Parte 9, Analisi matematica I

Infine se f ' ' ' ≤ K allora lastima del resto è : R2 f , x , x

( )

(x) =

0 3 !

Generalizzando, una approssimazione di ordine n sarà i polinomio:

1 1

+1

' '' 2 ' ' ' 3

f x x f x x−x x x−x x x−x

( )=f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ ∗ + ∗f ∗ + ∗f ∗ +

0 0 0 0 0 0 0

2 3 ! n!

n n

f x x−x Rn f , x , x

( ) ( ) ( )

¿ ∗ +

0 0 0

Con (n+1) (n+1)

f x x−x

( )

∗( )

0 0

Rn f , x , x

( ) =

0 (n+1)! n+1

( )

∣ ∣

K∗ x−x 0

∣ ∣ ∣ ∣

(n+1)

E se f x ≤ K allora avremo: Rn f , x , x Polinomio diTaylor

( ) ( ) =

0 0 n+1 !

( )

In articolare se x = 0 si ha il polinomio di McLauri, ovvero:

o 1 1 1

' ' ' 2 '' ' 3 n n

f x 0 0 x∗ x−x 0 x 0 x 0 x Rn f , x , x

( )=f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+f + ∗f + ∗f + ∗f +

0 0

2! 3! n!

Sviluppando una funzione con McLauri si ottiene che, nel caso f(x) = cos x, le derivate di ordine

dispari sono nulle mentre le derivate di ordine pari sono ±1, ottenendo che:

k

1 1 1 (−1)

2 4 6 2k

cos x=1+ x x x x Rn

+ + + +

2! 4 ! 6 ! (2K )!

Se sviluppiamo la f(x) = sen x otteniamo che le derivate di ordine pari sono nulle mentre le derivate

di ordine disperi sono ±1. k

1 1 1 (−1)

3 5 7 2k +1

sen x x x x x Rn

=1− + − + +

3! 5 ! 7 ! (2K +1)!

Il metodo di esaustione

Si deve calcolare l’area di una regione S del piano. Il metodo di Archimede consiste nell’iscrivere e

nel circoscrivere la funzione desiderata con delle figure di cui sia facile calcolare l’area.

Utilizziamo il metodo di esaustione per calcolare l’area della regione sottesa del grafico di un arco

2

di parabola y = f(x) = x , nell’intervallo chiuso e limitato [o, b] con il linguaggio algebrico.

Si divide il segmento [0, b] in n. parti uguali, ognuna di

lunghezza b/n.

Allora: k−1

( )∗b

b b b

x1= ; x2= ; x3= ; x k ; xn=b

( )=

−1

n n n n

Si costruiscono n rettangoli inscritti.

Calcoliamo l’area del generico rettangolo = base * altezza =

2

[ ] 2 2 3

k−1 k

b b b b

( )∗b ( )

−1 ∗b

2 2

[ ]

x−( xk−1 f xk x k−1

) ( )= ∗( )

¿ ∗ −1 = = =

k−1 2 3

n n n n n n

La somma delle aree dei rettangoli inscritti sarà:

n n n−1

3 3 3

b b b

2 2

∑ ∑ ∑ 2

k−1 k−1 k

( ) ( )

∗ = =

3 3 3

n n n

k=1 k=1 k=1

Il numero trovato, che è la somme delle aree dei triangoli inscritti, fornisce un valore approssimato

per difetto dell’area della regione S, quindi:

n−1

3

b ∑ 2

Area S> k

3

n k=1

Volendo un valore approssimato per eccesso si considerano i triangoli circoscritti.

L’area del generico rettangolo circoscritto sarà:

b 2 2

∗k ∗b

2 3

[ ]

b b k∗b n b

2 2

[ ]

xk−( xk f x x

) ( )

−1 ∗ = = = = ∗k

k

n n n 2 3

n n

La somma delle aree dei rettangoli circoscritti quindi è:

n

3

b ∑ 2

Area S< k

3

n k=1

In conclusione possiamo dire che:

n−1 n

3 3

b b

∑ ∑

2 2

k Area S≤ k

<

3 3

n n

k=1 k=1

Si tratta, considerando il termine a destra, di calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri

naturali, ovvero:

n

∑ 2 2 2 2 2 2

k 2 3

=1 + + +(n−1) +n

k=1

Si può dimostrare per induzione che:

n 16

∑ 2

k n∗( n+1 )∗(2n

= +1)

k=1

Verifichiamo per n = 2

2 2 2

k =¿1 +2 =5

2

∑ ¿

k=1

Utilizzando la formula ho:

2 16

∑ 2

k 2∗( 2+ 1 )∗(2∗2+1)=5

=

k=1

Per la sommatoria a sinistra si usa la stessa formula, ma bisogna sostituire a n, n-1 ottenendo:

n−1 16

∑ 2

k n∗( n−1)∗(2n−1)

=

k=1

In definitiva avrò che:

3 3

b b

n−1 2n−1 n+1 2n+ 1

( )∗( ) ( )∗( )

∗ ∗

6 6

Area S

< <

2 2

n n

Il modello è tanto più veritiero quanto più grande è n. Calcoliamo il limite per n tendente a infinito e

otteniamo:

3

b n−1 2n−1

( )∗( )

∗ 3

6 b

lim =

2 3

n

n →∞ 3

b n+ 1 2n+ 1

( )∗( )

∗ 3

6 b

lim =

2 3

n

n →∞ 3

b

'

cunclusione l Area S ≡

¿ 3

Osservazione: se l’area trovata è pensata come funzione di b, la sua derivata risulterà:

3 2

( )

d b 3 b 2

= =b

db 3 3

Che è proprio la funzione di partenza calcolata in b.

Integrale definito

Generalizziamo il metodo di esaustione di Archimede.

