Plasticità

Formulazione legame uniaxiale

Ipotesi iniziali

Devono valere le ipotesi:

1. Decomposizione additiva delle deformazioni: E = E_e + E_p
2. Tensione è proporzionale alla parte elastica della deformazione: ε = E_e
3. E = ε_e

Formulazione incrementale

Se si valuta una formulazione incrementale, ponendo i limiti sotto e medio destra sigma ed E:

• Incremento negativo E*
• Incremento positivo E+

Tipologie di legami

Con queste ipotesi, vediamo i legami da raddrizzare.

1. Legame elastico plastico indurente (Controllo di deformazione)
   • Vario la deformazione
2. Legame E.P. perfetto (Controllo deformazione)
   • σ* con incremento positivo
   • σ = 2.0 * ε
3. Legame E.P. softening (Rammollimento) (Controllo di deformazione)
   • Non si ha l'unicità con le tensioni.

Controlli di tensione

• Controllo di tensione (Di carico)
• Controllo di tensione (Coazione)

Formulazione legame uniaxiale: variazioni

Ipotesi modificate

1. Decomposizione additiva delle deformazioni: E = E_el + E_p
2. Tensione è proporzionale alla parte elastica della deformazione: S = E • e_el
3. Nel passare da b_o• s = e_o il t. impone dei limiti: b & c.

Formulazione incrementale

Se vale una formulazione incrementale, ponendo i termini delle derivate parziali stabili e nullo il termine lineare.

Da ciò il salto. Può succedere ed ho un comportamento. Se si fa traslato il salto di \scarico e scarico, incremento positivo e negativo.

Legami da riprodurre

1. Legame elastico plastico incrudente (Controllo di deformazione)
2. Legame E.P. perfetto (Controllo di deformazione)
3. Legame E.P. softening (Rammollimento) (Controllo di deformazione)

Funzione di plasticità

Dobbiamo definire una funzione di plasticità (il me riguarda: della trazione e della compressione). Nel legame E-P; Invariante isotropo:

dε_t^pl = dε_c^pl H_u dε_t = H_u Ept(...) = dε_t^plH_u = H_u (...)

Isotropo

Legame isotoropo ho una espansione del dominio elastico che avviene per effetto della plastica pro (...) tra ...zione e compressione

2αc δσ_c=δH_u =.

Elasto plastico invariante

Legame elasto plastico invariante (cintato)

dε_t^pl = dε_c^pl H_u dε_t = H_u Ept

In questo legame, il (...)di δs (H) dε_t= dε_t + (...)

Determinare la funzione di plasticità

Determinare la funzione di plasticità nel caso uniaxiale:

_st = E - 2t

Determinare l'ipotesi di linearità = E - E_p = E (E - E_p)

Legame costitutivo in forma inversa

Ragioniamo con legame costitutivo in forma inversa (Incastro di Tensione)

_s = 3t

E = E_p + E_i

Una volta calcolate queste quantità, eseguo lo stato in M^A. = 2 E (3t) + 2 (infinitamente piccolo) = E^-1 _p = E_p + E_p

Legame costitutivo e forza dimensione controllo deformazione

Ragioniamo con legame costitutivo e forza dimensione controllo deformazione.

Siamo in A e vogliamo arrivare ad A'.- In A conosciamo     ̇ε = ̇ε0     ̇εp ≠ 0     Ψε = 0     ε̇ = Eε + ε̇p

Voglio conoscere ̇ε' in A', quindi δ ̇ε = (E - ε) ε̇

1. (Per ̇ε1 ≷ ̇ε0 le soluzioni in punto tanno sfrusciate.)

Posso scrivere Ψε1 = (̇ε1 - ̇ε0 - ̇εp) = 0 trovo tutto in funzione della deformazione ε.

Ricavo   ε̇p = = \frac{-1}{ε1 = ln

Adesso, ̇ε = (E.ε̇ - E.ε̇p) = (_̇ε-1) ε̇           (ε1+ε̇)

Inversa della coefficient tangente

Inversa della coefficient tangente, rigidezza angbeta. Solo per h=-ε_e, la soluzione non esiste. Per il resto h ≠ -ε_e, vale sempre.

Ipotesi

1. Decomposizione additiva delle deformazioni: E = Ee + Ep.
2. Ipotesi di linearità tra tensione e deformazione elastica Ee: = E : Ee ⟶ = E : (E - Ep).
3. Deve esistere una funzione di plasticità, () dipendente da tanti parametri. È esplicita o dipende da uno stato tensionale noto.
4. Mettiendo nel piano delle tensioni principali (1, 2), utilizzo il criterio delle ellipse di Von Mises: () = (1²)/64 + (2²)/64 ⟶ 1 = 2
5. Esiste un potenziale evolutivo F, tramite cui si ha la variazione della deformazione plastica. La deformazione plastica segue le leggi di normalità Ep = ³
6. Studio un legame associato ⟶ f, ovvero aggancia la funzione di plasticità al potenziale di evoluzione. Questa ipotesi definisce primariamente l'ampiezza di elaborazione.
7. Si inserisce un provino di materiale in una macchina di prova; determinando 2 stati di carsi e uno della tensione. Per determinare la funzione si posiziona su di una deformazione plastica, è possibile in uno stato uno in un esercizio complesso, si inserisce una relazione di corrispondenza con le funzioni.
8. La legge di normalità si trasforma ⟶ Ep = ³.

Funzione di plasticità ipotetica

Possiamo ipotizzare che la funzione di plasticità . + () ⟶ 0 (Ep, densità Se Sisis chiusa ⟶ dipende motivo dello stato di tensione stesso.

