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Parte 8, Analisi matematica I Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I, parte 8, per l’esame della professoressa Teodori. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le derivate delle funzioni trigonometriche circolari, la derivata Darcsen, il significato geometrico della derivata, la regola di de l’Hopital.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. A. Teodori

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• Osservazione n. 1

Le due regole valgono anche per:

±

x → x limite destro e sinistro o anche per x → ± ∞

( )

0

• Osservazione n. 2

Il secondo limite è il quoziente delle due derivate e non la derivata di un quoziente.

• Osservazione n. 3

Le due regole possono essere ripetute finché non si toglie l’indeterminazione.

Massimi e minimi relativi (estensioni locali)

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] con un grafico del tipo che segue:

Si dice che il punto x è un punto di minimo relativo di f(x) se:

o [ ] ∣ ∣

f x ≥ f x per x a , b e x−x δ(intorno di x di ampiezza δ

( ) ( ) ∀ ∈ < )

0 0 0

In figura sono minimi relativi gli estremi e il 3° e il 4° punto.

Si dice che x è un punto di massimo relativo di f(x) se:

o [ ] ∣ ∣

f x ≤ f x per x a , b e x−x

( ) ( ) ∀ ∈ <δ

0 0

Nel grafico sono massimi relativi il 2°, 5° e il 6° punto.

Dal grafico si può che questi punti di massimo o di minimo relativi possono essere distinti in 3

diverse tipologie, che sono:

• Gli estremi a e b dove la f(x) non è derivabile (in a solo derivata destra e in b solo quella

sinistra);

• Punti come il 2° e il 4° dove la funzione non è derivabile perché in questi punti non si può

mandare la retta tangente del grafico. Questi punti sono noti come punti singolari.

• Punti come il 3°, il 5° e il 6° dove esiste la tangente t del grafico, quindi f(x) è derivabile. La

tangente t in questi punti del grafico è una retta orizzontale quindi la derivata prima in questi

punti è = 0 (perciò il coefficiente angolare è nullo).

Nei punti di massimo e minimo relativo interni al Dominio di f(x) in cui f(x) sia derivabile,

risulta che la derivata prima = 0.

I

I punti in cui la f (x) = 0 si chiamano punti critici della funzione, quindi i punti di massimo o di

minimo relativi interni al dominio sono detti Punti critici.

Attenzione: esistono anche punti critici che non sono punti di massimo o di minimo relativi, come

ad esempio i punti di Flesso e tutti i punti che hanno tangente orizzontale.

In conclusione:

• Se x è un punto di massimo o di minimo relativo interno al Dominio;

o

• Se in x la funzione è derivabile allora

o

I

F (x ) = 0

o

Non è vero però il contrario perché ci sono dei punti x dove la derivata prima = 0 che non sono né

o

di massimo né di minimo relativo.

Un esempio sono i Punti di Flesso. I

Osservazione: sia x un punto critico per la funzione f(x), cioè sia f (x) = 0.

o

Per decidere se x è un punto di massimo o di minimo relativo è necessario lo studio del segno della

o

derivata prima nell’intorno di x .

o

I

Se lo studio del segno di f (x) non è agevole si può utilizzare lo studio della derivata seconda nel

modo seguente:

• II

F (x ) > 0 allora il punto x della funzione è un punto di minimo relativo;

o o

• II

F (x ) < 0 allora il punto x della funzione è un punto di massimo relativo.

o o

II

Verifichiamo f (x ) > 0

o

II

Essendo la f (x ) > 0, la funzione f(x) è convessa in un intorno di

o

x e dunque il grafico è al di sopra della tangente condotta nel

o I I

punto x ; cioè f(x) > f (x ) = f (x )*(x –x ). Per ipotesi sappiamo

o o o o

I

che f (x )*(x –x ) = 0, quindi f(x) > f(x ), quindi il punto x è un

o o o o

punto di minimo relativo. Asintoti di una curva

Gli asintoti sono delle rette collegate a rami illimitati delle curve del grafico di una funzione. Sono

chiamate Tangenti all’infinito, cioè rette la cui distanza dal ramo illimitato della curva tende a 0

quando x tende a infinito.

Gli asintoti sono di tre tipologie:

1. Asintoto verticale:

Esistono solo se il Dominio è aperto in un punto x0; per esempio (x0, ±∞) oppure (x0, a]

lim f x ↔ x=x è asintoto verticale

( )=±∞ 0

±

x → x 0

2. Asintoti orizzontali

Esistono solo se il Dominio di f(x) è illimitato completamente (destro o sinistro)

lim f x y=l è asintoto orizzontale

( ) =l↔

x →± ∞

3. Asintoto obliquo

Sono rette del tipo y = mx +q

Esistono solo se il Dominio è illimitato come per gli asintoti orizzontali. Sono caratterizzati

dal fatto che la distanza d = PP’ tra le curve è la retta tendente a 0 per x tendente a ∞,

ovvero:

lim d ma d x q]

( )−[mx+

=0, =f

x →± ∞ 0

lim f x q]=0 dividendo per x →+ ∞ si avrebbe

( )−[mx+ =0

x →+∞ [ ]

f x f x)

( )−[mx+q q

] (

lim e ancora lim

=0 −m− =0

x x x

x →+∞ x →+∞

lim f x)

(

f (x) x→+ ∞

lim quindi m=

−m=0

x x

x →+∞

Per determinare si parte dalla definizione dell’asintoto obliquo perché d → 0 quindi

lim f x quindi q= lim f x

( )−mx−q=0 ( )−mx

x →+∞ x →+∞

Nota bene:

Se esiste l’asintoto orizzontale allora non esiste l’asintoto obliquo perché y = l asintoto

lim f x

( ) =l

orizzontale ↔ x →± ∞ Concavità e convessità x , b]

∈[a

Si dice che y = f(x) è convessa nell’intervallo [a, b] se in ogni punto dell’intervallo il

0

grafico giace al di sopra della retta tangente in x .

o

y = f(x)

y’ = f(x )*(x –x )

o o

f(x) è convesso se Hp > Hp’ e quindi:

I

f x ≥ f x f x x−x

( ) ( ) ( )

+ ∗( )

0 0 0 x , b]

∈[a

Si dice che y = f(x) è concava nell’intervallo [a, b] se in ogni punto dell’intervallo e il

0

grafico giace al di sotto della tangente al punto x .

o

y = f(x)

y’ = f(x ) +f’(x )*(x –x )

o o o

f(x) è concave se Hp < Hp’, ovvero:

I

f x ≤ f x f x x−x

( ) ( ) ( )

+ ∗( )

0 0 0

Il punto in cui la funzione passa da concava a convessa e viceversa si chiama Punto di Flesso.

Esempio grafico Nel punto evidenziato la funzione è derivabile perché nel Punto

esiste la tangente.

Con il Teorema di Lagrange (applicato I volta a f(x) e II volta a f‘(x)) si riesce a trovare un criterio

analitico semplice per riconoscere la concavità e la convessità di una funzione.

Si chiama test della derivata seconda secondo la quale:

• II

Se f (x) > 0 in (a, b) → f(x) è una funzione convessa in [a, b];

• II

Se f (x) < 0 in (a, b) → f(x) è una funzione concava in [a, b].

Esempi x

1. y = f(x) = e


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Pegasis

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in Scienze geologiche
SSD:
Università: Camerino - Unicam
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Pegasis di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Camerino - Unicam o del prof Teodori Alba Rosa.

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