Pianificazione dei trasporti

MODELLI DI OFFERTA DEL SISTEMA DI TRASPORTO

Gli aspetti rilevanti di un sistema di offerta di trasporto vengono simulati mediante dei modelli matematici. I modelli di offerta di trasporto utilizzano da un lato la teoria dei grafi e delle reti, per rappresentare la struttura topologica e funzionale del sistema, e dall'altro i risultati di diverse discipline dell'ingegneria per descrivere le prestazioni e le interazioni degli elementi che lo compongono. Ad esempio, la meccanica della locomozione viene utilizzata per descrivere il moto di un veicolo isolato su una data infrastruttura, l'ingegneria del traffico viene utilizzata per analizzare la relazione fra le infrastrutture fisiche con le loro caratteristiche e il flusso di utenti che le impegna.

TEORIA DEI GRAFI

Si definisce rete un grafo ai cui archi è associata una caratteristica quantitativa. I grafi sono definiti come una coppia ordinata di insiemi (N, L) dove N rappresenta l'insieme di quegli elementi detti

Un grafo G può essere indicato come G = (N, L), dove N rappresenta l'insieme di coppie ai nodi appartenenti ad N, detti archi o rami.

Simbolicamente un grafo G può essere indicato come G = (N, L). Un arco può essere di due tipi:

• ARCO NON ORIENTATO, che non possiede un verso di percorrenza prefissato ma può essere percorso in entrambi i versi;
• ARCO ORIENTATO, che possiede un verso di percorrenza prefissato.

I grafi possono essere classificati in diverse tipologie che si distinguono in:

• GRAFO NON ORIENTATO: grafo formato solo da archi non orientati oppure da alcuni archi orientati e altri non orientati;
• GRAFO ORIENTATO: grafo formato da archi orientati;
• GRAFO CONNESSO: grafo in cui da ogni nodo è possibile raggiungere qualsiasi altro nodo;
• GRAFO COMPLETO: grafo in cui esiste un collegamento diretto da ciascun nodo ad ognuno degli altri nodi. Il grafo completo è difficile da realizzare perciò nella pratica è quello meno utilizzato.

I grafi utilizzati

Per le reti di trasporto sono in genere orientati, per cui i loro archi possiedono un verso e le coppie di nodi che li definiscono sono coppie ordinate. Un arco che collega una coppia di nodi (i,j) può essere indicato con un unico indice che ne rappresenta la posizione nella lista di tutti gli archi del grafo, oppure con la coppia di indici (i, j) relativi al nodo iniziale e finale dell'arco stesso. Inoltre, si possono definire:

• CAMMINO: una successione ordinata di archi
• CICLO: un cammino in cui il nodo iniziale e quello finale coincidono
• ALBERO: un cammino in cui dal nodo iniziale è possibile raggiungere tutti gli altri nodi
• PERCORSO: una sequenza di archi consecutivi (cammino) che collega un nodo iniziale (origine) ed un nodo finale (destinazione). Di solito nei grafi che rappresentano sistemi di trasporto si considerano esclusivamente percorsi che collegano tra loro nodi rappresentativi delle zone di traffico o nodi centrini. Ogni percorso è

univocamente associato ad una e una sola coppia O-D, mentre la stessa coppia può essere collegata da più percorsi.

RAPPRESENTAZIONE DEI GRAFI

La rappresentazione più immediata dei grafi è quella grafica anche se ai fini della pianificazione dei trasporti è utile individuare delle opportune rappresentazioni matematiche per indicare le relazioni esistenti tra nodi, archi e percorsi come: matrice di adiacenza, matrice di incidenza e stella in avanti.

MATRICE DI ADIACENZA

La matrice di adiacenza è una matrice quadrata di dimensioni nxn avente una riga ed una colonna per ciascun nodo. Il generico elemento a della matrice vale 1 se e solo se esiste l'arco che consente di andare dal nodo i al nodo j, in caso contrario vale 0. Gli elementi della diagonale sono generalmente nulli, eccetto i casi in cui vengono esplicitati i collegamenti all'interno del nodo stesso.

MATRICE DI INCIDENZA NODI-ARCHI

La matrice di incidenza nodi-archi è una

matrice rettangolare di dimensioni nxl. Per un grafo orientato, il generico elemento a della matrice vale 1 se i è testa di j, -1 se i è coda di j, 0 altrimenti.

La matrice di incidenza nodi-archi ha tante righe quanti sono i nodi del grafo ed un numero di colonne pari al numero di archi.

MATRICE DI INCIDENZA ARCHI-PERCORSI

La matrice di incidenza archi-percorsi è una matrice rettangolare di dimensioni lxl, che rappresenta la relazione esistente tra archi e percorsi in un grafo. La matrice A possiede tante righe quanti sono gli archi l e tante colonne quanti sono i percorsi k. Il generico elemento a della matrice vale 1 se l'arco l appartiene al percorso k, 0 altrimenti.

MATRICE DI INCIDENZA COPPIE O-D-PERCORSI

La matrice di incidenza O-D-percorsi è una matrice rettangolare che consente di ricostruire le relazioni che sussistono tra le coppie O-D, indicate con z, e i percorsi k. Il generico elemento della matrice a è uguale a 1 se il percorso collega la

coppia O-D, altrimenti vale 0.

