Plasticità

Formulazione Legami Unilaterali

Debbo valere le ipotesi:

1. Decomposizione additiva delle deformazioni: E = E_e + E_p
2. Tensione è proporzionale agli effetti elastici della deformazione: ẟ = E * E_e
3. Non passa da E₀, ẟ₀ a E₀ + E₁, ẟ₁ imponendo dei limiti del comportamento incrementato perché è immediato che durante la storia di carico, il fatto che si carico o scarico non è importante loro, ciò che è saltuario da prendere in considerazione è l'incremento negativo di E_p.

Con queste ipotesi, vogliono i legami da ridurre.

1. Legame elastico plastico incrudente (Controllo di Deformazione)

   • Vario la deformazione:
   • Elastico: metto e mantengo
   • Plas. duro: passo univoco
   • Deformare di contrasto
   • Oppure tensione costante, passiamo uni...

2. Legame E.P. Perfetto (Controllo Deformazione)

   • Modulo tangente zero con incremento positivo
   • Con incremento negativo
   • ẟ = ẟ₀ + E * E
   • Controllo di Tensione (O di carico)
   • ẟ = non positivo deformia
   • Con incremento univoco
   • Gradualmente 2 * ẟ = E

3. Legame E.P. Softening (Rammollimento) (Controllo di Deformazione)

   • Non si ha l'unicità con le tensioni, perché ad un univoco E ci sono 2 sollieci di tensione
   • Controllo di Tensione (coincidenza)
   • Non si ha l'unicità delle deformazioni

Dobbiamo definire una funzione di plasticità. Il meccanismo della trazione e della compressione esse mi deve indicare di quanto siamo lontano dalla plasticizzazione. Ed una volta che si è plasticizzato la funzione tale che deve mantenersi = 0.

- Nel legame elastico unidimensionale isotropo

δt ≥ δ_b

δε = δε_pt

Diagramma:

- Legame isotropo ho un’espansione del dominio elastico che aumenta per effetto della plasticizzazione, sia per dominio di trazione che compressione.

δε_t ≥ δε_b proporzionale a E και δε_pt

H_tt+ H_tn =

Traslazione del dominio:

H = | -1   1 |

         | 1   1 |

Impostare i valori di δε, massa e inversione, etc.

In questo legame, il livello di boc dello stesso quantità che si assume δε_t, quindi ho una traslazione del dominio

H = | 1    -1 |

δε_t = δε_ct + H δε_pt ≥ δε_ct + H δε_pt

δε_c = δε_c + H δε_pt

Condizioni di consistenza

all'interno del dominio

sulla frontiera

Vediamo cosa succede per il legame elastico plastico incrudente (isotrope)

con

Se cresce, il dominio si espande:

Vediamo cosa succede con il legame incrudente cinematico

Si genera una deformazione plastica, si ha una traslazione dell'origine della funzione di

Vediamo cosa succede con il legame perfettamente plastico

È come immaginare la funzione bloccata e vincolata:

soglia costante

1) Prima condizione: Funzione Convessa

Ovvero prendendo due punti qualsiasi e congiungendoli con un segmento, tutti i punti contenuti sul segmento devono trovarsi nella funzione.

Funzione convessa, vincolo attivo.

Prodotto scalare residuo negativo, "Δε: εp < 0" → condizione soddisfatta.

2) Giudizio: Legge di Normalità

εp = λ^p ∂f/∂σ_p ed il legame è associato, cioè f = ψ.

Grazie della funzione.

Se j e i sono uguali, minima energia - caso di funzione convessa.

• Se ψ è tra 1 e 2, allora la mutua è stabile alla Drucker.
• Se ψ è tra 1 e 2, e viceversa, il loro prodotto π sempre negativo "Δε: εp". Non va a divergere.

Vediamo le osservazioni:

1. Notiamo che dello stesso εp, si riferiscono più stati di tensione.
2. In presenza di punti angelosi, ad uno stato da tensione σ, possiamo avere diverse direttive "momenti" su cui orientare ε.

φ anche lui è una funzione semplicemente convessa. Si ha una corrispondenza biunivogata β ed εp.