Politica economica - le matrici

Elementi di algebra matriciale

Per matrice m × n si intende una tabella di mn numeri disposti in m righe ed n colonne. Tale matrice si suole indicare con A. Se a_ij è l'elemento della riga i-esima e della colonna j-esima, allora si può scrivere:

Per abbreviare la notazione si scrive anche A = (a_ij). In questo caso si suppone che i vari da 1 a m e j vari da 1 a n. Se accade che m = n si dice che A è quadrata. Gli elementi a_ij della matrice che considereremo da qui in avanti saranno numeri reali.

Trasposta di una matrice

Si chiama trasposta di una matrice di dimensioni m × n la matrice A^T o A' di dimensioni n × m le cui righe sono le colonne di A:

La matrice è detta simmetrica se A = A^T. Le matrici simmetriche sono necessariamente quadrate. Si osservi che (A^T)^T = A per qualunque matrice A.

Vettore n-dimensionale

Molto spesso si deve considerare un vettore n-dimensionale x come una matrice n × 1 avente n righe ed 1 colonna:

In quanto tale, x è chiamato vettore colonna. x^T ha una riga ed n colonne per cui è chiamato vettore riga: x^T = (x₁, x₂, ..., x_n).

Somma e differenza di matrici

Per matrici m × n è definita la somma (o differenza): A ± B = C = (c_ij). Ogni elemento c_ij = a_ij + b_ij. La conformabilità per la somma delle due matrici richiede che esse siano dello stesso ordine. La somma è associativa e commutativa.

Moltiplicazione tra matrici

Gran parte dell'utilità delle matrici dipende dalla seguente definizione di moltiplicazione fra matrici, che permette di combinare due matrici, ottenendone una sola, e in modo da preservare le relazioni lineari. Se A = (a_ij) è una matrice m × n e B = (b_ij) è una matrice n × p, allora il prodotto AB è la matrice C = (c_ij) di dimensione m × p i cui elementi sono dati da:

c_ij = ∑_k=1ⁿ a_ik b_kj, i = 1, ..., m, j = 1, ..., p

Due matrici A e B sono conformabili se è possibile il prodotto AB, ossia se sono di opportuna dimensione. Se la prima è m × n e la seconda è p × n esse non sono conformabili. La moltiplicazione matriciale è associativa, infatti: A(BC) = (AB)C. La moltiplicazione matriciale non è commutativa. Inoltre, può sorgere un problema di conformabilità, che impedisce che la moltiplicazione sia commutativa.

Matrice identità

La matrice identità n × n è la matrice:

Ovviamente, I commuta con ogni matrice n × n: IA = AI = A. Se A = I, allora AB = BA = AB = AIB = ABI.

Moltiplicazione con scalare e matrici scomposte

Moltiplicazione di matrici scomposte. Se due matrici A e B sono opportunamente scomposte, la loro moltiplicazione può aver luogo come se le submatrici fossero elementi di una matrice, nel modo seguente:

Poiché le submatrici come A₁₁ e B₁₁ siano appropriatamente conformabili. Questo risultato è generalmente vero e la moltiplicazione delle matrici per blocchi può essere interpretata come un’estensione della regola di moltiplicazione ordinaria.