Parte 8, Analisi matematica I

Ricordando che sen x +cos x = 1, da cui:

√

2 2 2

cos x=1−sen x → cos x=± 1−sen x ; si sceglie il segno + perché nell’intervallo

[ ]

π

−π ,+ il cos x è positivo.

2 2 1 1

Quindi la derivata D arcsen y= essendo y=sen x.

=

√ √

2 2

1−sen x ; 1− y

• Se consideriamo y = f(x) = cos x che è strettamente monotona decrescente in [0, π], e

dunque invertibile e la sua inversa è: 1 1 −1

D arcsen y=

−1 = =

x=f y y

( )=arccos , e la derivata è D cos x x sen x

−sen

2 2

Ricordando che sen x +cos x = 1, da cui:

√

2 2 2

sen x=1−cos x → sen x=± 1−cos x ; si sceglie il segno + perché nell’intervallo [0, π]

il sen x è positivo. −1 −1

Sostituendo otteniamo che : D arccos y= ,essendo y=cos x

=

D cos x √ 2

1− y

• Infine calcoliamo la derivata della funzione inversa di arctg x sapendo che y = f(x) = tg x

[ ]

π

−π ,+

nell’intervallo , è strettamente monotona crescente e quindi invertibile.

2 2

La funzione inversa è:

−1

x=f y y

( )=arctg , la cui derivata è:

1 1 1 1 1

D arctg y se y=tg x

= = = = =

D tg y 1 2 2 2 2

sen x+ cos x 1+ tg x 1+ y

2 2

cos x cos x

Significato geometrico della derivata

Si vuole risolvere il problema di definire la tangente in un suo punto ad una curva (linea). Sappiamo

già disegnare e definire le proprietà della tangente relative ad un cerchio, ovvero:

Le sue proprietà sono:

• La tangente t incontra il cerchio in un solo punto p;

• La retta t lascia il cerchio tutto nello stesso semipiano;

• La retta t è perpendicolare al segmento che unisce il punto p al centro.

Nessuna delle proprietà precedenti può caratterizzare la tangente ad una curva che non sia il

cerchio.

Le curve, generalmente non hanno un centro (a parte le coniche).

Esempi grafici t incontra la curva in un solo punto ma non è tangente

La retta t incontra la curva in più punti, ma è tangente solo nel punto p

La retta t è tangente, ma attraversa la curva

In conclusione le proprietà che caratterizzano la tangente ad un cerchio in un suo punto non si

possono prendere in considerazione per definire la tangente ad una qualunque curva del piano che

non sia il cerchio.

Una definizione matematicamente accettabile può essere data attraverso la nozione di limite del

rapporto incrementale.

Sia y = f(x) una funzione con grafico come segue:

P = (x , f(x ))

o o

Q = (x +h, f (x +h))

o o

La retta secante passante per P e Q è una retta passante per due punti la cui equazione è:

y−f x−x y−f x−x

(x ) (x )

0 0 0 0

→

= = h

f x h x f x

( ) ( ) ( )

+ −f (x ) +h −x +h −f (x )

0 0 0 0 0 0

[ ]

f x x x−x

( ) ( )

+h −f ∗ f x h x

( ) ( )

+ −f

0 0 0 0 0

y−f x quindi y=f x x

( ) ( )

= + ∗( −x )

0 0 0

h h

Il coefficiente angolare o pendenza della retta è proprio il rapporto incrementale relativamente al

punto x , ovvero:

o

f x h x

( ) ( )

+ −f

0 0

h

Per Q → P (h→0) la secante tende alla tangente. Se la funzione è derivabile nel punto P, la tangente

è la retta che ha come coefficiente angolare il

f x x

+h −f

( ) ( )

0 0 I

lim x

( )

=f 0

h

h→ 0

Cioè la derivata in x della funzione f.

o

L’equazione della tangente sarà:

I

y = f(x ) +f (x )*(x –x ) tangente.

o o o Regola di de l’Hopital

Sono delle tecniche per calcolare i limito che sono delle forme indeterminate del tipo:

0 ∞

oppure

0 ∞

Le altre forme indeterminate possono essere ricondotte a queste con dei semplici passaggi algebrici

o passando ai logaritmi.

Queste tecniche si devono utilizzare solo se il calcolo del limite non riesce in un altro modo.

1. Prima regola di de l’Hopital:

Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili nell’intorno di un punto x , supponendo inoltre che:

o

lim f x lim g x

( )= ( )=0

x → x x→ x

0 0

I

Se g (x) ≠ 0 in un intorno di x allora si ha che:

o

I

lim f lim f x)

(x ) (

x → x x→ x purchè esista il limite del rapporto delle derivate.

=

0 0

I

g( x) g x

( )

2. Seconda regola di de l’Hopital:

Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili nell’intorno di un punto x , supponendo inoltre che:

o

lim f x lim g x

( )= ( )=0

x → x x→ x

0 0

I

Se g (x) ≠ 0 in un intorno di x allora si ha che:

o

I

lim f lim f x)

(x ) (

x → x x→ x

=

0 0

I

g( x) g x

( )

• Osservazione n. 1

Le due regole valgono anche per:

±

x → x limite destro e sinistro o anche per x → ± ∞

( )

0

• Osservazione n. 2

Il secondo limite è il quoziente delle due derivate e non la derivata di un quoziente.

• Osservazione n. 3

Le due regole possono essere ripetute finché non si toglie l’indeterminazione.