STELLA IN AVANTI

La stella in avanti è una rappresentazione delle relazioni nodi-archi. Tale rappresentazione si basa sul fatto che in un grafo ciascun nodo è origine di una stella di archi che si dipartono da esso. La stella in avanti consiste in 3 vettori: il primo rappresenta la lista ordinata dei nodi del grafo, il secondo, denominato a, contiene l'elenco dei nodi destinazione, il terzo b, è un indicatore cumulativo del numero di archi che si diparte da ciascun nodo. A partire dalla stella in avanti è possibile ricostruire la topologia del grafo, cioè le relazioni che sussistono tra i nodi. Dal punto di vista topologico, il grafo che si ottiene è congruente con quello di origine ma con disposizione dei nodi che può essere differente. Se, però, oltre alla stella in avanti, si dispone anche delle coordinate geografiche di ciascun nodo, allora la stella in avanti diventa

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una rappresentazione univoca del grafo di origine.

COSTI E FLUSSI DI ARCO

Costi e flussi sono le due variabili principali che possono essere associate agli archi. Il costo di trasporto di un arco è una variabile che sintetizza il valore medio delle diverse voci di costo sopportate dagli utenti del sistema così come da loro percepite nell'effettuare la scelta del trasporto e quella del percorso. Dunque, il costo di trasporto di un arco riflette la disutilità degli utenti a percorrere lo stesso arco. Gli elementi che compongono il costo di trasporto sono in generale grandezze non omogenee, per esempio tempo di percorrenza, costo monetario, discomfort. Per ridurre il costo ad un' unica grandezza scalare, a seconda dei casi si può prendere in esame la componente più rilevante per gli utenti, di solito il tempo di trasferimento, oppure omogeneizzare le diverse componenti in un costo generalizzato attraverso l'applicazione di coefficienti.

di“omogenizzazione” β. Ad esempio il costo generalizzato di trasporto c relativo all’arco l-esimo puòlessere formulato in modo elementare come:c = β t + β cml 1 l 2 ldove t è il tempo di attraversamento e cm è il costo monetario connesso all’attraversamentol ldell’arco (ad esempio il pedaggio).

Il flusso di arco, invece, è una grandezza scalare che rappresenta il numero medio di utenti chepercorre l’arco in un intervallo unitario. Se gli utenti che lo compongono sono entità non omogenee(ad esempio diverse classi di veicoli) si possono considerare separatamente i flussi di ciascunaclasse f oppure i flussi possono essere omogeneizzati ad un’unica classe di veicoli mediantelil’impiego di opportuni coefficienti di equivalenza:f = ∑ w flil i idove w è il generico coefficiente di omogeneizzazione dei veicoli della classe i e f è il flusso medioi lequivalente.

VETTORE DEI COSTI

DI ARCOSi definisce vettore dei costi di arco un vettore c la cui generica componente c è costituita dal costo (generalizzato) di trasporto sull'arco l = (i, j). Il vettore dei costi avrà dimensione (n x1) dove n è il numero degli archi del grafo.

VETTORE DEI FLUSSI DI ARCOSi definisce vettore dei flussi di arco il vettore f di dimensioni (n x1) la cui generica componente f è costituita dal flusso di arco l.

COSTI E FLUSSI DI PERCORSOI concetti del costo di trasporto e di flusso possono essere estesi dagli archi ai percorsi. Il costo generalizzato medio di trasporto C di un generico percorso k è definito come una grandezza scalare che sintetizza le diverse voci di costo percepite dagli utenti (di una certa categoria) nella scelta del percorso. Il costo di un percorso nel caso più generale si compone di due parti: costo additivo CkADD e costo non additivo CkNA, assunti omogenei tra loro:

Il costo additivo di percorso

è definito come la somma dei costi generalizzati degli archi l che compongono il percorso k. Formalmente la relazione tra costo additivo e costi di arco può essere espressa come: C = ∑ a_ckADD l∈k lk l

Dove a è una variabile che vale 1 se l’arco appartiene al percorso, 0 altrimenti. Questa espressione può essere formulata anche in termini vettoriali introducendo il vettore dei costi di percorso additivi C di dimensione (n x1), con n numero di percorsi nel grafo e A la matrice di incidenza archi-ADD p P percorsi di dimensioni (n x n):

L P C = A c_ADD T

Il costo non additivo di percorso C comprende quelle voci di costo generalizzato non ottenibili NAk come somma di corrispondenti costi di arco. Il vettore dei costi di percorso C si può esprimere come:

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C = A c + CT NA

Il vettore dei flussi di percorso F o F è un vettore colonna di dimensioni (n x1). Ovviamente esiste una relazione fra flussi di arco e di percorso.

Il flusso che percorre ciascun arco l è, infatti, ottenibile come la somma dei flussi sui vari percorsi che includono quell'arco; questa relazione può essere espressa utilizzando gli elementi a della matrice di incidenza archi-percorsi:

lk f = ∑ a Fl k lk k

ovvero in termini matriciali f = A

FFUNZIONI DI COSTO

Le funzioni di costo esprimono la relazione esistente tra il costo medio di trasporto, i flussi transitanti lungo un arco e le caratteristiche funzionali e geometriche dell'arco stesso. Si considera un costo medio perché il costo generalizzato di trasporto (ad esempio, il tempo di viaggio) ha caratteristiche prevalentemente di tipo aleatorio a parità di flusso. Le funzioni di costo possono essere separabili o non separabili. La funzione di costo si dice separabile quando il costo di un arco i-esimo della rete dipende esclusivamente dal flusso che percorre.