Pianificazione dei trasporti - Risposte

29) FUNZIONI DI PRESTAZIONE PER IL TRASPORTO COLLETTIVO

30-31) IL MODELLO DI OFFERTA: variabili del problema, formalizzazione matematica per

servizi continui e simultanei (nodi, archi, grafo, costi, flussi, matrice di incidenza) e

COSTRUZIONE DEL MODELLO DI OFFERTA: attività da svolgere.

Un modello di offerta può essere definito come un sistema di modelli funzionali a perseguire tali

obiettivi: stima dei costi di spostamento, da un punto di origine verso una destinazione, stima del

che utilizza una qualsiasi infrastruttura o servizio rilevanti all’interno

numero medio di utenti

dell’aria di studio in un determinato tempo, indotti dall’utilizzo delle

stima degli impatti

e consumi. In sintesi il modello dell’offerta è rappresentato

infrastrutture come inquinamento da

alcuni modelli distinti riguardanti ciascun obiettivo.

Nello specifico per quanto riguarda la stima dei costi generalizzati di percorso i vari modelli sono:

- Il grafo, costituito da attività archi, elementi che definiscono le attività, nodi, origine e

destinazione dello spostamento, nodi centroidi, e una sequenza di attività, i percorsi o

sequenza di archi. In sintesi l’insieme di archi (L) e dei nodi (N) definisce un grafo.

G=(N,L)

A ciascun arco (l) è possibile associare un costo di arco rappresentativo del costo di

spostamento e a ciascun percorso (k) è associato un costo di percorso espresso come somma

ADD

dei costi degli archi appartenenti al percorso C (costo additivo generalizzato per il

NADD (costo che l’utente associa ad uno

singolo arco) e dal costo del singolo percorso C

specifico percorso).

Infine a ciascun arco è possibile associare un flusso che rappresenta la somma del numero

medio di utenti che svolge un’attività in esame. Invece a ciascun percorso è associabile un

flusso di percorso che rappresenta il numero medio di utenti che svolge le attività in esame.

Ultimo elemento caratteristico del grafo è la matrice di incidenza archi-percorsi (A).

- Modelli di prestazione di arco, a ciascun arco è possibile associare una funzione di costo che

varia per una rete non congestionata e congestionata.

- Modelli di prestazione di percorso, dove i costi di arco sono un dato del problema (nota la

di percorso sono l’incognita del problema e

funzione di costo ed il flusso), mentre i costi

devono essere ottenuti dai costi di arco e le voci non additive. Tale modello deve consentire

la stima dei costi di percorso e ricondurre le variabili caratteristiche di un arco ai percorsi

che lo attraversano. In definitiva i costi di percorso in funzione dei costi di arco possono

T NADD

essere così formalizzati: C = A *c + C .

Invece per quanto riguarda la stima dei flussi di arco abbiamo:

- Modello di propagazione del flusso. Il flusso di arco sono esplicitati in funzione dei flussi di

percorso attraverso la formula f = AF.

Tutto ciò è valido per servizi continui e simultanei, cioè disponibili in ogni istante ed accessibili in

può essere combinato in un’unica formulazione compatta

ogni punto (come auto e pedoni), e che

esprime la relazione tra i costi di percorso e i flussi di percorso:

T NADD T NADD

C=A *c(r(X,,f)) + C = A *c(r(X,,AF)) + C dove:

- C è il vettore dei costi di percorso

- A è la matrice di incidenza archi-percorsi

- c è il vettore dei costi di arco

NADD

- C è costo non additivo di percorso 

- r è il vettore delle funzioni di prestazioni, avente parametri X e

32) DEFINIZIONE DI DOMANDA DI MOBILITA’, CARATTERISTICHE ED INCOGNITE

DEL PROBLEMA.

L’analisi e la progettazione di interventi su di un sistema di trasporto richiedono la stima della

domanda attuale e la previsione di quella futura.

La domanda di trasporto deriva dalla necessità di svolgere delle attività in luoghi diversi ed è

delle attività e quello dell’offerta di trasporto

determinata dalla configurazione che il sistema

assumono nell’aria di studio e può essere definita dal flusso di domanda, ovvero il numero di utenti

dell’offerta di trasporto in un ben preciso intervallo di

che consumano i servizi offerti dal sistema

tempo e per uno specifico motivo, ed al flusso di domanda devono essere associate delle

caratteristiche necessarie per identificarlo.

Nell’analisi di un sistema dei trasporti la domanda di mobilità deve stimare il numero medio di

zone dell’area di studio e, inoltre, simulare con quale modo di

utenti che si spostano tra due

trasporto effettuano lo spostamento.

Lo studio della domanda di mobilità richiede la definizione di numerosi aspetti:

- le classi di utenti (i) che si spostano,

- il motivo (s) per cui si spostano,

l’origine (o)

- e la destinazione (d) dello spostamento,

l’istante temporale di inizio e fine dello spostamento,

-

- il modo di trasporto utilizzato (m),

- il percorso scelto (k).

Concettualmente le variabili del problema sono i flussi di domanda origine-destinazione (d ), la

iod

loro ripartizione tra i modi di trasporto disponibili (d ), la loro ripartizione tra i percorsi

iodm

disponibili (d ).

iodmk

Stimare la domanda significa essere in grado di:

- Definire le matrici origine-destinazione (caratterizzazione spaziale della domanda), definire

i motivi dello spostamento e le classi di utenti (caratterizzazione socioeconomica) e definire

le fasce orarie di riferimento (caratterizzazione temporale).

- Definire i metodi per la stima delle singole matrici eventualmente differenziati per sotto-

matrici.

Come si è già avuto modo di dire, le caratteristiche della domanda di trasporto sono di natura

perché la domanda deriva dall’esigenza di

spaziale, temporale e socioeconomica. Socioeconomica

interazione sociale ed economica degli utenti del sistema territorio; spaziale, perché i flussi di

domanda si spostano tra punti definiti del territorio; temporale perché si realizzano in definite fasce

orarie.

In conclusione la domanda di mobilità si può dire nota se sono note le sue caratteristiche, ovvero:

- la classe di utenti (i) che si sposta,

- il motivo per cui si sposta (s),

- la fascia oraria in cui si sposta (h),

- la origine dello spostamento (o),

- la destinazione dello spostamento (d),

- il modo di trasporto (m)

- il percorso (k).

33) IL MODELLO DI DOMANDA: cosa è, a che cosa serve.

34) FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA DELLA STIMA DELLA DOMANDA DI

MOBILITA’: il modello ad aliquote parziali.

La domanda di spostamento può essere schematizzata in una sequenza di scelte, e può essere

formalizzata matematicamente come il prodotto di tante aliquote quante sono le dimensioni di

scelta. Solitamente si prendono in considerazione tre dimensioni di scelta:

- il numero di spostamenti,

- la destinazione (il cui risultato sono le matrici od globali)

- il modo di trasporto (il cui risultato sono le matrici od modali).

Formalmente si ha (anche noto come modello ad aliquote parziali):

*

d [s,h,m] = d [s,h] p [d/osh]*p [m/oshd] dove:

iod io i i

- d [s,h,m] è il flusso di utenti della categoria i, che si sposta tra la zona o e la zona d,

iod

(nell’unità di tempo) nella fascia oraria h e con il modo m,

- d [s,h] è il flusso di utenti della categoria i che si sposta dalla zona di origine o per il

io.

motivo s e nella fascia oraria h;

- p [d/osh] è la percentuale di individui di categoria i che, spostandosi da o per il motivo s nel

i

periodo h, si recano alla zona di destinazione d;

- p [m/oshd] è la percentuale di utenti di categoria i che, spostandosi fra o e d per il motivo s

i

nel periodo h, utilizzano il modo di trasporto m;

Il compito dell’analista è di specificare (per ogni motivo, per ogni fascia oraria e classe di utenti

omogenea) le singole aliquote, scegliendo l’approccio più efficace ma allo stesso tempo più

efficiente dal punto di vista degli oneri di specificazione ed implementazione.

35) STIMA DIRETTA E STIMA DA MODELLO: differenza e campi applicativi.

La stima delle singole aliquote che concorrono a definire i flussi di domanda di trasporto può essere

perseguita mediante due approcci:

- la stima diretta

- la stima da modello.

La prima prevede la stima delle aliquote di domanda mediante tecniche statistiche applicate ad

indagini campionarie riferite al contesto in esame, la seconda prevede la costruzione di modelli

econometrici capaci di riprodurre i comportamenti degli utenti del sistema di trasporto e di simulare

i comportamenti in scenari di intervento.

Si deve, infine, aggiungere che le singole aliquote non devono essere stimare con lo stesso

approccio, ma possono essere stimate con approcci differenti in base al tipo di intervento sul

sistema di trasporto. Per quanto riguarda la stima diretta si effettuano indagini (interviste) su un

campione di utenti e da queste attraverso tecniche di statistica si ottengono delle stime dirette della

domanda. Invece la stima da modello si basa su indagini sui comportamenti di un campione di

utenti del sistema di trasporto oggetto dello studio e si implementano modelli matematici che

consentono la simulazione del fenomeno in scenari diversi da quello attuale.

In generale, la scelta dell’approccio dipende:

- dalla relazione origine-destinazione in esame,

- dalle tipologie di interventi sul sistema di trasporto,

dall’orizzonte temporale di simulazione.

-

Per quanto concerne le relazioni origine-destinazione, ricordando la suddivisione della matrice

origine-destinazione in quattro sottomatrici, è ragionevole perseguire un approccio di stima diretta

per le matrici di scambio e di attraversamento (I-E, E-I e E-E) ed un approccio di stima da modello

all’area di studio (I-I).

per la matrice degli spostamenti interni l’approccio dipende

Per quanto concerne le tipologie di intervento, da quale influenza gli

interventi previsti sul sistema dell’offerta di trasporto possono avere sulle caratteristiche della

domanda di trasporto, ovvero, quale caratteristica della domanda di trasporto è sensibile (elastica)

rispetto all’intervento previsto.

Per quanto concerne l’orizzonte interpretato in un’ottica di

temporale, il tutto può anche essere

pianificazione di interventi a breve termine o a lungo termine. Nel breve termine è ragionevole

un’ottica di medio-lungo

ipotizzare una stima diretta, mentre in termine è più corretto implementare

modelli di simulazione (stima da modello).

36) STIMA DIRETTA: descrizione delle attività principali.

La stima diretta consiste nell’osservazione diretta del fenomeno ad esempio gli spostamenti, e nella

stima delle caratteristiche rilevanti del fenomeno come il motivo, la destinazione ed il modo di

trasporto dello spostamento stesso.

Per la stima diretta è necessario:

definire l’universo,

- ovvero le caratteristiche che desidero osservare,

estrarre dall’universo un numero rappresentativo di elementi da osservare

-

- effettuare un indagine

- stimare le caratteristiche degli elementi estratti

estendere all’universo

- le caratteristiche stimate.

L’universo dipende dal motivo dello spostamento in esame e dalle finalità dell’analisi di

(N) dell’area di studio, e

mobilità, esempio casa-università:studenti deve essere rilevato con le indagini.

dell’universo e da esso si vogliono stimare le caratteristiche

Il campione (C) è un sottoinsieme

dell’universo. Il campione è estratto dall’universo in modo casuale e la sua numerosità deve essere

rappresentativa dell’universo stesso.

Come detto, la rilevazione della domanda avviene, di norma, ricorrendo ad indagini campionarie.

Le tipologie di indagine possono essere:

- a bordo del veicolo,

- a domicilio (casa, telefoniche o postali),

- a destinazione,

- metodo della targa,

- RP

- SP di diverse tipologie di indagini.

Per le diverse tipologie di flusso O-D da stimare è previsto l’utilizzo

Ad esempio per una zona I-I si utilizzano indagini a domicilio, mentre per zone E-I e I-E si fanno

indagini a bordo del veicolo mentre per zone E-E si utilizzano indagini a targa, a bordo del veicolo.

Una volta effettuate le indagini bisogna stimare le caratteristiche del campione, infatti indicato con

C la numerosità campionaria, con n il numero di volte che la caratteristica m è stata osservata nel

k

Ṉ

campione e con = n / C il numero medio di osservazioni con la caratteristica m ottengo che il

k k

Ṉ

prodotto di per N (universo) mi fornisce il numero totale di spostamenti con la caratteristica m.

k Ṉ

N = N

k k *

35n) FUNZIONI DI IMPATTO: l'inquinamento atmosferico, introdurre alcune sostanze inquinanti

e descrivere il modello di stima delle emissioni.

