Parte 9, Analisi matematica I

Approssimazione di ordine superiore

Formula di Taylor

Per x “abbastanza vicini” a x₀ si può approssimare nel modo seguente:

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀)

L'errore che si commette è la differenza tra:

f(x) - [f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀)]

Osservazione: la distanza verticale R₁ è più piccola della distanza orizzontale (x-x₀). Questo fatto si esprime con:

lim_{x → x0} R₁ / (x-x₀) = 0

Se la f(x) ammette la derivata seconda in (x₀, x) si verifica che il resto è uguale a:

R₁(f, x₀, x) = 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)²

Infine, se f''(x) ≤ K per ogni punto x dell'intervallo, la stima del resto è:

R₁(f, x₀, x) ≤ 1/2 K ∗ |x-x₀|²

Approssimazione del secondo ordine

Volendo una approssimazione del secondo ordine si sceglie una curva di equazione Y = A + Bx + Cx², ovvero una parabola rivolta verso l’alto con un asse di simmetria parallelo all’asse y. Si preferisce come curva che approssima con equazione di secondo grado la seguente:

g(x) = A + B(x-x₀) + C(x-x₀)²

Si tratta di calcolare A, B e C in modo che g(x) approssimi più della tangente la funzione f(x). Sia g(x) che f(x) devono passare per p₀ (x₀, f(x₀)), quindi:

f(x₀) = g(x₀) = A

La seconda osservazione è che g(x) e f(x) nel punto p₀ devono avere la stessa tangente; cioè deve essere:

f'(x₀) = g'(x₀) = B + 2C(x-x₀)

Nel punto x₀ si ha che:

B = f'(x₀)

L’ultima osservazione è che f(x) e g(x) devono avere la stessa concavità o la stessa convessità, quindi:

1/2 f''(x₀) = C

L’approssimazione del secondo ordine è il polinomio:

g(x) = f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀) + 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)²

Da cui si ricava che:

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀) + 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)²

Introducendo l’errore o il resto del secondo ordine R₂(f, x₀, x) che è la differenza tra il valore effettivo e quello approssimato otteniamo che:

R₂(f, x₀, x) = f(x) - [f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀) + 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)²]

Dalla quale si ricava che:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀) + 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)² + R₂(f, x₀, x)

Come nel caso lineare il resto si può calcolare con una formula del tipo:

R₂(f, x₀, x) = 1/6 f'''(x₀) ∗ (x-x₀)³

Introdurre il fattoriale, n!, di un numero intero n come il prodotto dei primi n fattori.

Es: 3! = 1*2*3 = 6

L’espressione del resto del secondo ordine diventa:

R₂(f, x₀, x) = 1/3! f'''(x₀) ∗ (x-x₀)³

Infine, se f'''(x) ≤ K, allora la stima del resto è:

R₂(f, x₀, x) ≤ 1/3! K ∗ |x-x₀|³

Generalizzazione: approssimazione di ordine n

Generalizzando, una approssimazione di ordine n sarà il polinomio:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) ∗ (x-x₀) + 1/2 f''(x₀) ∗ (x-x₀)² + 1/3! f'''(x₀) ∗ (x-x₀)³ + ... + 1/n! f⁽ⁿ⁾(x₀) ∗ (x-x₀)ⁿ

Con:

R_n(f, x₀, x) = 1/(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ∗ (x-x₀)ⁿ⁺¹

E se f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ≤ K allora avremo:

R_n(f, x₀, x) ≤ 1/(n+1)! K ∗ |x-x₀|ⁿ⁺¹

Polinomio di Taylor