Politica economica - le matrici

Moltiplicazione matriciale non è commutativa

Inoltre, può sorgere un problema di conformabilità, che impedisce che la moltiplicazione sia commutativa.

La matrice identità n x n è la matrice:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Ovviamente, I commuta con ogni matrice n x n: IA = AI = A.

Moltiplicazione con scalare:

Moltiplicazione di matrici scomposte. Se due matrici A e B sono opportunamente scomposte, la loro moltiplicazione può aver luogo come se le submatrici fossero elementi di una matrice, nel modo seguente:

A	A	B	B
11	12	11	12
21	22	11	12

AB =

11	12
21	22

û ë û ë û21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22purchè le submatrici come e siano appropriatamente conformabili.A B11 11Questo risultato è generalmente vero e la moltiplicazione delle matrici perSlid blocchi può essere interpretata come un’estensione della regola die 7 moltiplicazione ordinaria.Ciò si può illustrare mostrando che:Bé ù1ê ú[ ]⋮ ⋯A A A B A B= +ê ú1 2 1 1 2 2ê úBë û2Gli ordini di , , e devono essere, rispettivamente: 1xp; 1x(n-p); lx1;A A B B1 2 1 2(n-l)x1.Nella slide seguente mostriamo gli ordini delle submatrici di A (mxn) e B(nxs) quando si voglia ottenere il prodotto AB usando le scomposizioniprima evidenziate delle 2 matrici.A B ¡ ¡n sp n – p q s – qA A B B| |é ù é ùl p11 12 11 12ê ú ê ú- - - - - - - - - - - -m ê ú ê úm –

n –ê ú ê úA A B B| |ë û ë û21 22 21 22l pSli   -  -  -l p p q ( m l ) p ( n p ) ( s q )A B A B   ¡ ¡ ¡ ¡de 11 11 21 21 -  - -  - -  -l ( n p ) p ( s q ) ( m l ) ( n p ) ( n p ) ( s q )A B A B   ¡ ¡ ¡ ¡8 12 12 22 22Nel matrice prodotto risultante è evidenziato qui di seguito che gli elementidella prima riga sono il prodotto di submatrici conformabili.A B A B A B A B+ +é ù11 11 12 21 11 12 12 22ê úê úê ú[ ] [ ] [ ]   -  - -  - - - -( l p ) ( p q ) l ( n p ) ( n p )( s q ) ( l p ) p ( s q ) l ( n p ) ( n p )( s q )ê úê úê úA B A B A B A B+ +ë û21 11 22 21 21 12 22 22Proprietà delle MX trasposteT T T T T T T T T(A + = + ; (AB) = ; (A ) = ; I = IB) A B B A ATSe = è una matrice simmetrica, ossia a = a .A A,

A ij jiSe , x’Ax è uno scalare (forma quadratica) nelle variabili x.n nA  ¡La matrice può essere sempre scritta in modo che = Una simileA A A’.Slide 9 matrice può servire per assegnare dei pesi alle variabili checompongono il vettore x, elevate al quadrato.(Interpretare x’Ix.)y’Az è detta forma bilineare ed è anch’essa uno scalare. La matricepuò servire per dare dei pesi alle combinazioni (prodotti) delleAvariabili che compongono i due vettori,Determinante e matrice inversaIn generale è possibile definire il determinante det(A) per unaqualunque matrice quadrata. Per un matrice quadrata di dimensione nn si indica il suo determinante come: a a a11 12 1na a a21 22 2 nA =det( )(5)Slide 10 ⋮ ⋮ ⋮a a an1 n 2 nnNon cercheremo di dare una definizione formale di determinante, manoteremo che un determinante n n può essere sviluppato nei minorisecondo qualunque sua riga o colonna,

e quindi può essere espresso come somma di multipli di determinanti (n - 1) x (n - 1). Continuando questo processo possiamo alla fine ricondurci al calcolo di (forse parecchi) determinanti 2x2 o 3x3, di cui ora daremo la definizione. Il determinante di una matrice di dimensioni 2x2 risulta essere così definito: Slide 11 ``` a b c d ``` (6) = ad - bc Analogamente, un determinante 3x3 risulta essere così definito: ``` a b c d e f g h i ``` (7) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idbg Si osservi ora che possiamo ricondurci al calcolo interattivo di determinanti di ordine 2 raccogliendo a fattor comune gli elementi della prima riga: ``` a b c d e f ``` (8) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) ``` g h i ``` (9) = - (di - fg) + (dh - eg) I determinanti 2x2 così ottenuti vengono chiamati minori del determinante 3x3. Questo processo è chiamato sviluppo del determinante 3x3 nei minori secondo la prima riga. Lo sviluppo

dei minori può essere effettuato secondo qualunque riga o colonna. Si noti che compare un segno “–” in ogni termine il cui minore è ottenuto eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima, quando i + j è un numero dispari. Ad esempio possiamo sviluppare il determinante precedente in minori lungo la seconda colonna nel modo seguente:

Slide 13

a b c d f

a c a c= - + -

d e f b e h

(10) g i g i d f

g h i

Naturalmente questo valore coincide con quello ottenuto in precedenza.