L’inquinamento atmosferico costituisce uno dei principali impatti sull’ambiente del sistema dei

trasporti. Tra questi il più deleterio è certamente il trasporto su strada sia per la sua netta

sia per il fatto che l’emissione di sostanze inquinanti

predominanza sulle altre modalità di trasporto,

è diffusa sul territorio ed in particolare all'interno delle aree urbane. Si utilizzeranno dei modelli di

traffico per avere informazioni sui veicoli (quantità, condizioni del moto, ecc.), modelli di

emissione per calcolare le emissioni di questi e infine modelli di dispersione per calcolare le

concentrazioni in alcuni punti significativi. Gli effetti negativi degli inquinanti sono dovuti alla loro

nell’aria, la quale può essere misurata in unità di densità (mg/m3),

concentrazione le sostanze

inquinanti riscontrate più frequentemente nell'aria sono: Monossido di carbonio, Piombo, Polveri o

particolato, Ossidi di azoto...

I modelli matematici utilizzati per la previsione dei livelli di inquinamento atmosferico possono

essere di diversa complessità si distinguono:

“disaggregati”

- modelli si basano su una rappresentazione più spinta dei fenomeni fisici che

determinano le emissioni e la diffusione delle sostanze inquinanti, essi richiedono molti dati

di ingresso e simulano le condizioni di inquinamento locale per analisi puntuali,

- modelli aggregati sono invece più approssimati ma consentono di condurre analisi per

l’intero sistema di progetto.

36n) FUNZIONI DI IMPATTO: l'inquinamento acustico e i modelli di stima del livello di rumore.

Il livello di rumore viene valutato in base al livello di pressione sonora SPL (Sound Pressure Level),

misurato in deciBell: SPL = 10 ln (P2/Po2) [dB], dove: Po è la pressione sonora di riferimento

la pressione sonora dell’ambiente in esame.

Po = 2*10-5 N/m2, valore limite di percezione e P

Il rumore prodotto dal singolo veicolo, a parità di caratteristiche costruttive dello stesso, è dovuto a

due cause principali: (motore vero e proprio, ventilatore/radiatore, prese d’aria,

- rumore prodotto dal motore

trasmissione, sistema di scarico dei gas), che dipende fondamentalmente dalla velocità e

dalla accelerazione del veicolo;

- rumore dovuto al moto del veicolo in marcia (rollio, vibrazioni, attrito dei pneumatici con il

fondo stradale, resistenza aerodinamica), che dipende dalla velocità e dal tipo di

pavimentazione.

Nelle automobili è prevalente il rumore dovuto al moto del veicolo su quello prodotto dal motore

con la eccezione delle fasi di stasi e di accelerazione. Diverso è il caso dei veicoli pesanti e degli

autobus diesel, per i quali il rumore prodotto dal motore e dai sistemi connessi prevale sempre sul

rumore dovuto alle altre cause: per le emissioni sonore, come per quelle atmosferiche, esiste una

normativa europea che determina i valori massimi per il singolo veicolo.

I modelli per la simulazione del livello di rumore del traffico possono essere ricondotti a due

categorie. modelli “disaggregati”

Alla prima categoria appartengono i che, in generale,

sono costituiti da un insieme di più sotto-modelli integrati ed in particolare:

- un modello di simulazione delle condizioni di circolazione sulla strada che

l’accelerazione di ogni veicolo;

consente di ricavare in ogni istante la posizione, la velocità e

- un modello di tipo regressivo che consente di ricavare il livello di rumore di ciascun veicolo

dell’accelerazione,

in funzione della tipologia, della velocità, del tipo di pavimentazione;

- una procedura per la combinazione dei rumori relativi ai singoli veicoli e per la simulazione

della propagazione ai ricettori in funzione del volume e della composizione del flusso, della

distanza dal ricettore delle caratteristiche ambientali, della presenza o meno di barriere, ecc.

La seconda categoria di modelli comprende i modelli aggregati o sintetici che consentono di

valutare direttamente i livelli di pressione Lx ed Leq sulla base di equazioni ottenute interpolando

diverse osservazioni sperimentali. In tali equazioni i valori Lx o Leq (variabile dipendente) vengono

espressi in funzione di variabili esplicative, costituite in generale dall’entità del flusso, dalla

percentuale di mezzi pesanti, dalla velocità e dalla distanza del punto di ricezione dalla linea di

deflusso.

37) TIPOLOGIE DI INDAGINE CAMPIONARIA

La rilevazione della domanda avviene, di norma, ricorrendo ad indagini campionarie. In generale è

possibile distinguere due tipologie di parametri da rilevare:

- flussi di veicoli e di persone (indagini volumetriche).

- caratteristiche delle persone o delle merci che si spostano (indagini motivazionali).

Le indagini volumetriche riguardano i flussi di persone o di veicoli che possono essere desunti dalle

statistiche aziendali: è il caso dei flussi su strade a pedaggio o su mezzi di trasporto pubblico

terrestre, marittimo o aereo. Negli altri casi, in particolare nel caso del traffico stradale, è inevitabile

effettuare rilievi sul campo attraverso conteggi manuali o mediante contatori automatici. Il

rilevamento manuale risulta più costoso ma consente una classificazione dei veicoli per tipo e

dimensioni. Il rilevamento automatico, invece, conta il passaggio di assi o di veicoli senza

distinguerne il tipo: può essere facilmente esteso su lunghi periodi di tempo e può quindi dare

informazione sulle oscillazioni del traffico nelle 24 ore e nei giorni della settimana.

Il rilevamento di flussi di persone a bordo di veicoli (auto, bus, aerei e navi) richiede sempre un

addetto che, a seconda del sistema di trasporto, può salire a bordo o stimare da terra il numero di

passeggeri saliti e scesi in tutte le fermate.

Le indagini «al cordone» e alle «screen lines» sono finalizzate alla valutazione della mobilità di

dall’insieme degli spostamenti tra

scambio e di attraversamento. La mobilità di scambio è costituita

l’area di piano ed il “mondo esterno” e può essere stimata analizzando un campione di persone e

di merci nel momento in cui transitano attraverso una linea ideale (il «cordone») che corre lungo i

confini dell’area. La mobilità di attraversamento è, invece, costituita da tutti gli spostamenti che

line») che divide l’area di studio in due

attraversano una linea di valico («screen parti. Può essere

L’indagine al «cordone»

stimata analizzando un campione di persone e di merci in transito.

della mobilità che attraversa l’area di piano: il «cordone» in tal

consente anche la rilevazione

caso coincide con una «screen line» che viene attraversata due volte. Operazione preliminare per

dell’universo ed in seguito

questo tipo di indagini è la definizione si effettuanorilevamenti dei flussi

e interviste. valutazione della mobilità all’interno di un’area e

Le Indagini motivazionali sono finalizzate alla

consistono nell’intervistare un campione di famiglie o di operatori del trasporto merci chiedendo

loro la descrizione di tutti gli spostamenti effettuati in un giorno feriale medio di riferimento.