Condizioni di consistenza

ψ̇ = ψ̇_p = 0 con λ̇ψ̈ ≥ 0 all'interno del Dominio λ̇ψ̈ > 0 ❑ si produce sulle frontiera ψ _∞ λ̇ψ̈ = 0

Legame elastoplastico incrudente (isotropo)

Vediamo cosa succede per il legame elastoplastico incrudente (isotropo) ψ = ψ₂(δ₁) - 2σ(λ)ε ₀ = ∫ σ · δ̇dt ovvero è il _lavoro che viene dissipato in un ciclo di carica e scarica

Legame incrudente cinematico

Vediamo cosa succede con il legame incrudente cinematico. Si genera una deformazione plastica, e si ha una traslazione dell'origine delle funzioni di resistenze. ψ = ψ₂(δ_{-c·εp) - σ0}

Legame perfettamente plastico

Vediamo cosa succede con il legame perfettamente plastico. È come immaginare la funzione σo bloccata e invariabile ψ = ψ₂(δ) - σ₀

Incrudimento isotropo e cinematico

Incrudimento isotropo e cinematico (Caso più complesso). Conosciamo la formazione di positività: conosciamo la legge di normalità: conosciamo l'equazione di consistenza: ipotesi di decomposizione additiva delle deformazioni valida: Ipotesi: quando: quindi: quando:

Omologo al caso uniaxiale

In è omologo al caso uniaxiale, è uno scalare. Incrudimento positivo non incrudimento legame softening.

Legge di variazione della funzione e caso 1D

Nella legge di variazione della funzione e nel caso 1D si evince: termine incremento delle e fa variare il sistema. Nel caso si sostituisce tramite la legge di normalità il parametro è con e così da fornire corretta variazione.

Forma inversa e controllo di tensione

Forma inversa e controllo di tensione. Partiamo da uno stato attuale noto in A con φ₀. Immediatamente rassigno la frontiera b₁ ampio γ, raddoppio frontiera b₂; che è pari ad 1^e e l'equilibrio. In un modo immediato ∃ rassigno ∈ e tecnicamente avrai φ con uso impongo le condizioni di bonistrare. Da A → B. Applico l'equazione di Levante: Ricavo λ^p₀ = (∂/∂t - i) (∂/∂t - i).ə^p = λə² + ĵ.

ə_l ə_c. Calcolate le ∊; Ē; i; Ė; ə^c;ə_l = (∂/∂ϕ) - (∂/∂t) - (∂/∂δ) a Matrice complemente ⁰. A = (∂/∂λ_p)ə^p ⟹ ч r il Forma Diretta: Controllo Deformazioni / Spostamento.

Condizioni di Drucker

Postulato di Drucker: Se si pone un materiale già soggetto in precedenza ad uno stato tensionale, ad un ciclo di carico-scarico, il lavoro compiuto durante questo ciclo non è negativo (L≥0). Infatti, un materiale è stabile alla Drucker se compiendo un ciclo di carico-scarico, il lavoro prodotto nel processo di tipo addizionale (Δz) è positivo.

Stato tensionale e variazioni

Nel punto A:  σ = σ* → [Φ(σ*)=0]

Nel punto B:  σ*›σ + Δσ ⇒ [Φ(σ*)›0]

Definiamo lo stato tensionale è in funzione di un parametro λ, vediamo come variare: Φ(σ)^λ + ΔσΦ(σ)½ ( σ - σ* )

Polarmio chiuso

Per capire quale è il lavoro sotto, dobbiamo definire un Polarmio chiuso: ∫δdt ≤ ∫σ_e &e_p dt - ∫&sigmalt; e_p dt ≥ 0 ∑ E^·&e_p dati

Disuguaglianze rilevanti

Rievochiamo l'altra disuguaglianza, ossì: se i materiali si stato nel piccolo, allora il punto _A, si trova direttamente sulla frontiera, così ^z è molto vicina a _z^c. In questo caso non abbiamo proprio componenti plastiche, perché stò direttamente per scivolare.

φ ^· ε_p dt ≥ 0

In definitiva le 2 disuguaglianze sono:

• Δ δ^· ε_p ≥ 0 → Condizione di stabilità nel grande
• δ^· ε_p ≥ 0 → Condizione di stabilità nel piccolo

Possiamo stabilire a priori il risultato di Drucker, con delle condizioni sufficienti ma non necessarie, ovvero che il dominio sia convesso e che la legge associata sia normate. Se entrambe sono verificate Δ δ^· ε_p ≥ 0 è verificata.

Prima condizione: funzione convessa

1. PRIMA CONDIZIONE: FUNZIONE CONVESSA
2. Anche, prendendo due punti qualsiasi e congiungendoli con un segmento, tutti i punti contenuti sul segmento devono appartenere alla funzione. Funzione convessa vieta il rientro. Perciò il prodotto scalare di E_p deve essere negativo.

Obiettivo: legge di normalità

1. OBIETTIVO: LEGGE DI NORMALITÀ
2. E_p = λp² ∂φ _∂zi ed il legame è associato, cioè f. φ

Gradiente della funzione (per un sistema)

GRADIENTE DELLA FUNZIONE (PER UN SISTEMA)

E_p è sempre normale alle superfici, inoltre vi sono angoli minimi di 90° con le curve di tensione. Se vale la 1 e la 2, allora il materiale è STABILE ALLA DRUCKER

Se vale la 2 ma non la 2, o viceversa, il loro prodotto è sempre negativo Na Ep₀

Osservazioni

VEDIAMO LE OSSERVAZIONI:

• Notiamo da ε_p stesso Ep, si intersecano più stati di Tensione.
• In presenza di punti angolosi, ad uno stato di Tensione A, possono esistere diverse direzioni tramite sui cui orientare E. φ, anche φ₂ è una funzione semplicemente convessa, si ha una corrispondenza biunivoca B ed Ep.