Parte 8, Analisi matematica I

Derivate delle funzioni trigonometriche circolari

Derivata della funzione arcseno

Sappiamo che y = f(x) = sen x è strettamente monotona crescente ed è quindi invertibile. La sua inversa è:

x = f^-1(y) = arcsen y

La derivata della funzione arcsen x si trova utilizzando il Teorema di derivazione delle funzioni inverse, ovvero:

D¹ arcsen x = ¹/D sen x = ¹/cos x

Ricordando che sen² x + cos² x = 1, da cui:

cos x = √²(1−sen² x) → cos x = ± √1−sen² x; si sceglie il segno + perché nell’intervallo [-π/2, π/2] il cos x è positivo.

Quindi la derivata D arcsen y è:

D arcsen y = ¹/√1−y², essendo y = sen x.

Derivata della funzione arccoseno

Se consideriamo y = f(x) = cos x che è strettamente monotona decrescente in [0, π], è dunque invertibile e la sua inversa è:

x = f^-1(y) = arccos y

La derivata è:

D arccos y = -¹/√1−y², essendo y = cos x.

Ricordando che sen² x + cos² x = 1, da cui:

sen x = √(1−cos² x) → sen x = ± √1−cos² x; si sceglie il segno + perché nell'intervallo [0, π] il sen x è positivo.

Derivata della funzione arctangente

Infine calcoliamo la derivata della funzione inversa di arctg x sapendo che y = f(x) = tg x nell’intervallo [-π/2, π/2] è strettamente monotona crescente e quindi invertibile.

La funzione inversa è:

x = f^-1(y) = arctg y

La cui derivata è:

D arctg y = ¹/(1+y²), essendo y = tg x.

Significato geometrico della derivata

Si vuole risolvere il problema di definire la tangente in un suo punto ad una curva (linea). Sappiamo già disegnare e definire le proprietà della tangente relative ad un cerchio, ovvero:

• La tangente t incontra il cerchio in un solo punto p;
• La retta t lascia il cerchio tutto nello stesso semipiano;
• La retta t è perpendicolare al segmento che unisce il punto p al centro.

Nessuna delle proprietà precedenti può caratterizzare la tangente ad una curva che non sia il cerchio. Le curve, generalmente non hanno un centro (a parte le coniche).

Esempi grafici

• La retta t incontra la curva in un solo punto ma non è tangente;
• La retta t incontra la curva in più punti, ma è tangente solo nel punto p;
• La retta t è tangente, ma attraversa la curva.

In conclusione le proprietà che caratterizzano la tangente ad un cerchio in un suo punto non si possono prendere in considerazione per definire la tangente ad una qualunque curva del piano che non sia il cerchio.

Definizione matematica della tangente

Una definizione matematicamente accettabile può essere data attraverso la nozione di limite del rapporto incrementale.

Sia y = f(x) una funzione con grafico come segue:

P = (x_o, f(x_o))

Q = (x_o + h, f(x_o + h))

La retta secante passante per P e Q è una retta passante per due punti la cui equazione è:

y − f(x_o) = ^{f(x_o + h) − f(x_o)} / _h (x − x_o)

Il coefficiente angolare o pendenza della retta è proprio il rapporto incrementale relativamente al punto x_o, ovvero:

^{f(x_o + h) − f(x_o)} / _h

Per Q → P (h → 0) la secante tende alla tangente. Se la funzione è derivabile nel punto P, la tangente è la retta che ha come coefficiente angolare:

lim _h→0 (f(x_o + h) − f(x_o)) / h

Cioè la derivata in x_o della funzione f.

L’equazione della tangente sarà:

y = f(x_o) + f'(x_o)*(x − x_o)