In generale le informazioni base da raccogliere sono:

- luoghi di origine e di destinazione;

- ora di inizio e di fine spostamento;

- mezzo adoperato;

- motivo dello spostamento o motivi della presenza nei luoghi di origine e di destinazione o,

per le merci, attività svolte nei luoghi di origine e di destinazione.

Per l’analisi qualitativa e quantitativa della mobilità vanno rilevate anche le seguenti informazioni:

costi e tariffe dello spostamento, caratteristiche socioeconomiche delle persone in movimento, delle

aziende operatrici del trasporto, delle merci trasportate.

Inoltre le indagini più utilizzate sono:

“a

- indagini durante il viaggio o bordo” si intervista un campione degli utenti di uno o più

,

modi di trasporto; le interviste possono essere effettuate a bordo-strada per i conducenti di

automobile e i loro passeggeri, sul mezzo o ai terminali (stazioni, aeroporti, porti, fermate di

autobus) per gli utenti di sistemi di trasporto pubblico (treno, aereo, nave, bus). In generale

“semplici” in

le informazioni che è possibile ottenere con queste indagini sono relativamente

quanto l’intervista deve essere effettuata in un tempo limitato e relativo allo spostamento o

al viaggio in corso.

- indagini a domicilio si intervista un campione delle famiglie o delle persone residenti

all’interno dell’area di studio. I componenti delle famiglie appartenenti al campione

vengono intervistati sugli spostamenti da loro effettuati in un prefissato periodo di

riferimento con un questionario che può essere sufficientemente articolato. Analogo

discorso può essere fatto sostituendo le persone alle famiglie. Le interviste possono essere

l’individuo o la famiglia. In

effettuate da un intervistatore che si reca fisicamente presso “qualità” delle risposte

questo caso si ha di solito un costo maggiore a fronte di una migliore

dovute alla interazione diretta fra intervistato ed intervistatore. Di recente si sta diffondendo

l’uso di indagini telefoniche a domicilio nelle quali l’intervista, spesso assistita dal

computer, viene effettuata via telefono.prezzo di interviste più semplici e meno precise.

- indagini a destinazione, nelle quali gli utenti vengono intervistati nei luoghi di destinazione

degli spostamenti (posti di lavoro, scuole, negozi ecc.) e le indagini postali nelle quali gli

utenti vengono intervistati per posta.

- indagini RP sono indagini relative ai componenti effettivamente rivelati o dimostrati dagli

utenti in un contesto reale. Indica il metodo tradizionale delle preferenze e prevede

l’effettuazione di indagini agli utenti del sistema di trasporto ed attraverso tali indagini è

possibile ottenere informazioni sulla realtà osservata oppure sui comportamenti rilevanti

degli utenti.

- indagini SP sono indagini relative ai comportamenti dichiarati dagli utenti in contesti

ipotetici, definite indagini sulle preferenze dichiarate, e sono concettualmente equivalenti ad

un esperimento di laboratorio.

38) MODELLI DI STIMA DELLA DOMANDA DI MOBILITA’: definizione e classificazione

delle possibili tipologie di modelli.

Per analizzare un sistema di trasporto e progettare interventi su di esso è indispensabile stimare la

domanda che lo utilizza attualmente con le sue caratteristiche perciò possono essere utilizzati i

modelli matematici di simulazione della domanda di trasporto.

La finalità di un approccio modellistico è di specificare un insieme di relazioni che cerchino di

interpretare gli output di un fenomeno alla luce di un insieme di variabili (input) che si ritengono

rilevanti. Un modello di domanda di trasporto può essere definito come una relazione matematica

che consente di associare ad un dato sistema di attività e di offerta di trasporto il valore medio del

flusso di domanda in un determinato periodo di riferimento con le sue caratteristiche

rilevanti. In termini formali può porsi:

d [K , K , ...] = d(SE, T,)

od 1 2

dove il flusso medio di spostamenti fra le zone o e d aventi caratteristiche K , K , ... è espresso come

1 2

una funzione di un vettore SE di variabili socioeconomiche, relative al sistema delle attività e/o ai



decisori, di un vettore T relativo al servizio offerto dal sistema di trasporto, e è un vettore di

coefficienti o parametri.

Ogni spostamento è il risultato di una serie di scelte compiute dall’utente del servizio di trasporto: il

viaggiatore nella mobilità di persone o gli operatori (produttori, spedizionieri, trasportatori) nel

trasporto delle merci.

I modelli matematici utilizzati per simulare la domanda di trasporto dei viaggiatori possono essere

classificati in:

- modelli di mobilità, simulano scelte che influenzano implicitamente (indirettamente) le

caratteristiche dello spostamento. Sono scelte di mobilità la scelta del luogo di residenza e di

lavoro, la scelta di possedere la patente di guida e del numero di automobili sono altrettanti

esempi;

- modelli di viaggio, simulano le scelte che caratterizzano il viaggio (sequenza di spostamenti

che inizia e termina nel luogo di residenza) e/o gli spostamenti che lo compongono.

Appartengono a questa categoria le scelte di frequenza (effettuare o meno uno spostamento

per un certo motivo), di destinazione (dove recarsi), del modo di trasporto, del percorso, ecc.

I modelli di viaggio a loro volta possono essere classificati in:

- modelli per la domanda di spostamenti : si assume che le scelte relative a ciascuno

spostamento Origine-Destinazione avvengano indipendentemente da quelle degli altri

spostamenti dello stesso viaggio e degli altri viaggi. assumono che l’utente

- modelli per la domanda di sequenze di spostamenti (tripchaining)

scelte su tutte le dimensioni che intervengono per l’intero

effettui contestualmente viaggio.

- modelli per la domanda di partecipazione alle attività, tengono conto dei condizionamenti

che avvengono fra i diversi viaggi di una stessa persona nell’ambito di una giornata tipo e

fra viaggi di persone della stessa famiglia.