Sia y = f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].

Si definisce partizione P dell’intervallo [a, b] un insieme ordinato

di (n+1) punti che suddividono l’intervallo [a, b] in n. intervalli

uguali.

Sia [x , x ] un generico intervallo della suddivisione. Essendo f(x) e gli intervalli chiusi e limitati

k-1 k

come [a, b], in ciascuno di essi la funzione ammette un valore massimo e un valore minimo assoluti,

secondo il Teorema di Weiestras.

Nell’intervallo [x , x ] siano mk il minimo assoluto e Mk il massimo assoluto. Si definiscono

k-1 k

somme integrali o somme di Remamm della funzione f relativamente a P i seguenti numeri reali:

x −x

k (k−1)

mk somma integrale inferiore

(¿)→ n

∑

( )=

L f , P ¿

k=1

x −x

k ( )

k−1

Mk(¿) → somma integrale superiore

n

∑

U , P)=

(f ¿

k=1

Osservazione: se la f(x) è positiva la somma integrale inferiore è l’area dei rettangoli inscritti,

mentre la somma integrale superiore fornisce l’area dei rettangoli circoscritti.

Per come sono state costruite risulta sempre che la somma integrale inferiore è sempre inferiore o al

limite uguale alla somma integrale superiore, ovvero:

L (f, P) ≤ U (f, P)

Con partizioni diverse in [a, b] risulta sempre che L (f, P) ≤ U (f, Q)

Cambiando partizione in [a, b] cambiano le somme integrali di f, allora si hanno due insiemi

numerici: f ,P

'

L¿ che rappresenta l insieme numerico delle somme integrali inferiori

A=¿

'

{ }

B= U , Q) che rappresental insieme numerico delle somme integrali superiori

(f

Gli insiemi A e B sono separati e contigui per quanto osservato ed essendo l’insieme dei numeri

reali completo, deve esistere un numero reale di separazione, I, tra i due numeri, ovvero:

f ,P

L¿ ≤ I ≤ U f ,Q)

{ }

(

¿

Se I è unico allora si dice che:

• La funzione f è integrabile secondo Remamm in [a, b] chiuso e limitato;

• Questo unico numero di separazione I è l’integrale definito secondo Remamm di f(x)

nell’intervallo [a, b]. b

∫ f x dx

( )

Il numero I si nota con il simbolo con a e b estremi di integrazione e dove a è il primo

a

∫ ¿

estremo; b è il secondo estremo; deformazione della lettera s (somma); f(x) è la funzione

integranda e dx è il differenziale e indica la variabile rispetto alla quale si sta integrando e prende il

posto dell’ampiezza [xk –x(k-1)] del generico intervallo.

b

∫ f x dx

( )

Proprietà dell’integrale definito I = a

a

∫ f x dx=0

( )

1. a

b a

∫ ∫

f x dx=− f x dx

( ) ( )

2. a b

b b b

∫ ∫ ∫

h∗f x x dx=h∗ f x dx K∗ g x dx → Propietà di linearità

( ) ( ) ( ) ( )

+k∗g +

3. a a a

b c b

∫ ∫ ∫

f x dx= f x dx f x dx → proprietà diadditività dellintegrale

( ) ( ) ( )

+

4. a a c

'

definito rispetto al l intervallodi integrazione

b b

∫ ∫

f x dx ≤ g x dx

( ) ( )

Se f(x) ≤ g(x) e a ≤ b allora

5. a a

∣ ∣ ∣ ∣

f x ≤ f x ≤ f x

( ) ( )

− ( )

Inoltre sapendo che allora la stessa relazione vale per gli integrali, ovvero:

b b b

∫ ∫ ∫

∣ ∣ ∣ ∣

f x dx ≤ f x dx ≤ f x dx

( ) ( ) ( )

− a a a

Compattando con il valore assoluto le disuguaglianze precedenti ottengo:

∣ ∣

b b

∫ ∫

∣ ∣

f x dx ≤ f x dx

( ) ( )

a a

Se f(x) è una funzione dispari allora:

6. a

∫ f x dx=0

( )

−a

Se f(x) è una funzione pari allora:

7. a a

∫ ∫

f x dx=2 f x dx

( ) ( )

0

−a Teorema di Torricelli (della media)

Sia y = f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], graficamente ho:

In [a, b] esiste un opportuno punto x0 tale che:

b

∫ f x dx=f x

( ) ( )

∗(b−a)

0

a

Sia P0 la partizione banale dell’intervallo formato dai punti a e b. Essendo la funzione continua in

[a, b] esiste il minimo assoluto, m, e il massimo assoluto, M. le somme integrali relative a questa

partizione sono:

• L (f, P0) = m*(b-a)

• U (f, P0) = M*(b-a)

Per la definizione di integrale definito si ha:

b b

∫ ∫

L f , P0 ≤ f x dx ≤ U f , P0 , ovvero m∗( b−a ≤ f x dx ≤ M∗(b−a)

( ) ( ) ( ) ) ( )

a a

Dividendo per (b-a) ottengo:

b

1 ∫

m≤ f x dx ≤ M ; cioè un valore compreso tra il minimo e il massimo

( )

∗

b−a

( ) a

Una funzione continua, però, assume tutti i valori compresi tra quello minimo e quello massimo,

Teorema dei valori intermedi, e quindi assume anche il valore precedente.

In altri termini in [a, b] deve esistere un punto x per cui:

o

b

1 ∫

f x f x dx da cui latesi

( )

( ) = ∗

0 b−a

( ) a

Il valore f(x ) è detto valore medio della f(x) in [a, b].

o

Se y = f(x) è positiva come in figura, il Teorema di Torricelli può essere interpretato graficamente,

infatti in questo caso:

b

∫ f x dx= Area S

( )

a