NEWTON a dedurre che la forza gravitazionale è
una forza centrale.
In generale la risultante Fi (int) delle forze interne agenti su un generico i-esimo punto e' ovvero e' sempre allo zero mentre la risultante di tutte le forze interne del sistema e' nulla poiche' queste, per le principio di azione e reazione sono a due a due uguali e opposte.
Per il p.to - esimo abbiamo:
posizione ri ( SR )
velocita' vi
accelerazione ai = Fi / mi
q.ta di moto pi = mivi
momento angolare Li = ri × mivi
energia cinetica Ek i = 1/2 mivi2
Per il sistema
q.ta di moto totale ptot = Σ qi = Σ mivi
momento angolare totale Ltot = Σ pi = Σ ri × mivi
energia cinetica totale Ek = Σ Ek i = Σ 1/2 mivi2
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