Un ulteriore fattore di classificazione dei modelli di domanda è relativo al livello di aggregazione

delle variabili utilizzate. I modelli si dicono aggregati o disaggregati se le variabili (attributi) che vi

compaiono sono relative ad un aggregato di utenti o al singolo utente.

L’ultimo fattore di classificazione considerato è relativo alle ipotesi alla base dei modelli. I modelli

si dicono interpretativi o comportamentali se derivano da esplicite ipotesi sul comportamento di

scelta degli utenti e non interpretativi o descrittivi se, invece, descrivono le relazioni fra la domanda

e le variabili SE e T senza formulare ipotesi specifiche sul comportamento dei decisori.

39) IL MODELLO DI UTILITA’ DETERMINISTICA.

I modelli di utilità deterministica si basano sulla ipotesi che ogni utente, o classe di utenti omogenei,

da un punto di vista comportamentale, sia un decisore razionale. Più in particolare i modelli di

utilità deterministica si basano sulle seguenti ipotesi:

L’analista suddivide gli utenti in classi di utenti (i)

- che ipotizza omogenei da un punto di

vista dei comportamenti di spostamento.

nell’effettuare la scelta considera

- il generico utente i m alternative disponibili che

i

. L’insieme di

costituiscono il suo insieme di scelta I scelta può essere differente per utenti

i

diversi;

- Il decisore i associa a ciascuna alternativa j del suo insieme di scelta una utilità o

“attrattività” percepita l’alternativa che massimizza tale utilità.

U e sceglie

ij

- il decisore sceglie una alternativa in base agli attributi propri di quella alternativa

confrontandoli con quelli delle altre alternative disponibili.

L’analista è in grado di identificare gli attributi che influenzano le

- scelte, è in grado di

l’utilità percepita dalla

misurarli e, infine, è in grado di stimare classe di utenti (U ). Se

i

l’analista stima correttamente l’utilità percepita è anche in grado di stimare di simulare le

scelte compiute dagli utenti.

Sulla base delle ipotesi precedenti è possibile in generale prevedere con certezza quale alternativa

decisore. Ciascun utente sceglierà l’alternativa di massima

sceglierà il generico utilità percepita e

l’analista è in grado di simulare siffatto comportamento.

40) LIMITI DEL MODELLO DI UTILITA’ DETERMINISTICA.

Il modello di utilità deterministica non fornisce in modo esplicito i comportamenti di scelta tra le

in cui esista un’unica

alternative disponibili se non nel caso elementare alternativa di utilità

percepita minima. Affinché un modello di scelta deterministico sia in grado di riprodurre in maniera

l’analista sia in grado di stimare la “reale”

realistica i comportamenti di scelta è necessario che

dall’utente. Ciò può essere ottenuto:

utilità percepita

- comprendendo in maniera qualitativa quali variabili influenzano i comportamenti di scelta,

- misurando siffatte variabili,

- combinando le variabili in una funzione di utilità. quanto l’analista

Il modello di scelta deterministico presenta alcune approssimazioni, infatti per

possa “arricchire” le funzioni di utilità, può accadere che la misura delle utilità (delle differenze)

non sia coerente con le scelte osservate poiché la realtà è molto più complessa di quanto ipotizzato.

È possibile, infatti, porsi alcune domande sulle ipotesi finora assunte:

- per quanto riguarda gli utenti appartenenti alla classe i sono veramente omogenei nei

comportamenti di scelta? ovvero, si comportano in maniera coerente nello stesso scenario di

scelta?

Per quanto gli utenti si possano suddividere in classi omogenee ci saranno sempre delle

approssimazioni e delle disomogeneità.

l’utente

- per quanto riguarda è razionale? ovvero, conosce tutte le alternative disponibili?

Benché sia un approssimazione accettabile l’utente non necessariamente conosce, analizza

e confronta tutte le alternative “oggettivamente” disponibili; è un massimizzatore di

“utilità”? un’alternativa è

Per quanto un utente (classe di utenti) sia consapevole che

migliore non la si sceglie. Ne consegue che, molto spesso, le scelte non sono coerenti con le

le caratteristiche che compongono l “utilità”

utilità realmente percepite; sono misurabili? È

banale evidenziare che i comportamenti di spostamenti degli utenti di un sistema di

trasporto possono essere fortemente influenzati da variabili strettamente personali e,

comunque, non misurabili.

per quanto riguarda l’analista…..è in grado

- di conoscere le alternative disponibili

se le alternative sono numerose l’analista può ipotizzare secondo

all’utente? criteri

all’utente (classe di utenti);

ragionevoli le alternative disponibili conoscere tutti gli attributi

anche in questo caso l’analista può investigare quali

significativi nel processo di scelta?

sono le variabili più rilevanti ma non è in grado di comprendere tutti gli attributi che

influenzano i comportamenti; stimare gli attributi? Le variabili che definiscono la utilità non

sempre sono misurabili Se così non fosse è necessario distinguere due differenti problemi:

(I) l’analista assume che tutti gli utenti di una classe percepiscono gli stessi attributi e non è

in grado di stimare gli attributi percepiti dai singoli utenti della classe i;

(II) l’analista non è in grado di stimare attributi non misurabili (o facilmente misurabili)

di guidare o il fastidio di usare l’autobus perché troppo affollato.

quali la paura l’analista

Per tutte le motivazioni succitate si può concludere che per quanto sia in grado di stimare

una utilità sistematica molto vicina alla utilità percepite dal generico utente (classe di utenti) i

comportamenti di scelta non sempre saranno coerenti con il paradigma della massima utilità. Il

modello di utilità deterministico, pertanto, in alcuni contesti di scelta potrebbe non essere la

soluzione ideale per simulare i comportamenti di scelta di un utente (classe di utenti) di un sistema

di trasporto.

41n) LA MATRICE DEI FLUSSI DI DOMANDA ORIGINE- DESTINAZIONE: cosa è, perché è

importante, come è strutturata e come si stima.

La definizione dell’area di studio e la discretizzazione spaziale del territorio consente di

caratterizzare spazialmente il sistema mediante una matrice origine-destinazione. La struttura della

matrice, a sua volta, può essere schematizzata in 4 blocchi:

rappresenta le relazioni interne all’area di studio, con NI il numero di zone interne.

- I-I:

- I-E e E-I: rappresentano le relazioni di scambio con il mondo esterno, con NE il numero di

macro-zone esterne.