Massimi e minimi relativi (estensioni locali)

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] con un grafico del tipo che segue:

Si dice che il punto x è un punto di minimo relativo di f(x) se:

o [ ] ∣ ∣

f x ≥ f x per x a , b e x−x δ(intorno di x di ampiezza δ

( ) ( ) ∀ ∈ < )

0 0 0

In figura sono minimi relativi gli estremi e il 3° e il 4° punto.

Si dice che x è un punto di massimo relativo di f(x) se:

o [ ] ∣ ∣

f x ≤ f x per x a , b e x−x

( ) ( ) ∀ ∈ <δ

0 0

Nel grafico sono massimi relativi il 2°, 5° e il 6° punto.

Dal grafico si può che questi punti di massimo o di minimo relativi possono essere distinti in 3

diverse tipologie, che sono:

• Gli estremi a e b dove la f(x) non è derivabile (in a solo derivata destra e in b solo quella

sinistra);

• Punti come il 2° e il 4° dove la funzione non è derivabile perché in questi punti non si può

mandare la retta tangente del grafico. Questi punti sono noti come punti singolari.

• Punti come il 3°, il 5° e il 6° dove esiste la tangente t del grafico, quindi f(x) è derivabile. La

tangente t in questi punti del grafico è una retta orizzontale quindi la derivata prima in questi

punti è = 0 (perciò il coefficiente angolare è nullo).

Nei punti di massimo e minimo relativo interni al Dominio di f(x) in cui f(x) sia derivabile,

risulta che la derivata prima = 0.

I

I punti in cui la f (x) = 0 si chiamano punti critici della funzione, quindi i punti di massimo o di

minimo relativi interni al dominio sono detti Punti critici.

Attenzione: esistono anche punti critici che non sono punti di massimo o di minimo relativi, come

ad esempio i punti di Flesso e tutti i punti che hanno tangente orizzontale.

In conclusione:

• Se x è un punto di massimo o di minimo relativo interno al Dominio;

o

• Se in x la funzione è derivabile allora

o

I

F (x ) = 0

o

Non è vero però il contrario perché ci sono dei punti x dove la derivata prima = 0 che non sono né

o

di massimo né di minimo relativo.

Un esempio sono i Punti di Flesso. I

Osservazione: sia x un punto critico per la funzione f(x), cioè sia f (x) = 0.

o

Per decidere se x è un punto di massimo o di minimo relativo è necessario lo studio del segno della

o

derivata prima nell’intorno di x .

o

I

Se lo studio del segno di f (x) non è agevole si può utilizzare lo studio della derivata seconda nel

modo seguente:

• II

F (x ) > 0 allora il punto x della funzione è un punto di minimo relativo;

o o

• II

F (x ) < 0 allora il punto x della funzione è un punto di massimo relativo.

o o

II

Verifichiamo f (x ) > 0

o

II

Essendo la f (x ) > 0, la funzione f(x) è convessa in un intorno di

o

x e dunque il grafico è al di sopra della tangente condotta nel

o I I

punto x ; cioè f(x) > f (x ) = f (x )*(x –x ). Per ipotesi sappiamo

o o o o

I

che f (x )*(x –x ) = 0, quindi f(x) > f(x ), quindi il punto x è un

o o o o

punto di minimo relativo. Asintoti di una curva

Gli asintoti sono delle rette collegate a rami illimitati delle curve del grafico di una funzione. Sono

chiamate Tangenti all’infinito, cioè rette la cui distanza dal ramo illimitato della curva tende a 0

quando x tende a infinito.

Gli asintoti sono di tre tipologie:

1. Asintoto verticale:

Esistono solo se il Dominio è aperto in un punto x0; per esempio (x0, ±∞) oppure (x0, a]

lim f x ↔ x=x è asintoto verticale

( )=±∞ 0

±

x → x 0

2. Asintoti orizzontali

Esistono solo se il Dominio di f(x) è illimitato completamente (destro o sinistro)

lim f x y=l è asintoto orizzontale

( ) =l↔

x →± ∞

3. Asintoto obliquo

Sono rette del tipo y = mx +q

Esistono solo se il Dominio è illimitato come per gli asintoti orizzontali. Sono caratterizzati

dal fatto che la distanza d = PP’ tra le curve è la retta tendente a 0 per x tendente a ∞,

ovvero:

lim d ma d x q]

( )−[mx+

=0, =f

x →± ∞ 0

lim f x q]=0 dividendo per x →+ ∞ si avrebbe

( )−[mx+ =0

∞

x →+∞ [ ]

f x f x)

( )−[mx+q q

] (

lim e ancora lim

=0 −m− =0

x x x

x →+∞ x →+∞

lim f x)

(

f (x) x→+ ∞

lim quindi m=

−m=0

x x

x →+∞

Per determinare si parte dalla definizione dell’asintoto obliquo perché d → 0 quindi

lim f x quindi q= lim f x

( )−mx−q=0 ( )−mx

x →+∞ x →+∞

Nota bene:

Se esiste l’asintoto orizzontale allora non esiste l’asintoto obliquo perché y = l asintoto

lim f x

( ) =l

orizzontale ↔ x →± ∞ Concavità e convessità x , b]

∈[a

Si dice che y = f(x) è convessa nell’intervallo [a, b] se in ogni punto dell’intervallo il

0

grafico giace al di sopra della