Per i determinanti è possibile enunciare le seguenti proprietà:

• se due righe di un determinante si scambiano fra loro, il determinante cambia di segno;
• se due righe di un determinante sono uguali il determinante ha valore nullo;
• se un multiplo di una riga è sommato a un'altra riga, il determinante rimane inalterato.

Slide 14

Se A e B sono due matrici n n allora det(A ) = det(A). Inoltre det(AB)= det(A) det(B).

Si dice che la matrice quadrata

è singolare se det(A) = 0. Se det(A)A≠ 0 si dice che è non singolare.

L'inversa di una matrice quadrata non singolare è una matrice A–1 quadrata non singolare che soddisfa:

A –1 –1(12) = = IAA A –1

Ogni matrice quadrata non singolare ha un’inversa unica.

Inoltre l’inversa soddisfa 1-1A = det( )(13) Adet( )T–1 –1T(14) (A ) = (A )

Indichiamo ora il modo per calcolare l’inversa di una MX A.

I passi sono i seguenti:

1. si calcolano i cofattori di ogni elemento a di A A.

2. si dispongano tali cofattori in una MX.

3. si ottenga la trasposta di questa matrice.–1

4. la si ottiene dividendo la Mx di cui al punto precedente per il detA

Il cofattore di a in è indicato con , un determinante di ordine (nA Ars rs– 1) ottenuto da di ordine n eliminando la resima riga e la sesima A r + s colonna e applicandovi il segno (–1) . Vi sono tanti cofattori quanti sono gli elementi e possono

essere disposti in una matrice [A] disordinata n x n. Si scriva la trasposta di questa matrice, detta matrice aggiunta di A:

A^T =

A A A...
è ù11 21 n1
ê úA A A...
ê ú12 22 n 2
A =[ ]
’rs ê ú...
... ... ...
ê úA A A...
ë û1n 2 n nn

La matrice inversa si forma dividendo ogni elemento in [A]^’ per il valore del determinante dato che è 0. Questa matrice è indicata con A^-1.

Definizione:

A A A...
è ù11 21 n1
ê úA A A...
Aé ù 1 ê ú12 22 n 2-1
rsA A |= = ¹, (| 0)
ê ú ê ú...
... ... ...
| A | | A |
ë û ê úA A A...
û1n 2 n nn

E’ necessario che sia quadrata e che ≠ 0.

Proprietà dell’inversa:

A^-1 ≠ A B B A^-1
(A^-1)^-1 = A
(A^-1)^T = (A^T)^-1

Operazioni elementari e rango

elementare: scambio di righe (o colonne); somma del multiplo h di una riga ad altra riga; prodotto di k per una riga. Matrice equivalente ottenuta da A per una sequenza di operazioni A B Slide 17 elementari.

Propositi ed esempi

Rango: submatrici; submatrici quadrate; ρ(A) = r, dove r è l'ordine massimo delle submatrici per le quali si ha Δ ≠ 0.

Trasformazioni lineari

Una funzione F il cui dominio è lo spazio m-dimensionale e la cui immagine è contenuta nello spazio n-dimensionale è chiamata trasformazione lineare da a se soddisfa la condizione

F( x + y) = F(x) + F(y) per tutti i punti x e y di e tutti i numeri reali e. A tale trasformazione lineare F corrisponde una matrice di dimensione n × m tale che, per tutti x, si abbia:

F(x) = Ax, ovvero, espresso in termini delle componenti di x,

x' = F(x) = [a₁₁ a₁₂ ... a_1m]^T[x₁ x₂ ... x_m]^T = [a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m]

Slide 18

per tutti i punti x e y di e tutti i numeri reali e. A tale trasformazione lineare F corrisponde una matrice di dimensione n × m tale che, per tutti x, si abbia:

F(x) = Ax, ovvero, espresso in termini delle componenti di x,

x' = F(x) = [a₁₁ a₁₂ ... a_1m]^T[x₁ x₂ ... x_m]^T = [a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m]

(15) 1 2

m ç ÷⋮ç ÷xè ønFSi dice che è una rappresentazione matriciale della trasformazioneSlide 19 lineare F. FmSe m = n, per cui F trasforma in se stesso, allora è una matrice¡quadrata. FIn ques