- E-E: rappresenta le relazioni di attraversamento.

Questa suddivisione è rilevante poiché la stima delle singole sottomatricipuò seguire approcci

differenti. Per le matrici I-E, E-I e E-E,

ad esempio, interessa conoscere i valori dei flussi di domanda O-D, dei tempi e dei costi di viaggio

O-D. Non è utile, in generale, sviluppare approcci modellistici per simulare variazioni in seguito a

modifiche dell’assetto trasportistico. Per quanto riguarda la sotto-matrice I-I, usualmente, si

perseguono approcci modellistici.

41) IL MODELLO DI UTILITA’ NON DETERMINISTICA LOGIT MULTINOMINALE:

formalizzazione matematica e significato dei parametri di ingresso.

Per fronteggiare i limiti dei modelli di scelta deterministici è possibile perseguire un approccio di

tipo descrittivo-sperimentale ovvero un approccio teorico. Il modello di scelta non deterministico

degli utenti che scelgono un’alternativa

deve essere in grado di riprodurre le percentuali al variare

sistematiche che l’analista è in grado di associare alle alternative.

delle utilità (delle differenze)

Sperimentalmente si osserva che le percentuali di scelta, al variare delle differenze di utilità

sistematica, seguono un andamento non lineare di tipo logistico.



p[j] = exp (V /

j 

Σ exp (V /

m k

Tale formulazione in un contesto multinomiale può essere espressa come (modello logit

multinomiale) dove:

è la percentuale di utenti che sceglie l’alternativa

- P[j] j.

è l’utilità sistematica associata all’alternativa

- V j,

j

- m sono le alternative disponibili,

 calcolata dall’analista.

- è un parametro del modello ed è una misura di dispersione



Al variare del parametro , a parità di utilità sistematica (delle differenze), è possibile avere

differenti andamenti, si può osservare che:



- per valori elevati di il modello degenera in una funzione uniforme con valori pari a 0.5. In

questo caso il modello non ha alcuna capacità predittiva. Le cause possono essere che le

utilità sistematiche che l’analista è in grado di stimare sono molto diverse da quelle

scelta all’interno della classe

percepite dagli utenti e che i comportamenti di i sono molto

dispersi. 

- per valori bassi di (al limite tendenti a 0) il modello degenera nella funzione a scalino,

ovvero, al modello deterministico. In questo caso la utilità sistematica (le differenze) stimata

dall’analista è uguale all’utilità percepita da tutti gli utenti appartenenti alla classe i.

Affinché un modello di scelta non deterministico sia in grado di riprodurre in maniera realistica i

comportamenti di scelta (le ripartizioni percentuali o probabilità di scelta) è necessario che

sia

l’analista in grado di stimare: valore dell’utilità percepita che l’analista

- le utilità sistematiche, ovvero, il è in grado di

stimare, individuando preliminarmente e in maniera qualitativa quali variabili che

influenzano i comportamenti di scelta (mediante indagini all’utenza), misurando siffatte

variabili e combinando le variabili in una funzione di utilità sistematica (specificando la

funzione di utilità).

 quanto l’utilità realmente percepita si

- il parametro , ovvero, discosta dalla utilità

sistematica.

Il modello logit per come è stato definito è indipendente da fattori di scala: sommando o

moltiplicando per uno stesso valore le utilità sistematiche le percentuali di scelta non variano.

42) IL MODELLO DI EMISSIONE DEGLI SPOSTAMENTI: definizione, alternative, insieme di

scelta, funzione di scelta, attributi/variabili.

Il modello di emissione fornisce il numero medio di spostamenti effettuati nel periodo h per il

motivo s dal generico utente appartenente alla categoria i con origine nella zona o. Il prodotto con il

numero di persone residenti nella zona o che si possono spostare per il motivo s, fornisce il numero

medio di spostamenti emessi dalla zona o:

d [s,h]=N n dove:

io oi * o

- N è il numero di residenti della zona o che possono spostarsi per il motivo s nella fascia

oi

oraria h, la definizione di questa variabile dipende dal motivo considerato.

effettuabili dall’utente appartenente alla classe

- n è il numero medio di spostamenti i, la

o

definizione di questo numero dipende dal tipo di approccio che si desidera adottare per la

sua stima.

Alternative comprese tra 0 ed il massimo numero di spostamenti n rispetto al periodo di

max

riferimento h (di solito n = 1 oppure = 3)

max

Disponibilità tutte disponibili (ovvero introducendo vincoli sul budget di tempo disponibile) –

Funzione di scelta a seconda del numero massimo di spostamenti = logit binomiale (mi sposto

non mi sposto) o multinomiale (0,1 ,2 ..n possibili spostamenti):

Variabili: la funzione di utilità lineare, le variabili o attributi del modello e i relativi parametri

o coefficienti di omogeneizzazione (di reciproca sostituzione). Le variabili del modello possono

essere di natura socioeconomica (e.g. condizione professionale, sesso, età, variabili legate al

nucleo familiare etc..) o funzione del sistema dell’offerta di trasporto (variabili di accessibilità

descrittive ovvero variabili di accessibilità comportamentali quali la funzione di soddisfazione

relativa alle dimensioni di scelta successive). La scelta è legata al numero di informazioni rese

dalla possibilità di avere le stesse informazioni per l’intera

disponibili dalle indagini e, soprattutto,

area di studio.

43) IL MODELLO DI DISTRIBUZIONE: definizione, alternative, insieme di scelta, funzioni di

scelta, attributi/variabili. i

Il modello di distribuzione fornisce la percentuale p [d/osh] di spostamenti effettuati da utenti di

categoria “i” che, partendo dalla zona o per il motivo s nel periodo h, si recano alla destinazione d.

Inoltre consente di stimare quante persone si spostano tra una zona o ed una zona d.

L’approccio può essere per:

attraverso un’indagine campionaria, cioè intervisto n utenti che

- stima diretta, si spostano

dalla zona o della classe i e chiedo dove si sono recati nella fascia oraria h per il motivo s;

calcolo in seguito le percentuali. La stima diretta è molto costosa poiché per ogni zona devo

identificare un campione significativo di utenti.

attraverso un’indagine campionaria + specificazione di modelli di tipo

- Stima da modello -

non comportamentale, cioè non esiste un vero comportamento di scelta e la destinazione di

spostamento non è considerata dall’utente ogni giorno. – attraverso indagine campionaria +

specificazione di modelli basati sulla teoria dell’utilità aleatoria e comportamentali, cioè è

possibile immaginare un comportamento di scelta e cercare di simularlo (utilità).

e la destinazione.

Le variabili di costo rappresentano il costo di spostamento tra l’origine

rappresentano l’attrattività che la destinazione esercita sull’origine

Le variabili di attrattività d o,

sono funzione del motivo dello spostamento e misurano l’attrazione degli spostamenti di una zona e

devono essere variabili note e ottenibili facilmente dai censimenti ISTAT

Le variabili socio-economiche rappresentano zone di traffico con caratteristiche non simulabili

come zone piacevoli, zone in cui è complicato parcheggiare, per questo motivo si ricorre a variabili

che permettono di simulare l’attrattività delle zone.

binarie (1/0)

Le alternative sono le zone di traffico.

L’insieme di scelta rappresenta tutte le alternative a meno di quelle dedotte dall’esperienza.

La funzione di scelta deriva da quella del modello logit multinominale.

La funzione di utilità è una combinazione lineare di variabili di costo, attrattività e socio-economica.

44) IL MODELLO DI SCELTA DEL MODO DI TRASPORTO: definizione, alternative, insieme

di scelta, funzioni di scelta, attributi/variabili.

modello di scelta modale fornisce l’aliquota di spostamenti di utenti di categoria

Il i che, recandosi

dalla zona o alla zona d per il motivo s nella fascia oraria h, usa il modo m.

Consente di stimare quante persone si spostano da una zona o ed una zona d.

L’approccio avviene sempre per:

- stima diretta attraverso indagini campionarie, con interviste su n utenti della classe i che si

spostano dalla zona o a d e chiedo nella fascia oraria h e per il motivo s che modo di

trasporto m hanno utilizzato. Da qui calcolo le percentuali. Tale approccio è molto costoso

ed inutile perché il modo di trasporto è variabile da giorno a giorno.

- stima da modello con una indagine campionaria + specificazione di modelli non

comportamentali (non si utilizzano) e comportamentali interpretati come una scelta tra i

possibili modi di trasporto.

Le alternative sono modi di trasporto esistenti e compatibili con il tipo di spostamento in esame.

L’insieme di scelta: ciascun utente ha il suo insieme di scelta in base alla disponibilità oggettiva

delle diverse modalità di trasporto.

La funzione di scelta è quella del modello logit.

La funzione di utilità: è una combinazione lineare di variabili di costo, e di natura socio-economica.

Le variabili possono essere :

- variabili di costo (di livello di servizio) cioè per ciascun modo di trasporto si devono stimare

i costi di spostamento tra origine e destinazione;

come ad esempio comfort dell’auto, età, donna, reddito.

- variabili socio-economiche

45) IL MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO: definizione, classificazione, insieme di scelta,

funzioni di scelta, attributi/variabili.

Il modello di scelta di percorso fornisce l’aliquota degli spostamenti effettuati da utenti di categoria

i, che utilizzano ciascun percorso k relativo al modo m per recarsi da o a d per lo scopo s e n ella

fascia oraria h.

Consente di stimare i flussi di percorso sulla rede modale m (F) una volta noti i flussi di domanda

per origine-destinazione e per modo di trasporto m.

Può avvenire in due modi:

- comportamento di scelta preventivo: la scelta del percorso è effettuata interamente prima di

effettuare lo spostamento, infatti si può assumere che l’utente conosca l’offerta e scelga la

corsa prima di effettuare lo spostamento.

- Comportamento di scelta preventivo-adattivo: la scelta avviene in due fasi ed è definita solo

durante lo spostamento a seguito di adattamento a circostanze non definite. È considerato

per sistemi di trasporto discontinui (di linea) con frequenza elevata tipo autobus.

l’utente prima di effettuare

Le alternative: lo spostamento consideri le diverse fasi del viaggio

(percorsi) ossia le sequenze di nodi e di archi della rete del modo considerato.

L’insieme di scelta: il problema consiste nell’individuazione dei percorsi ammissibili. Il problema è

rilevante data la molteplicità delle alternative. Si affronta con due approcci:

- Approccio esaustivo che considera ammissibili tutti i percorsi elementari esistenti sulla rete.

individua solo alcuni percorsi in base al soddisfacimento dell’utente.

- Approccio selettivo

La funzione di scelta:

La funzione di utilità: si assume che le variabili che influenzano la scelta del percorso siano gli

attributi di livello di segno negativo, ovvero dei costi (tempo di percorrenza, costo monetario)

V = - C

k k

Se il costo percepito C è puramente additivo (somma dei costi degli archi che lo compongono)

k ADDk ADD T

Σ

ottengo: C = a c in forma matriciale: C =A c

l lk l

Se il costo contiene termini propri del percorso non ottenibili come somma dei costi di arco (non

additivi) allora scrivo direttamente in forma matriciale:

kADD kNA

C = -C -C

k β

Σ

C a sua volta può essere espresso in funzione di differenti attributi: C = X

k k h h hk

Se gli attributi sono ottenibili come somma dei valori di arco allora il costo C sarà additivo:

k

T

β

Σ

C = X C=A c

l h h lk

L’INTERAZIONE DOMANDA-OFFERTA:

46) definizione, output e sua formalizzazione

mediante relazioni logiche. Modello del sistema.

Combinando le equazioni rappresentative del modello di domanda e del modello di offerta si ottiene

la formalizzazione matematica del modello di interazione domanda-offerta.

T

f = A*[ P (- A *c(f))*d]

Il modello di interazione si ottiene:

f = A* F se F = P▪d

f = A * (P*d) se P = P (-C)

T

C = A *c

f = A*[P(- AT*c)*d] se c = c(f) T

f = A*[P(- A *c(f)) *d]

47) LA VALUTAZIONE: significato e utilità.

La valutazione degli interventi può essere definita come un esame e confronto delle alternative

disponibili sulla base dei loro effetti in funzione degli obbiettivi e dei vincoli del decisore. La

valutazione è un’attività prevalentemente tecnica eseguita dall’analista. Lo scopo ultimo della fase

di valutazione è di fornire un supporto per le decisioni. La valutazione può esser scomposta in: -

Individuazione dei soggetti coinvolti e loro punti di vista; -individuazione degli effetti;

-identificazione delle variabili; - Confronto dei progetti alternativi;

48) SOGGETTI, EFFETTI E VARIABILI.

I SOGGETTI coinvolti possono essere due: -Decisore privato ; - Decisore pubblico;

Per il privato si terrà conto: Massimizzazione del profitto; i benefici ed i costi devono essere

espressi in termini monetari ed in particolare : Benefici = ricavi,

costi = costi finanziari connessi alla produzione del servizio.

Per il decisore Pubblico devo tener conto degli impatti positivi e negativi. In generale massimizzare

impatti positivi sulla collettività . I ricavi non sono visti dal punto di vista monetario ma ad esempio

come diminuzione dell’inquinamento, riduzione del tempo di viaggio etc.

• chi è il decisore privato? – –

imprese totalmente private aziende di trasporto pubblico, società

concessionarie

• chi è il decisore pubblico? – • (e.g. amministratori pubblici).

rappresentanti della collettività

Gli EFFETTI, la loro definizione, per un intervento sul sistema di trasporto è il principale indicatore

dell’ottica e dell’ampiezza dell’attività di valutazione.

Posso avere due tipi di effetti:- Interni; - Esterni . Quelli interni sono per gli utenti o gestori attuali

del sistema ma principalmente per gli utenti futuri, dove per utenza si intendono non solo le persone

ma anche la merce. Tra gli effetti posso elencarne alcuni , i quali quasi sempre sono dei ricavi: -

attributi di livello di servizio; - Effetti monetari per il gestore; - Effetti per la collettività .

Gli effetti Esterni invece riguardano i membri della collettività non direttamente interessati dal

servizio di trasporto. Posso valutare:

-Impatti economici, ad esempio valutazione del valore degli immobili, spese per incidenti; - Impatti

territoriali, come la variazione d’uso del territorio; - Impatti sociali, variazione delle attività sociali

al variare dell’accessibilità; Impatti ambientali , sull’ecosistema,

- inquinamento acustico,

atmosferico e visivo. – –

Le VARIABILI, posso fare varie distinzioni: - Utenti Amministrazioni ed aziende Non utenti

del sistema di trasporto. utenti dell’intero sistema

* Utenti (per classe) - Variazione di utilità netta (surplus) percepita dagli

di trasporto - Variazione di costi non percepiti

* Amministrazioni e Aziende (per ciascun operatore coinvolto) - Variazioni della quantità di risorse

(mano d’opera, materiali, capitale) e dei costi necessari per la costruzione delle infrastrutture,

l’acquisto dei veicoli e dei sistemi di controllo (investimenti) - Variazioni delle risorse e dei costi

per la manutenzione delle infrastrutture e delle tecnologie - Variazioni delle risorse e dei costi per la

gestione dei servizi di trasporto - Costi di esproprio e riallocazione - Variazioni di ricavi della

vendita di servizio - Variazione di tasse pagate dagli utenti del sistema di trasporto (carburanti,

lubrificanti, ecc.) e dai non utenti (proprietà ecc.) - Variazioni di trasferimenti fra le diverse

amministrazioni

* Non utenti del sistema di trasporto Impatti Economici e Territoriali - Variazioni degli impatti

economici della incidentalità - Variazioni della produzione dei diversi settori economici -

Variazioni dei valori immobiliari - Variazioni di uso degli immobili e rilocalizzazione di residenze e

attività economiche Impatti Sociali - Variazione di accessibilità alle attività sociali (scuola, centri

sociali e religiosi, attività ricreative, ecc.) - Modifiche nella struttura e nella coesione di comunità

locali - Variazioni degli effetti sociali della incidentalità Impatti Ambientali - Modifiche

dell’ecosistema - Variazioni di inquinamento acustico e atmosferico - Variazioni di intrusione

visiva.

Metodi di confronto dei progetti alternativi sono metodi “quantitativi” che si propongono di

confrontare alternative di intervento e di fornire al decisore un aiuto per “classificare” le alternative

secondo “schemi” concettuali obiettivi.

49) L’ANALISI BENEFICI-COSTI: descrizione, ipotesi e limiti applicativi e teorici.

Metodi di confronto dei progetti alternativi sono metodi “quantitativi” che si propongono di

intervento e di fornire al decisore un aiuto per “classificare” le alternative

confrontare alternative di

secondo “schemi” concettuali obiettivi. • analisi benefici-costi – progetto vs. non progetto.

L’analisi in questione ( B-C) confronta le diverse alternative di intervento considerando i loro effetti

monetari o monetizzabili come variazione rispetto allo stato di non progetto. In altri termini si

forma un unico aggregato economico in cui i diversi impatti vengono sommati algebricamente

,considerando con il segno positivo le voci in entrata mentre con il segno negativo quelle in uscita

rispetto al soggetto cui è relativa l’analisi. Una volta fatte le seguenti ipotesi:

(i) noto il decisore (ii) definita la dimensione temporale T (orizzonte temporale o vita economica

del progetto) (iii) t generico anno della vita economica

– –

confronta le diverse alternative di intervento considerando gli effetti monetari e monetizzabili si

–

distinguono gli effetti che inducono benefici dagli effetti che inducono dei costi gli effetti sono

calcolati come differenze tra lo stato di progetto (P) e di non progetto (NP).

Differenza di:

COSTI : a) costo di costruzione b) costo di investimento in mezzi c) costo di manutenzione ed

esercizio

RICAVI : a) ricavi per la vendita del servizio b) introiti per tasse e imposte c) surplus percepito

dall’utente d) benefici non percepiti dall’utente e) benefici per i non utenti. tutto deve essere

monetizzato … a) prezzi di mercato ove possibile b) prezzi ombra: rappresentano il valore per la

–

collettività di una particolare risorsa (anche monetizzabile) e.g. il mercato del lavoro attenzione

però non contare più volte la stessa voce • e.g. tariffe • e.g. valori immobiliari

Definiti benefici e costi posso calcolare: a) il tasso di Attualizzazione M: esso serve per confrontare

B e C da anni diversi ad oggi. Parto da un M0 (capitale iniziale),

M1 (capitale dopo 1 anno)= M0 + r * M0.

M2 (capitale dopo 2 anni)= M0*(1+ r)^2.

Mt (capitale dopo t anni) = M0*(1+ r)^t ; voglio attualizzare somme future al presente: M0 =

Mt/((1+r)^t) - T Mt / (1+r)t se anno per anno il valore di Mt

varia.